耦合KL理論與調(diào)度特征的大規(guī)模水電站群優(yōu)化調(diào)度降維方法

申建建，張 博，程春田，李秀峰，蔣 燕，趙珍玉

（1.大連理工大學 水信息研究所，遼寧 大連 116024； 2.云南省電力調(diào)度控制中心，云南 昆明 650011）

1 研究背景

水電系統(tǒng)調(diào)度是一類非凸、非線性、多變量、高維數(shù)且具有龐大約束條件集的大規(guī)模復雜決策優(yōu)化問題，也一直是國內(nèi)外公認的最具挑戰(zhàn)性的理論和實踐課題之一[1-3]。水電調(diào)度優(yōu)化計算規(guī)模與參與的水電站數(shù)、時段數(shù)、狀態(tài)變量（初庫容）離散數(shù)、決策變量（末庫容、流量、出力）離散數(shù)、水庫不確定徑流離散數(shù)緊密相關[4]，且隨著電站裝機規(guī)模、庫容離散數(shù)目、水電站數(shù)目等參數(shù)的增大，計算的時空復雜度呈指數(shù)增長，這一特征使得求解幾十、上百座電站的大規(guī)模水電系統(tǒng)優(yōu)化問題需要的計算耗時和存儲空間均急劇增加，“維數(shù)災”問題突顯[5]。對于我國西南特大流域梯級水電站群、省級電網(wǎng)跨流域水電系統(tǒng)、區(qū)域電網(wǎng)跨流域跨省水電系統(tǒng)而言，如何有效突破超大規(guī)模水電站調(diào)度建模求解特別是效率問題已成為水電及電力系統(tǒng)運行面臨的重要理論和技術障礙[6]。

國內(nèi)外很多研究工作聚焦水電系統(tǒng)降維問題，涉及以下幾個方面：（1）從減少優(yōu)化電站數(shù)出發(fā)，提出了動態(tài)規(guī)劃逐次逼近方法（DPSA）、聚合-分解方法等，前者通過減少單次優(yōu)化的電站數(shù)，將多電站高維優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為單一電站低維優(yōu)化問題，后者則將多個電站聚合為虛擬電站，以減少整體的優(yōu)化電站數(shù)。從減少優(yōu)化階段數(shù)出發(fā)，提出了逐步優(yōu)化方法（POA）[7]、變尺度方法[8]等；（2）從減少離散狀態(tài)數(shù)出發(fā)，提出了離散微分動態(tài)規(guī)劃（DDDP）[9]、離散梯度逐步優(yōu)化方法[10]、正交試驗設計方法[11]等。其中，正交試驗設計方法是通過“均衡分散”抽樣將單階段各電站不同離散狀態(tài)之間的組合視為一次多因素多水平試驗優(yōu)選，以減少計算的狀態(tài)組合數(shù)；（3）從簡化問題復雜性出發(fā)，提出了線性或分段線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃等方法[12]，前者是對水電系統(tǒng)的各種非線性曲線或函數(shù)進行線性或者分段線性處理，或者通過固定發(fā)電水頭、尾水位等進行問題簡化，以減少問題求解的復雜性；后者利用二次或者高次多項式重構(gòu)目標函數(shù)和曲線方程以形成可求解的優(yōu)化調(diào)度模型。

對于超大規(guī)模水電系統(tǒng)而言，如何高效求解顯得尤為重要。從啟發(fā)式算法的角度出發(fā)，通過隨機搜索啟發(fā)式策略求解多目標問題，以提高問題的求解效率[13]。從計算技術角度出發(fā)，通過識別系統(tǒng)的可并行性，利用計算機并行計算資源可以提高計算效率[14]。此外，近年來興起的機器學習、云計算、智能算法等也為超大規(guī)模水電系統(tǒng)高效求解提供了新的思路，例如利用量子理論改進智能群體搜索方法的編碼模式和搜索模式，并結(jié)合啟發(fā)式策略動態(tài)處理短期水電調(diào)度中最小正常運行時間/停機時間約束和旋轉(zhuǎn)備用容量等復雜約束，以提高求解效率和結(jié)果精度[15]。

總體而言，不同降維方法提供了不同的視角解決水電系統(tǒng)維數(shù)難題。本文考慮水電站長系列調(diào)度過程，以文獻[16-18]提及的Karhunen-Loève展開方法為基礎，提出一種大規(guī)模水電站群優(yōu)化調(diào)度降維方法，通過對水電站群長系列調(diào)度樣本進行主成分分析，識別調(diào)度過程中的庫水位變化特征值與其對應的特征函數(shù)，采用KL方法將庫水位序列描述為前述水位變化特征項的線性函數(shù)，并通過各項的隨機系數(shù)組合確定特定來水對應的發(fā)電調(diào)度過程；針對前述文獻中隨機系數(shù)分布和遺傳算法優(yōu)化隨機性可能導致的結(jié)果實用性和準確性核心問題，引入Kullback-Leibler 散度以根據(jù)問題特點優(yōu)選適合的特征項隨機系數(shù)概率分布，并建立了兩階段迭代尋優(yōu)策略實現(xiàn)特征項系數(shù)的高效、穩(wěn)定求解。該方法的有效性、高效性、以及隨機系數(shù)分布規(guī)律和參數(shù)敏感性通過云南電網(wǎng)省調(diào)大規(guī)模水電系統(tǒng)進行驗證。

2 水庫群優(yōu)化調(diào)度數(shù)學模型

采用經(jīng)典的發(fā)電量最大模型進行水電優(yōu)化調(diào)度降維方法分析，其目標函數(shù)為：

約束條件為：

（1）水量平衡方程：

（2）庫水位、發(fā)電流量與出力限制：

（3）水庫調(diào)度期始末水位限制：

（4）水位-庫容關系：

（5）尾水位-泄量關系：

（6）系統(tǒng)出力帶寬約束：

式中：I為參與計算的總電站數(shù)；i為電站編號；T為調(diào)度期時段數(shù)；t為時段序號；Qei，t為t時段電站i的發(fā)電流量，m3/s；Hn，t為t時段電站i的發(fā)電水頭，m；Δh為單一時段小時數(shù)，h；Vi，t為時段t水電站i的初始庫容，m3；Qui，t為時段t電站i所有直接上游水電站的出庫流量之和，m3/s；Qai，t為時段t電站i的區(qū)間流量，m3/s；Qoi，t為時段t電站i的出庫流量，m3/s；Δt為時段內(nèi)秒數(shù)，s；分別為電站i在時段t的庫水位下限與上限，m；分別為電站i在時段t的出庫流量下限與上限，m3/s；分別為電站i在時段t的發(fā)電流量的下限與上限，m3/s；分別為電站i在時段t的出力下限與上限，MW；Zi，0為調(diào)度期水電站i的初始庫水位，m；Zi，T為調(diào)度期末水電站i的庫水位，m；Vi，t為t時刻水電站i的水庫水量，萬m3；Zi，t為t時刻水電站i的水庫水位，m；qi，t為t時刻水電站i的下泄流量，m3/s；hi，t為t時刻水電站i的尾水位，m；分別為電站i在時段t的出力下限和上限，MW。

3 耦合KL理論與調(diào)度特征的水電調(diào)度方法

3.1 總體思路本文思路是采用譜優(yōu)化方法中的Karhunen-Loève展開（以下簡稱KL展開），通過實際調(diào)度歷史樣本分析與特征提取，將待優(yōu)化調(diào)度決策看作一個需要進行模擬的隨機過程，利用從樣本中提取的特征項構(gòu)建隨機過程表達式，通過特定分布的隨機變量確定各個特征項的線性組合，有效減少決策變量的個數(shù)，從而達到降維目的。KL展開可以對復雜多變量隨機過程進行高效處理，將其描述為若干正交向量與特征值的展開式。其中，特征值和特征向量需要采用主成分分析方法，從水電站群長系列實際調(diào)度樣本進行識別提??；特征項的隨機變量應該采用何種分布進行組合計算，需要結(jié)合問題特點優(yōu)選適合的概率分布。KL方法的整體求解見圖1。

圖1 方法原理

3.2 KL理論KL理論又被稱為本征正交分解，本質(zhì)是將一個隨機過程按幾組正交特征函數(shù)分解為多項式和的形式，以此來近似擬合原隨機過程，KL分解涉及確定性函數(shù)（即特征函數(shù)ψk（t））和隨機變量（ξk）的級數(shù)展開，其中確定性函數(shù)由自相關核函數(shù)確定，隨機系數(shù)ξk的概率分布由于隨機過程本身信息的缺乏通常難以直接確定。

KL展開的基本表達形式以一個可測度事件集合為基礎，用于描述物理隨機過程。設構(gòu)成隨機過程事件集的函數(shù)為為事件對應的隨機過程檢索序號系列，θ為該隨機事件。則根據(jù)KL展開理論，表達式為：

其中隨機系數(shù)ξk應遵循以下數(shù)學定義：

具體來說，通過式（13）僅能證明隨機變量的均值為0、方差為1，并且是相互正交的。通過式（13）可知，KL展開式中各事件描述函數(shù)對應的隨機系數(shù)與事件本身有密切聯(lián)系，因此在針對不同特點的物理過程進行建模時，如何選擇符合實際數(shù)據(jù)特征的連續(xù)或離散概率分布賦給隨機系數(shù)ξ(θ)是非常重要的，這一問題可以通過下文3.5節(jié)方法有效處理。

按照上述思路，本文采用截斷型KL展開式對水電站的時段末水位過程進行表達，具體為：

式中：Z（t）為水電站t時段末的庫水位；為實際調(diào)度樣本集中t時段末的庫水位均值；λk與ψk(t)為正交特征值與對應的特征向量；ξk為一系列獨立的隨機變量，其分布遵從均值為0，方差為1，在求解過程中，該系數(shù)為問題的決策變量。在求解過程中，ξk的概率分布形式直接影響到計算模型的收斂速度以及結(jié)果精度。該分布可以選取符合均值為0、方差為1 的均勻分布、高斯分布或者Beta分布等。

利用式（14）解決離散型隨機過程問題時可以進行離散近似處理，一般選擇有限個數(shù)的離散特征項進行KL展開，所以庫水位變量的KL展開式可表述為：

式中，M為樣本選取特征項的個數(shù)，其大小取決于結(jié)果精度要求以及樣本中各隨機過程之間的相關性。精度要求越高，則需采用的特征項個數(shù)越多。M的取值存在一定范圍，這取決于主成分分析的計算結(jié)果。實際調(diào)度樣本集數(shù)據(jù)的相關性越強，則特征項數(shù)目越少，M的上限取值越小。反之，則得到的特征項數(shù)目偏多，M的上限數(shù)值變大，這種情況下需要在求解過程中對M值以及采用的特征項進行優(yōu)化計算以便于權(quán)衡選擇。

可以看出，在采用KL展開方法過程中，水電站的調(diào)度決策變量從原先的時段末水位轉(zhuǎn)變?yōu)獒槍φ{(diào)度期若干特征項的系數(shù)，以此來確定調(diào)度期的庫水位過程。進一步分析該方法的時間復雜度，一般而言，水電調(diào)度問題始、末都只有一個狀態(tài)變量，假定其余T-1個時段的狀態(tài)變量離散為S份，則對于經(jīng)典DP算法，單個水庫的計算次數(shù)為S T-1，I個水電站的時間復雜度為O（TSI(T-1)）；對于POA算法，計算次數(shù)與其迭代收斂條件有關，若算法收斂終止前整體需進行n次迭代，則算法的時間復雜度為O（nSI(T-1)）；對于KL 展開方法，假定水電站的特征值個數(shù)為ki，特征值可選離散權(quán)重值為n，單個水電站收斂需計算次數(shù)為si，則KL 展開方法的時間復雜度為O（Isi ki n）?？梢钥闯觯琄L 展開方法的復雜度顯著低于經(jīng)典的DP及改進方法。

3.3 建立發(fā)電調(diào)度過程樣本集在采用主成分分析法提取水電站調(diào)度過程特征值與特征向量前，需要建立各水電站的發(fā)電調(diào)度過程樣本集。對于具有長系列實際調(diào)度數(shù)據(jù)的電站，直接采用歷史的庫水位過程作為樣本，見公式（16）；對于缺少實際調(diào)度數(shù)據(jù)的電站，以長系列徑流為輸入，以式（1）為目標函數(shù)，采用經(jīng)典的DP進行優(yōu)化計算獲得發(fā)電調(diào)度過程，其樣本表達式與下式相同：

式中：Ai，sample為電站i的調(diào)度過程樣本集集合；zc，j為第c種來水情況下第j個時段的時段末庫水位；T為電站i調(diào)度過程中包含的時段數(shù)。

在后續(xù)章節(jié)計算具體算例過程中，由于無足夠長系列的水庫實際生產(chǎn)過程，因此對單庫采用DP計算其歷史各年份來水情況下的調(diào)度過程作為調(diào)度樣本以模擬單庫的多年實際調(diào)度過程，對多庫則采用POA計算其歷史各年份來水情況下的調(diào)度過程作為調(diào)度樣本以模擬多庫梯級的多年實際調(diào)度過程。

3.4 主成分分析方法計算樣本特征項主成分分析（PCA）是一種經(jīng)典的數(shù)據(jù)分析方法，原理是將數(shù)據(jù)的n維特征映像到k維上，在這一過程中將得到一組新的正交向量（映射基底），其對應的特征值與向量本身即為構(gòu)建KL展開式所需的特征函數(shù)。本文主要應用此方法于從水電站的長系列調(diào)度過程樣本集中提取水位特征值和特征向量。

根據(jù)PCA方法原理，需要分別求解矩陣各電站的協(xié)方差矩陣Cov(Ai，sample)，見下式：

按照式（17），可以得到I個協(xié)方差矩陣Cov(A1，sample)，……，Cov(AI，sample)。對每個矩陣分別計算特征值與特征向量，得到特征值系列{λ11，λ12，…，λ1T，λ21，…，λIT}，每個特征值對應的特征向量ψkT應滿足下式：

由此計算出各特征值對應的特征向量。

考慮到每個協(xié)方差矩陣均會計算得到T個特征值與其對應的特征向量，所以需要優(yōu)選能夠代表水電站調(diào)度過程的主要特征值。本文引入累積貢獻率指標，將同一矩陣求出的特征值按從大到小排序{λ1，λ2，…，λn}，累積貢獻率求解公式如下：

式中：Kd為λd的累積貢獻率；N為特征值總數(shù)；d為計算累積貢獻率的特征值序號。

在PCA方法中，累計貢獻率又稱累計方差貢獻率。在實際計算中，特征值從大到小排序，然后從前到后求和即可得到累積方差。所以Kd的大小表示了λ1，λ2，…，λd攜帶原數(shù)據(jù)信息的比例。實例計算分析中，根據(jù)保留不同主成分所建立模型的精度，綜合考慮保留主成分的累計貢獻率的閾值。

3.5 利用樣本特征項建立各水電站KL展開式 利用3.2節(jié)給出的KL 展開描述方法，可以確定任一水電站i在t時段末的庫水位，見下式：

按照上式建立任一水電站i的時段末庫水位描述方程，并對每個特征項對應的系數(shù)ξi，k進行優(yōu)化求解，主要包括以下兩部分。

（1）確定特征項系數(shù)的概率分布與初始值。在式（20）中，M個特征值對應系數(shù)為ξi，k，1 ≤k≤M。由于各ξi，k服從的概率分布均符合均值為0、方差為1，所以如何從各類可選連續(xù)分布中優(yōu)選適合的分布形式并確定隨機系數(shù)的可行域和初始值是非常重要的。通過分析電站歷史調(diào)度過程樣本集，可以有效預判KL展開式隨機系數(shù)的概率分布，使后續(xù)建模更符合工程實際。

本文引入Kullback-Leibler散度這一概念來衡量KL特征項對應隨機系數(shù)的實際概率分布與優(yōu)化計算時假定的概率分布之間的信息誤差。這一概念起源于概率論與信息論。Kullback-Leibler 散度與相對熵、信息散度和分辨信息密切相關，表示兩個概率分布p(x)和q(x)之間差異的非對稱度量。具體來說，p(x)與q(x)的Kullback-Leibler 散度，即DKL(p(x)，q(x))，是對q(x)用于估計p(x)時所丟失的信息的度量。設p(x)和q(x)是離散隨機變量x的兩個概率分布，對總體X中的任意點，p(x)＞0，q(x)＞0。則DKL(p(x)，q(x))可按照下式進行計算：

圖2 特征項系數(shù)迭代計算原理

對任一參與計算電站而言，在確定特征值與特征向量后，可按照下述方法確定KL建模隨機系數(shù)的概率分布：①步驟1。按照KL展開式（20）以及歷年實際調(diào)度過程，通過求解線性方程組確定不同年份來水情況下的{ξi，1，ξi，2，…，ξi，T}，其中M=T，即按照式（18）得到的特征項構(gòu)建式（20）；②步驟2。按照電站的主要特征項，選擇對應的隨機系數(shù)值集合Sy={ξi，1，ξi，2，…，ξi，M}，其中y為歷史調(diào)度過程樣本中包含的年份序號；③步驟3。假定電站共有Y個年份樣本，則主要特征項隨機系數(shù)樣本集為S={S1，S2，…，SY}；④步驟4。根據(jù)樣本S得到KL 建模中各主要特征項對應隨機系數(shù)ξi，k的概率分布p(x)；⑤步驟5。利用式（21）計算預先設定可采用分布q(x)與p(x)之間的Kullback-Leibler散度DKL(p(x)，q(x))；⑥步驟6。選定DKL最小值對應的q(x)概率分布描述電站KL建模中的隨機系數(shù)，確定隨機系數(shù)的可行域以及初始值。

（2）迭代搜索特征項系數(shù)。迭代搜索方式如圖2所示。以隨機系數(shù)初始值為基礎，采用兩階段迭代優(yōu)化其取值。對于任一特征項系數(shù)ξi，k，固定其余特征項系數(shù)，以步長Δs生成可行域范圍內(nèi)的所有系數(shù)狀態(tài)值，按照式（20）計算Zi(t)，并由式（1）計算目標函數(shù)值，選擇目標值最大的ξi*，k作為特征項ξi，k面臨階段的最優(yōu)值；采用同樣思路逐次對其余階段的特征項系數(shù)進行迭代尋優(yōu)，直至滿足給定的收斂條件。

3.6 耦合KL理論和調(diào)度特征的水電調(diào)度求解方法流程流程如下：（1）基于水電站實際運行數(shù)據(jù)，采用3.3節(jié)方法構(gòu)建發(fā)電調(diào)度過程樣本集；（2）提取每個電站的調(diào)度特征值與特征向量。對得到的樣本集進行主成分分析，獲得特征值λk與對應的特征向量(ψ(1)，ψ(2)，…，ψ(T))T，具體方法見3.4節(jié)；（3）優(yōu)選各電站的關鍵特征值。按照式（19）計算各特征值的貢獻率，并按照選定的Kd閾值確定關鍵特征值系列{λ1，λ2，…，λD，D}為滿足閾值的最后一個特征值序號；（4）通過計算3個代表年情況下實際隨機系數(shù)分布與各預設分布的DKL值，確定電站KL表達式中隨機系數(shù)的概率分布；（5）構(gòu)建各電站的KL展開式。以步驟（3）得到的關鍵特征值為輸入，采用式（20）建立每個電站時段末庫水位的KL展開式；（6）優(yōu)化特征項系數(shù)ξk。采用迭代方法，初設迭代次數(shù)為l=0，單次迭代的計算過程見3.5節(jié)；（7）設l=l+1，采用相對誤差法判定是否收斂。若則判定算法收斂，計算結(jié)束。其中Gl為第l次迭代梯級總年發(fā)電量值。在迭代過程中Gl的值單調(diào)增加至趨于平穩(wěn)，變化值符合收斂條件則為目標最大年發(fā)電量。若未收斂，調(diào)用3.5 節(jié)方法進行計算；否則，轉(zhuǎn)至步驟（7）；（8）按照式（20）確定各水電站的調(diào)度過程，計算終止。

4 計算實例

4.1 工程背景云南水能資源可開發(fā)量近1億kW，居全國第二位，主要分布在金沙江、瀾滄江、怒江、紅河和珠江等水系?，F(xiàn)階段，云南省調(diào)水電系統(tǒng)包括大中型水電站170 多座，水電裝機容量約6667萬kW，是我國水電裝機規(guī)模最大的省級電網(wǎng)之一，占全網(wǎng)發(fā)電總裝機比重超過70%。對于如此龐大規(guī)模的水電系統(tǒng)，在日常發(fā)電調(diào)度計劃編制和調(diào)度方案分析中，如何同時保證較高的計算效率和結(jié)果的實用性，是極其重要的。本文以云南省調(diào)超百座電站的水電系統(tǒng)為對象進行方法驗證，設計了3個實例，分別驗證方法的有效性、高效性、KL特征項選擇對計算方法的參數(shù)敏感性以及系數(shù)分布形式的選擇。實例1、實例2分別以單一大型水電站水庫、小灣-糯扎渡雙庫為對象，對比不同來水場景下KL-兩階段迭代搜索方法與經(jīng)典DP方法的結(jié)果精度和時間；實例3以云南省調(diào)所有水電站為對象。整體的計算程序采用JAVA 語言編制，并在處理器為Intel Core i5-2400 3.10GHz，內(nèi)存4GB的DELL商用臺式計算機上完成計算。

4.2 方法有效性檢驗為驗證KL方法求解水電站（群）優(yōu)化調(diào)度問題的有效性，采用豐、平、枯三個典型年對小灣電站、小灣-糯扎渡梯級兩種情況進行長期優(yōu)化調(diào)度計算。由于傳統(tǒng)DP算法具有全局最優(yōu)性，通過KL方法與經(jīng)典DP算法結(jié)果進行對比，分析方法的有效性。計算結(jié)果如表1、表2所示。

表1 小灣電站兩種不同方法的計算結(jié)果

實例1中，在小灣單站情況下，KL方法得到的年發(fā)電量高于DP在1 m、0.5 m離散步長時的最優(yōu)結(jié)果，增幅范圍在0.06%～0.77%；當DP的步長減小至0.1 m時，兩種方法的計算結(jié)果基本一致，但DP的計算耗時是KL方法的21倍左右。與DP方法的離散全局最優(yōu)特性相比，KL方法主要對DP方法優(yōu)化得到的樣本進行特征提取，并按照實際入庫流量過程與目標函數(shù)擬合最優(yōu)調(diào)度過程，所以在DP離散精度較高情況下，總電量可能略小于DP算法。

為進一步驗證兩種方法在計算效率及結(jié)果精度上的差異，在實例2中選取小灣、糯扎渡梯級水電站進行優(yōu)化調(diào)度計算，結(jié)果如表2所示。

表2 小灣-糯扎渡梯級水電站計算結(jié)果

從表2可以看出，對于小灣-糯扎渡梯級水電站，DP方法由于單一階段狀態(tài)數(shù)增加較多，計算效率明顯下降。在同一步長條件下，增加一個電站使計算耗時增加超400余倍，呈指數(shù)增長，“維數(shù)災”問題突出。相比較而言，KL 方法在兩個電站情況下，計算耗時僅比單站計算耗時增加1.86～1.95倍，與上文3.2節(jié)的復雜度理論分析結(jié)果一致，體現(xiàn)了較高的計算效率。

從結(jié)果中看到，在0.1 m 離散步長下的小灣DP 計算結(jié)果好于KL算法。此處KL算法為依據(jù)歷史調(diào)度過程樣本對最優(yōu)調(diào)度過程的一種模擬，并不是一種嚴格的全局最優(yōu)解，而DP的解在離散范圍內(nèi)為全局最優(yōu)，所以當DP離散搜索步長減小到一定程度時得出的優(yōu)化結(jié)果確實要好于KL方法，但同時其需要付出足夠的時間代價，這對于超百座大規(guī)模水電系統(tǒng)而言，就會面臨嚴峻的“維數(shù)災”問題。

4.3 方法的高效性檢驗為驗證方法的高效性，實例3以參與云南省調(diào)平衡的所有水電站為對象進行驗證，其中部分中小流域梯級在實際運行中一般簡化為虛擬電站，所以實際計算電站數(shù)為103座。在計算過程中，季調(diào)節(jié)及以上水電站水庫參與優(yōu)化調(diào)度，其他調(diào)節(jié)性能較差的水電站按照定水位方式進行水能計算。由于來水過程對梯級水電站群的調(diào)度計算有較大影響，所以文中采用瀾滄江、金沙江、怒江、珠江、紅河等主要流域約50年徑流資料進行頻率分析，確定多個不同頻率的典型年徑流場景。

考慮到參與優(yōu)化的電站規(guī)模較大，采用DP方法很難在有效時間收斂到合理結(jié)果，所以本例采用POA方法進行對比分析，以此評價KL方法的計算效率。各主要流域計算結(jié)果見表3，云南水電系統(tǒng)整體計算耗時及總年發(fā)電量見表4，計算過程中各流域主要電站的裝機容量與提取的特征值個數(shù)見表5。

從整體計算結(jié)果來看，不同來水場景下KL方法的發(fā)電量均略高于POA；從計算耗時角度分析，KL方法的總計算時間平均為10 s左右，POA方法為42 s左右，其計算效率約為后者的4.2倍。另一方面，KL方法考慮了電站的歷史調(diào)度樣本，對各種徑流情況的適應性更強，尤其隨著實際調(diào)度資料的不斷延長，提取到的特征變量代表性會更好，算法的整體收斂效率和收斂結(jié)果會不斷得到改善。計算表明，在采用30、40、50年不同長度歷史徑流系列對應的調(diào)度樣本進行KL建模優(yōu)化計算時，流域中主要電站小灣和糯扎渡可提取的主要KL特征項均減少2個，其最終梯級年發(fā)電量也僅為當前優(yōu)化結(jié)果的97.2%，側(cè)面反映出了KL方法優(yōu)化調(diào)度對歷史調(diào)度經(jīng)驗性的耦合。

表3 云南主要流域梯級水電站優(yōu)化計算結(jié)果

表4 云南水電系統(tǒng)總年發(fā)電量及計算耗時

表5 各流域主要調(diào)節(jié)電站KL特征項個數(shù)統(tǒng)計

從表3和表4可以分析，KL 方法在瀾滄江、金沙江等大型流域梯級的電量結(jié)果優(yōu)于POA 方法，但在龍川江、南盤江、李仙江等無大型年調(diào)節(jié)以上電站的主要河流支流，部分來水場景下低于POA方法，主要原因如下。由于瀾滄江小灣、糯扎渡水電站具有多年調(diào)節(jié)性能，調(diào)節(jié)庫容分別達到98.77億m3與113.35億m3，因而在不同來水場景下可能存在多種調(diào)節(jié)調(diào)度過程，說明基于調(diào)度過程特征的KL方法可以提取到更多有效特征建立KL表達式。以糯扎渡水電站為例，可以提取5個KL特征項，每個特征項對應一種典型調(diào)度過程，從而在優(yōu)化搜索時更精準地給出符合實際來水過程的調(diào)度結(jié)果。相比而言，龍川江、南盤江等流域電站調(diào)節(jié)性能較差，可參與優(yōu)化計算的季調(diào)節(jié)電站調(diào)節(jié)庫容較小，因此調(diào)節(jié)調(diào)度過程相對偏少，使得KL表達式中包含的有效特征也相對較少（見表4），KL方法優(yōu)化計算結(jié)果的精度相對較低。部分流域歷史資料較短，例如李仙江梯級水電站，龍馬與居甫渡的資料長度分別為25年與30年，較其余電站50年的歷史資料系列偏短，導致調(diào)度特征識別的樣本集相對偏小，優(yōu)化得到的電量略少于POA方法。

綜上分析，在使用KL方法時，水電站應具有較好的歷史調(diào)度樣本序列和較強的調(diào)節(jié)性能，這種類型電站進行歷史調(diào)度特征提取得到的特征項數(shù)目通常較多且具有代表性，更易得到較好結(jié)果。圖3某水電站特征值曲線

4.4 KL方法特征項敏感性分析根據(jù)上文分析，KL特征項的選擇會直接影響優(yōu)化計算的結(jié)果和效率。為此，本節(jié)選擇單一水電站和梯級水電站進行特征項的敏感性分析。圖3是瀾滄江干流某水電站的KL特征值曲線。

根據(jù)3.3節(jié)中累計貢獻率計算方法，該水電站選擇了累計貢獻率前五的5個特征值及其對應的特征向量用來描述水庫調(diào)度時段末水位的KL展開式。為了分析特征值選取對于計算結(jié)果的影響，分別采用貢獻率排序前二的特征值與前三的特征值構(gòu)建該水電站的KL表達式（簡稱為KL特征組合1 與KL特征組合2），進行水電站群優(yōu)化調(diào)度計算，結(jié)果見圖4。

圖3 某水電站特征值曲線

圖4 KL特征項組合對比計算結(jié)果

從結(jié)果可以看出，在采用3個KL特征項構(gòu)造末水位KL表達式時，電站的調(diào)度過程中棄水明顯減少，且在汛末及供水期初，電站的發(fā)電量有較大增幅，平均每月電量增發(fā)幅度達到5%左右。在8—9月中，采用2個KL特征項的調(diào)度結(jié)果出現(xiàn)了滿發(fā)情況下仍然放出水量的不合理調(diào)度過程，其汛后的發(fā)電能力也受到一定影響。而采用3個KL特征項的情況下，電站的調(diào)度結(jié)果比較合理。因此，按照貢獻率排序，特征項個數(shù)多的方案，其計算結(jié)果更優(yōu)。該結(jié)果從數(shù)值實驗角度側(cè)面驗證了4.3節(jié)具有不同特征項的流域梯級調(diào)度結(jié)果的精度差異。

對于梯級水電站群而言，主要調(diào)節(jié)電站KL特征項的選擇對算法計算效率也存在一定影響。以瀾滄江干流梯級4座年調(diào)節(jié)水電站為例，選擇上述4.3節(jié)中平水年的來水條件，可以得到不同特征項個數(shù)下的計算結(jié)果，見表5。

從表6可以看出，主要調(diào)節(jié)電站的KL特征項選擇對梯級總的發(fā)電量結(jié)果和耗時均有較大影響。隨著特征項個數(shù)的增加，計算時間隨之增加，總發(fā)電量也相對增大。以瀾滄江干流梯級為例，當小灣、糯扎渡、大朝山、黃登4座電站的特征項均增加1個時，總發(fā)電量增加約2.4億kW·h，計算耗時增加了171 ms。因此，在使用KL方法求解梯級水電站的優(yōu)化調(diào)度問題時，KL特征項的選擇是非常重要的，需要結(jié)合不同流域梯級的電站特性選擇適合的特征項個數(shù)，以有效均衡結(jié)果精度和計算效率。

表6 不同KL特征項個數(shù)下瀾滄江梯級電站的計算結(jié)果

4.5 隨機變量的概率分布分析在使用KL 展開建模時，隨機系數(shù)概率分布的選取要求滿足均值為0、方差為1的條件即可。然而，對于特定物理過程而言，選擇不同的概率分布都會直接影響KL方法優(yōu)化計算的收斂速度和優(yōu)化結(jié)果。上文已經(jīng)給出了利用Kullback-Leibler 散度選擇特定電站隨機系數(shù)概率分布的方法步驟。本節(jié)采用小灣-糯扎渡雙庫系統(tǒng)進行驗證，結(jié)果見表7。

表7 電站隨機系數(shù)適用分布對比計算結(jié)果

通過表7可知，對于小灣、糯扎渡兩個多年調(diào)節(jié)水庫而言，在多年歷史樣本情況下，均勻分布對原系數(shù)分布擬合最好，損失信息特征最小，故選擇均值為0、方差為1的均勻分布作為KL 建模中隨機系數(shù)的概率分布，以切實反映實際水庫調(diào)度運行的水位變化規(guī)律。為進一步驗證其合理性，分別采用3種隨機系數(shù)分布進行對比分析，通過A、B、C三組分別建立KL展開表達式，對小灣-糯扎渡進行優(yōu)化調(diào)度計算，結(jié)果見表8。

表8 不同隨機系數(shù)分布計算結(jié)果對比

可以看出，在可行域內(nèi)以0.1步長進行搜索計算，A組梯級年發(fā)電量最高，說明采用均勻分布進行隨機系數(shù)組合計算，得到的KL 展開式更符合實際的時段末水位隨機過程；B、C 組的收斂時間雖然相對較短，但其隨機系數(shù)組合相對于均勻分布，對實際隨機過程的擬合程度較差，導致優(yōu)化結(jié)果的精度較低。可見，隨機系數(shù)的概率分布會在很大程度上影響KL方法的收斂速度以及KL展開方程對實際隨機調(diào)度過程的擬合程度。

5 結(jié)論

本文針對超大規(guī)模水電系統(tǒng)的高效求解問題，以水電站群長系列實際調(diào)度過程數(shù)據(jù)為基礎，耦合KL展開與調(diào)度特征提取技術，提出一種大規(guī)模水電站群優(yōu)化調(diào)度降維方法，通過云南省調(diào)超百座大中型水電站優(yōu)化調(diào)度分析，獲得如下結(jié)論：（1）在水電優(yōu)化調(diào)度中，采用長系列實際調(diào)度過程作為樣本，從中提取電站的主要調(diào)度特征以實現(xiàn)庫水位的準確數(shù)學描述，有助于削減模型涉及的變量個數(shù)，與經(jīng)典DP方法相比，在同等計算條件下，其計算復雜度隨電站數(shù)從指數(shù)增長下降至線性增長，能夠顯著緩解“維數(shù)災”問題；（2）電站調(diào)節(jié)能力與實際調(diào)度過程的數(shù)據(jù)長短對KL方法的適用性有較大影響。本文實例中，KL方法在實際調(diào)度過程資料較長，且年調(diào)節(jié)及以上電站的優(yōu)化調(diào)度中體現(xiàn)出更好的計算效果；（3）采用KL方法建模時，特征項的隨機系數(shù)概率分布直接關系到電站水位過程的確定。對于具有長系列調(diào)度數(shù)據(jù)的電站，采用Kullback-Leibler 散度量化評估原始隨機過程系數(shù)分布與預設分布的信息損失，能夠較好地確定隨機系數(shù)概率分布形式；（4）調(diào)度特征項的個數(shù)選取對KL方法的結(jié)果精度和計算耗時有較大影響，通常情況下，結(jié)果精度隨特征項個數(shù)的增加會得到改善，但計算時間也會隨之增加。因此在實際應用中，應結(jié)合水電系統(tǒng)的特征選擇適合的特征項參數(shù)。