兩跨連續(xù)梁的單邊接觸屈曲分析

倪曉文

(同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院，上海 200092)

0 引言

彈性地基梁理論在實(shí)際的工程應(yīng)用中較為廣泛，尤其是在海底的沉管、地下建筑結(jié)構(gòu)中。Timoshenko等[1]最先研究了單跨有限長(zhǎng)彈性地基梁的線性屈曲問題。近年來，眾多學(xué)者對(duì)彈性地基梁的屈曲問題開展了一系列研究。2011年，于永平等人[2]針對(duì)無限長(zhǎng)預(yù)應(yīng)力彈性地基梁后屈曲問題給出了數(shù)值解。事實(shí)上，對(duì)于此類問題，將土體簡(jiǎn)化成Winkler彈性地基仍有不足，比如土體對(duì)桿件的受拉約束可以忽略，因此彈性地基梁的屈曲問題本質(zhì)上屬于“單邊接觸屈曲問題”[3]。2018年，Wang等[4]研究了隧道施工中頂管的屈曲問題，將頂管周圍的土體簡(jiǎn)化為僅受壓不能受拉的彈簧，采用有限條法分析鋼管的屈曲，研究了徑厚比、基床剛度系數(shù)對(duì)鋼管屈曲的影響。本文將針對(duì)彈性支承的兩跨連續(xù)梁?jiǎn)芜吔佑|屈曲問題采用解析法進(jìn)行求解，并研究彈簧剛度對(duì)屈曲模態(tài)的影響。

1 控制方程的建立

如圖1所示，一彈性支承的兩跨連續(xù)梁承受縱向荷載，彈簧僅能受壓、不能受拉，彈簧剛度常數(shù)為k。虛線為可能發(fā)生的失穩(wěn)形式。

桿件的彈性彎曲應(yīng)變能：

(1)

彈簧的應(yīng)變能：

(2)

體系的荷載勢(shì)能：

(3)

其中，θ為桿件微段的轉(zhuǎn)角?？紤]小變形：

彎曲應(yīng)變能變分：

(4)

彈簧應(yīng)變能變分：

(5)

對(duì)式(4)進(jìn)行分部積分：

(6)

注意，上式用到了邊界條件：

(7)

同理，體系勢(shì)能變分：

(8)

能量泛函：

∏=U1+U2+V

(9)

上式代入Euler-Lagrange方程：

(10)

可以得到連續(xù)彈性地基梁進(jìn)行線性屈曲分析時(shí)的控制方程：

(11)

2 控制方程的求解

為了后續(xù)推導(dǎo)方便，建立局部坐標(biāo)系x1,x2,x3，如圖1所示，設(shè)桿件與彈簧的接觸長(zhǎng)度為a，則方程(11)可以寫為：

(12)

方程(12)的解答為：

(13)

式中:

(14)

根據(jù)邊界條件與變形協(xié)調(diào)條件：

(15)

將式(13)代入式(15)，得到關(guān)于待定系數(shù)Ai,Bi，Ci，i=1,2,3,4的線性代數(shù)方程組。系數(shù)矩陣記為K(N,a)，是臨界荷載N的非線性函數(shù)。桿件發(fā)生彈性失穩(wěn)時(shí)，系數(shù)矩陣奇異，則桿件的屈曲方程為方程(17)，即系數(shù)矩陣K(N,a)的行列式值為0。

(16)

Γ(N,a)=det[K(N,a)]=0

(17)

方程(17)為關(guān)于臨界荷載N與接觸長(zhǎng)度a的非線性方程，顯然，對(duì)于不同的接觸長(zhǎng)度a，方程(17)可以求得不同的N值。然而臨界荷載Ncr對(duì)應(yīng)唯一的接觸長(zhǎng)度，因此可以把原問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)非線性規(guī)劃問題，即尋求使得方程(17)的解取得最小值的a：

(18)

由圖2可以看出，對(duì)于單邊約束的兩跨連續(xù)彈性地基梁，當(dāng)其發(fā)生彈性失穩(wěn)時(shí)，一跨會(huì)脫離彈簧的約束，變形顯著；另一跨變形較小，并且與彈簧發(fā)生接觸，相當(dāng)于為變形顯著的一跨提供彈性轉(zhuǎn)動(dòng)約束。本文在求解時(shí)，僅僅考慮彈簧剛度較大情況，即桿件與彈簧接觸后會(huì)再分離，當(dāng)彈簧剛度較小時(shí)，桿件將會(huì)有一跨與彈簧完全接觸。

3 彈簧剛度系數(shù)對(duì)臨界荷載的影響

隨著彈簧剛度的變化，連續(xù)梁的屈曲模態(tài)與臨界荷載也會(huì)發(fā)生改變，比如當(dāng)彈簧剛度k→0時(shí)，其屈曲模態(tài)見圖3。

此時(shí)桿件的臨界荷載等同于兩端鉸接時(shí)的情況：

(19)

當(dāng)彈簧剛度k→∞時(shí)，桿件屈曲時(shí)將不會(huì)與彈簧發(fā)生接觸，如圖4所示。

此時(shí)桿件的臨界荷載等同于一端鉸接、一端剛接的情況。

(20)

圖5,圖6給出了彈簧剛度為有限值時(shí)，不同彈簧剛度對(duì)應(yīng)的臨界荷載與接觸長(zhǎng)度。

4 結(jié)語

通過以上計(jì)算與分析，可以得出以下結(jié)論：

1)隨著彈簧剛度的增大，彈性地基梁的屈曲臨界荷載逐漸增大，增大的趨勢(shì)逐漸變緩，并逐漸趨近于一端鉸接、一端剛接時(shí)的臨界荷載。2)隨著彈簧剛度的增大，彈性地基梁屈曲時(shí)與彈簧的接觸長(zhǎng)度逐漸減小，當(dāng)彈簧剛度足夠大時(shí)，桿件屈曲時(shí)將幾乎不會(huì)與彈簧發(fā)生接觸。3)Abaqus

的計(jì)算結(jié)果總是偏小是因?yàn)樵谟邢拊浖惺┘拥氖请x散形式的彈簧，離散形式的彈簧對(duì)桿件的約束比連續(xù)分布的彈簧約束弱。4)單邊接觸屈曲問題由于接觸的非線性，給求解增加了困難，確定接觸范圍是求解的關(guān)鍵。