基于半解析法的功能梯度圓錐板自由振動(dòng)特性

田宏業(yè)，劉 朋，胡志寬，邱立凡，陶 沙

（中國(guó)船舶科學(xué)研究中心，江蘇無(wú)錫214082）

0 引 言

復(fù)合材料結(jié)構(gòu)由于其輕質(zhì)高強(qiáng)、隱身性能好、耐腐蝕等優(yōu)點(diǎn)在船舶與海洋工程領(lǐng)域的應(yīng)用越來(lái)越廣泛，且在工程應(yīng)用中遵循著從次承力結(jié)構(gòu)到主承力結(jié)構(gòu)的規(guī)律。這就勢(shì)必導(dǎo)致復(fù)合材料結(jié)構(gòu)工作在非常復(fù)雜甚至極端的動(dòng)態(tài)環(huán)境中，承受著不同性質(zhì)的動(dòng)態(tài)載荷，并可能導(dǎo)致復(fù)合材料結(jié)構(gòu)產(chǎn)生有害振動(dòng)，引起結(jié)構(gòu)疲勞破壞，對(duì)結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性和系統(tǒng)的安全性構(gòu)成極大的威脅。因此，開展復(fù)合材料結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性規(guī)律研究，及時(shí)發(fā)現(xiàn)復(fù)合材料結(jié)構(gòu)振動(dòng)薄弱環(huán)節(jié)，對(duì)指導(dǎo)復(fù)合材料結(jié)構(gòu)工程應(yīng)用具有重要的意義。

在此研究方面，劉明[1]采用高階夾層板理論研究了多種新型功能梯度材料軟夾芯夾層板殼的自由振動(dòng)；張玲[2]研究了四邊簡(jiǎn)支邊界條件下功能梯度矩形板自由振動(dòng)特性；牛燕[3]考慮熱環(huán)境的作用，運(yùn)用一階剪切變形理論和von-Karman 型應(yīng)變位移關(guān)系，通過(guò)Hamilton 原理推導(dǎo)出功能梯度圓錐曲板的非線性動(dòng)力學(xué)偏微分方程；Abdelkader等人[4]基于四變量板理論對(duì)任意梯度的功能梯度板進(jìn)行了自由振動(dòng)分析；Jooybar[5]研究了碳納米管（CNT）功能梯度材料板殼在厚度方向上的分布、幾何參數(shù)、邊緣約束的彈性系數(shù)、溫度升高和初始熱應(yīng)力對(duì)頻率參數(shù)的影響等；王金朝[6]基于能量原理研究了不同板殼結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性，并通過(guò)對(duì)錐-柱-球殼組合殼體進(jìn)行振動(dòng)試驗(yàn)，驗(yàn)證了理論方法的可行性。

由以上研究可知，目前國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)功能梯度矩形板、圓柱板等結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性進(jìn)行了深入的分析，但對(duì)功能梯度圓錐板結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)研究有待豐富。為此，本研究以功能梯度圓錐板為研究對(duì)象，基于一階剪切變形理論開展一般邊界條件下圓錐板結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)特性研究，并探究材料和幾何參數(shù)對(duì)其振動(dòng)特性的影響，旨在為功能梯度圓錐板工程應(yīng)用提供理論依據(jù)。

1 理論方法

1.1 幾何模型

圖1為功能梯度圓錐板幾何模型，坐標(biāo)系為O(s，θ，z)；圓錐板結(jié)構(gòu)沿曲率s方向曲率半徑為∞，垂直于曲率s方向半徑為R = s·sinα0，沿s方向結(jié)構(gòu)長(zhǎng)度為L(zhǎng)，沿θ方向轉(zhuǎn)角為?(0≤?＜2π)，厚度為h。

圖1 圓錐板結(jié)構(gòu)模型與坐標(biāo)系Fig.1 Structure model and coordinate system of functionally graded conical panel

1.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系與應(yīng)力合力

基于一階剪切變形理論，功能梯度圓錐板任意點(diǎn)的位移分量由參考面位移和轉(zhuǎn)角表示：

式中，u，v和w分別表示參考面上任意點(diǎn)在s、θ和z方向的位移；ψs和ψθ分別表示參考面法線繞θ和s方向的轉(zhuǎn)角；t表示時(shí)間。

功能梯度圓錐板參考面應(yīng)變-位移關(guān)系為

式中，A和B表示Lamé參數(shù)[7-8]，對(duì)本文圓錐殼結(jié)構(gòu)而言，A=1，B=s·sinα0。

根據(jù)文獻(xiàn)[9]和式（2）功能梯度圓錐板的幾何方程，功能梯度圓錐板應(yīng)力分量和應(yīng)變分量之間的關(guān)系可表示為

式中，Cij（i，j=1,2,3,4,5,6）為彈性剛度系數(shù)，詳細(xì)表達(dá)式可參考文獻(xiàn)[9]。

通過(guò)將應(yīng)力沿功能梯度圓錐殼厚度上積分即可得到力和力矩，根據(jù)廣義胡克定律，用應(yīng)變表示應(yīng)力，最終可以將力和力矩用終面應(yīng)變和曲率分量表示[10]，即

式中，Ns、Nθ和Nsθ為面應(yīng)力，Ms、Mθ和Msθ為力矩，Qs、Qθ為橫向剪切力，κ為剪切修正因子，其取值通常為κ=5/6。

由式（4）本構(gòu)關(guān)系可知，功能梯度材料存在拉伸-彎曲耦合，但不存在拉伸-剪切耦合。Aij、Bij和Dij為拉伸、拉伸-彎曲耦合和彎曲剛度系數(shù)，其具體表達(dá)式為

式中，彈性常數(shù)Qij(z)為厚度方向z的函數(shù)，其定義如下：

本研究中功能梯度圓錐板由陶瓷和金屬混合制成，楊氏模量E(z)、密度ρ(z)以及泊松比μ(z)沿厚度方向連續(xù)，可進(jìn)行以下線性組合：

式中，下角標(biāo)c和m分別代表陶瓷和金屬，體積分?jǐn)?shù)Vc遵循以下四參數(shù)冪律分布：

式中，p為冪律指數(shù)；a，b，c為材料參數(shù)。FGMI和FGMII的體積分?jǐn)?shù)Vc在參考面z=0處對(duì)稱，所有組成相的體積分?jǐn)?shù)之和為1[8]，即

功能圓錐板應(yīng)變能可定義為

功能梯度圓錐板動(dòng)能函數(shù)可表示為

式中，

功能梯度圓錐板四邊布置五組彈簧來(lái)模擬一般邊界條件，其一般邊界條件方程式如下：

存儲(chǔ)在邊界彈簧中的勢(shì)能Usp可表示為

1.3 位移函數(shù)

為克服邊界的不連續(xù)性，本研究中位移容許函數(shù)采用改進(jìn)的傅里葉級(jí)數(shù)來(lái)表示，不同位移分量可表示為

功能梯度圓錐板拉格朗日方程可表示為

將式（10）、（11）和（14）分別代入式（17），通過(guò)對(duì)未知系數(shù)求偏導(dǎo)可得

整理可得如下矩陣形式：

式中，K、M、和H 分別表示剛度矩陣、質(zhì)量矩陣和未知系數(shù)矩陣。通過(guò)解方程（19）可獲得功能梯度圓錐板結(jié)構(gòu)的特征頻率和模態(tài)陣型。

2 數(shù)值計(jì)算

2.1 收斂性研究和有效性驗(yàn)證

從理論表達(dá)式中可以看出，計(jì)算精度依賴于位移表達(dá)式的限制項(xiàng)數(shù)。因此，收斂性研究關(guān)鍵在于選擇適當(dāng)?shù)慕財(cái)囗?xiàng)，同時(shí)通過(guò)與已有文獻(xiàn)對(duì)比驗(yàn)證本文方法的有效性。

（1）收斂性研究

不同邊界參數(shù)下約束剛度Γ對(duì)彈性邊界條件下功能梯度圓錐板頻率參數(shù)的影響如圖2所示。

無(wú)量綱邊界約束參數(shù)Γ?（?=u,v,w,s,θ）為相應(yīng)的彈簧剛度與參考彎曲剛度D 的比率，即Гu=ku/D，Гv=kv/D，Гw=kw/D,Гs=Ks/D，Гθ=Kθ/D，其中D=Emh3/12(1-μm2)為結(jié)構(gòu)剛度系數(shù)。當(dāng)Γ?=0 時(shí)，邊界自由；當(dāng)Γ?=∞時(shí)，邊界剛固；Гu=101～105范圍時(shí)，頻率參數(shù)Ω 迅速增加，為彈性邊界條件。本文以下算例中各種邊界條件通過(guò)表1功能梯度圓錐板彈簧剛度值確定。

圖2 基頻參數(shù)Ω隨功能梯度圓錐板彈性約束參數(shù)的變化Fig.2 Variation of Ω versus Γ for functionally graded conical shell

表1 一般邊界條件下圓錐板彈簧剛度值Tab.1 Corresponding spring stiffness values of conical shell for general boundary conditions

表1 中，F(xiàn)、C、S、Ei分別表示自由、固支、簡(jiǎn)支及彈性邊界條件。

功能梯度圓錐板不同截?cái)嘞禂?shù)下前三階頻率參數(shù)的收斂性情況如圖3所示。從圖3中可以看出，所提出的統(tǒng)一方法收斂速度快，穩(wěn)定性好。鑒于當(dāng)前解的優(yōu)良數(shù)值特性，本研究定義截?cái)鄶?shù)M=N=15。

為進(jìn)一步驗(yàn)證本研究方法的有效性，將本文結(jié)果與已有文獻(xiàn)進(jìn)行了對(duì)比分析，如表2 所示。由表2 可知，一般邊界條件下，本文方法結(jié)果與現(xiàn)有文獻(xiàn)結(jié)果一致性較高，表明本文基于收斂性分析成果，采用邊界彈簧來(lái)模擬一般邊界條件是可行的。

圖3 圓錐板的頻率參數(shù)Ω隨截?cái)鄶?shù)M、N的變化Fig.3 Variation of Ω versus M and N for functionally graded conical panels

表2 具有不同冪律指數(shù)p的功能梯度圓錐板的前九階頻率（Hz）的比較Tab.2 Comparison of the first nine-order frequencies(Hz)of functionally graded conical shells with different p

2.2 功能梯度圓錐板自由振動(dòng)特性

在收斂性分析成果的基礎(chǔ)上，計(jì)算得到一般邊界條件下功能梯度圓錐板結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)特性，如表3所示。

表3 具有不同邊界條件的功能梯度圓錐板的前六階頻率參數(shù)Tab.3 First six-order Ω of the functionally graded conical panels with different boundary conditions

從表3 可知，同一模態(tài)參數(shù)下，功能梯度圓錐板自由邊界振動(dòng)頻率參數(shù)較其它邊界小，不同分布類型的頻率參數(shù)相差不大，且第一類分布類型較高于第二類分布類型。不同邊界條件下，功能梯度圓錐板模態(tài)陣型如圖4所示。

為充分探究一般邊界條件下功能梯度圓錐板結(jié)構(gòu)和材料參數(shù)對(duì)自由振動(dòng)特性的影響，本研究在收斂性分析的基礎(chǔ)上，探究了結(jié)構(gòu)厚度h、冪指數(shù)p和材料參數(shù)a、b、c等對(duì)功能梯度圓錐板自由振動(dòng)的影響。

圖4 不同邊界條件圓錐板的模態(tài)形狀Fig.4 Mode shapes for conical panels with different boundary conditions

（1）厚度h的研究

不同剪切修正因子下，結(jié)構(gòu)厚度對(duì)功能梯度圓錐板自由振動(dòng)特性的影響如圖5所示。

圖5 不同剪切修正系數(shù)圓錐板體的基頻參數(shù)與厚度h的關(guān)系Fig.5 Fundamental frequency parameters of conical panels versus h with different κ

由圖5 可知，具有不同剪切修正因子的功能梯度圓錐板板自由振動(dòng)頻率參數(shù)隨結(jié)構(gòu)厚度變化影響較大。同一剪切修正因子下，在一定厚度范圍內(nèi)，功能梯度圓錐板頻率參數(shù)隨結(jié)構(gòu)厚度變化呈近似線性關(guān)系。剪切修正因子主要影響較厚功能梯度圓錐板的振動(dòng)特性，對(duì)小厚度結(jié)構(gòu)影響較小。

（2）冪指數(shù)p的研究

剛性固定條件下，不同冪指數(shù)p 對(duì)功能梯度圓錐板FGMI(a=1/b=0.5/c=2/p)和FGMII(a=1/b=0.5/c=2/p)自由振動(dòng)的影響如圖6所示。

由圖6 可知，對(duì)兩類功能梯度圓錐板而言，頻率參數(shù)隨冪指數(shù)增大呈總體減小趨勢(shì)，在冪指數(shù)低值段，頻率參數(shù)急劇減小，在高值段逐漸趨于平緩。同一冪指數(shù)下，不同類型功能梯度圓錐板頻率參數(shù)差別較小。

（3）材料參數(shù)a、b、c的研究

材料參數(shù)a、b、c對(duì)功能梯度圓錐板頻率參數(shù)的影響如圖7所示。為方便研究，不同材料參數(shù)組合成以下四種類型，類型1：a=1，b=c=0；類型2：a=1，b=0.5，c=2；類型3：a=0，b=-0.5，c=2；類型4：a=1，b=1，c=4。

圖6 功能梯度圓錐板FGMI和FGMII的一階頻率的變化Fig.6 Variations of the first-order frequencies of the functionally graded FGMI and FGMII conical panels

圖7 不同材料參數(shù)對(duì)第一類功能梯度圓錐板頻率參數(shù)的影響Fig.7 Influence of different material parameters on frequency parameters

由圖7可知，不同材料參數(shù)對(duì)功能梯度圓錐板頻率參數(shù)影響較大。p=5為四種功能梯度圓錐板頻率參數(shù)變化趨勢(shì)的拐點(diǎn)；類型1和類型2材料參數(shù)對(duì)功能梯度圓錐板頻率參數(shù)的影響基本一致。因此，為避免結(jié)構(gòu)共振，在進(jìn)行功能梯度材料設(shè)計(jì)及應(yīng)用中，應(yīng)充分考慮材料參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)頻率參數(shù)的影響。

3 結(jié) 論

本研究基于一階剪切變形理論，采用改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)構(gòu)造功能梯度圓錐板的位移容許函數(shù)，并通過(guò)里茲法探究了一般邊界條件下功能梯度圓錐板結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)特性，研究成果可為相關(guān)理論研究及工程應(yīng)用提供一定的數(shù)據(jù)積累。通過(guò)本文研究，得到了以下主要結(jié)論：

（1）數(shù)值算例方面，本文方法具有較好的收斂性和較高的求解精度；在收斂性方面，Γ?=0時(shí)邊界自由，當(dāng)Γ?=∞時(shí)邊界剛固，Гu=10～105范圍時(shí)為彈性邊界條件，截?cái)嘞禂?shù)M=N≥10時(shí)圓錐板結(jié)構(gòu)計(jì)算結(jié)果收斂；在計(jì)算精度方面，本文結(jié)果與已有公開發(fā)表的文獻(xiàn)一致性較好。

（2）功能梯度圓錐板固有振動(dòng)特性不僅與邊界條件有關(guān)，而且與其自身材料屬性有關(guān)，具有不同剪切修正因子的功能梯度圓錐板板自由振動(dòng)頻率參數(shù)受結(jié)構(gòu)厚度影響較大，同一剪切修正因子下，在一定厚度范圍內(nèi)，功能梯度圓錐板頻率參數(shù)隨結(jié)構(gòu)厚度變化呈近似線性關(guān)系；頻率參數(shù)隨冪指數(shù)增大呈總體減小趨勢(shì)，在冪指數(shù)低值段，頻率參數(shù)急劇減小，在高值段逐漸趨于平緩。