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    含變化電動(dòng)勢電路中電容充放電過程的求解方法

    2021-03-29 01:10:58徐地虎
    物理教師 2021年1期
    關(guān)鍵詞:金屬棒電動(dòng)勢極板

    徐地虎

    (江蘇省錫山高級中學(xué),江蘇 無錫 214174)

    固定電源給電容器充電過程以及能量轉(zhuǎn)化得到了很好的研究,[1-3]但對于含變化電動(dòng)勢電路中電容充放電過程,以及處理相關(guān)電路的方法暫時(shí)沒有很好的總結(jié),在此通過求解含變化電動(dòng)勢電路中電容充放電過程,并得到相關(guān)物理量隨時(shí)間的變化關(guān)系,最后總結(jié)處理這類電路的基本方法.

    1 變化電動(dòng)勢電路中電容器的充電

    圖1 變化電動(dòng)勢電路中電容器的充電示意圖

    例1.如圖1所示,兩無限長光滑平行金屬導(dǎo)軌間距為L,質(zhì)量為m的金屬棒MN垂直跨在導(dǎo)軌上,且與導(dǎo)軌接觸良好,整個(gè)裝置處在垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場中,磁感應(yīng)強(qiáng)度為B.電容器的電容為C,除電阻R外,導(dǎo)軌和導(dǎo)線的電阻均不計(jì).現(xiàn)給金屬棒MN一個(gè)初速度v0,使金屬棒MN向右運(yùn)動(dòng),求極板電量Q、電路電流I、棒的速度v和加速度a隨時(shí)間變化,動(dòng)量p與電荷量Q之間的關(guān)系以及電路穩(wěn)定后的狀態(tài).

    分析:初始時(shí)金屬棒向右運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢,回路中有充電電流對電容器充電,兩極板電量增加,極板間電壓增大,同時(shí)金屬棒受到安培力而減速,電動(dòng)勢減小,當(dāng)金屬棒中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢與電容器兩極板間的電壓相等時(shí),電路中的電流為0,電路穩(wěn)定.

    解析:以向右方向?yàn)檎较颍O(shè)t時(shí)刻金屬棒的速度為v,加速度為a,電路中電流為I,電容器兩端的電荷量為Q,則電容器兩端電壓為

    (1)

    金屬棒切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢

    E=BLv.

    (2)

    整個(gè)電路中有

    IR=E-U.

    (3)

    利用電流的定義式

    (4)

    對金屬棒受力分析有

    (5)

    由(4)、(5)式可得

    (6)

    對(6)式兩邊積分,t=0時(shí),Q=0,v=v0可得

    BLQ=m(v0-v).

    (7)

    由(7)式可知

    p=mv0-BLQ.

    (8)

    將(1)、(2)、(4)、(7)式代入(3)式,整理可得

    (9)

    解方程(9)式,代入初始條件t=0,Q=0,有

    (10)

    將(10)式代入(4)式有

    (11)

    將(9)式代入(7)式有

    (12)

    (13)

    系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí),即t→,可得

    (14)

    If=0,

    (15)

    (16)

    af=0.

    (17)

    通過求解得到了充電過程中Q,I,v,a隨時(shí)間t變化以及p隨Q變化關(guān)系如圖2所示.

    圖2 充電過程中Q,I,v,a隨時(shí)間t變化及p隨Q變化圖

    在電容器的充電過程中,極板電荷量逐漸增加,充電電流逐漸減小,棒的速度逐漸減小,加速度也逐漸減小,動(dòng)量逐漸減小且電荷量成線性關(guān)系.最終穩(wěn)定時(shí),極板電荷量不變,棒做勻速直線運(yùn)動(dòng).

    2 變化電動(dòng)勢電路中電容器的放電

    圖3 變化電動(dòng)勢電路中電容器的放電示意圖

    例2.如圖3所示,兩無限長光滑平行金屬導(dǎo)軌間距為L,質(zhì)量為m的金屬棒MN垂直跨在導(dǎo)軌上,且與導(dǎo)軌接觸良好,整個(gè)裝置處在垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場中,磁感應(yīng)強(qiáng)度為B.電容器的電容為C,除電阻R外,導(dǎo)軌和導(dǎo)線的電阻均不計(jì).初始時(shí)電容器極板帶電荷量為Q0,金屬棒MN初速度為0,求極板電荷量Q、電路電流I、棒的速度v和加速度a隨時(shí)間變化,動(dòng)量p與電荷量Q之間的關(guān)系以及電路穩(wěn)定后的狀態(tài).

    分析:初始時(shí)電容器放電,金屬棒受安培力向右運(yùn)動(dòng),同時(shí)金屬棒向右運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生反向電動(dòng)勢,回路中電流減小,金屬棒速度增大,加速度減小,當(dāng)金屬棒中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢與電容器兩極板間的電壓相等時(shí),電路中的電流為0,電路穩(wěn)定.

    解析:以向右方向?yàn)檎较颍O(shè)t時(shí)刻金屬棒的速度為v,加速度為a,動(dòng)量為p,電流中電流為I,電容器兩端的電荷量為Q,則電容器兩端電壓為

    (18)

    金屬棒切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢

    E=BLv.

    (19)

    整個(gè)電路中有

    IR=U-E.

    (20)

    電流方向如圖3所示,利用電流的定義式

    (21)

    對金屬棒受力分析有

    (22)

    由(21)、(22)式可得

    (23)

    對(6)式兩邊積分,t=0時(shí),Q=Q0,v=0可得

    p=mv=BL(Q0-Q).

    (24)

    將(18)、(19)、(21)、(24)代入(20)式,整理可得

    (25)

    解方程式(25),代入初始條件t=0,Q=Q0,v0=0有

    (26)

    將(26)代入(21)式有

    (27)

    電流為負(fù),表示的是電流方向從上自下經(jīng)過導(dǎo)體棒.

    將(26)式代入(24)式有

    (28)

    (29)

    系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí),即t→∞,可得

    (30)

    If=0,

    (31)

    (32)

    af=0.

    (33)

    通過求解得到了放電過程中Q,I,v,a隨時(shí)間t變化以及p隨Q變化關(guān)系如圖4所示.

    在電容器的放電過程中,極板電荷量逐漸減少,充電電流逐漸減小,棒的速度逐漸增大,加速度也逐漸減小,動(dòng)量逐漸增大且與電荷量成線性關(guān)系.最終穩(wěn)定時(shí),極板電荷量不變,棒做勻速直線運(yùn)動(dòng).

    圖4 放電過程中Q,I,v,a隨時(shí)間t變化及p隨Q變化圖

    3 含變化電動(dòng)勢電路中電容充放電過程的求解方法

    以上通過解析法求解含變化電動(dòng)勢電路中電容充放電過程,得到了物理量隨時(shí)間的變化關(guān)系,并總結(jié)了求解此類問題的基本思路和方法.通過解析得到該類電路中各物理量隨時(shí)間的變化關(guān)系、有助于對師生深入理解電路中電容器的充放電過程和物體的運(yùn)動(dòng)過程,同時(shí)為教師在設(shè)置相關(guān)試題參數(shù)時(shí)提供了參考.

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