波函數(shù)法在成層半空間圓形隧道動(dòng)力響應(yīng)分析中的應(yīng)用

馬笑遇，袁宗浩，戴凱鑫，蔡袁強(qiáng)，羅 軍，李旭東，孫宏磊

(1.杭州市地鐵置業(yè)有限公司，浙江 杭州 310014；2.浙江工業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院，浙江 杭州 310023；3.浙江萬科南都房地產(chǎn)有限公司，浙江 杭州 310014)

目前，地鐵列車引起的環(huán)境振動(dòng)問題日益嚴(yán)重，公眾對此類環(huán)境污染問題的敏感度日益提升。為了預(yù)測和評估環(huán)境振動(dòng)對周邊建筑物及居民的影響，學(xué)者們提出了許多分析模型對地鐵列車運(yùn)行引起的地基振動(dòng)進(jìn)行預(yù)測。Metrikine等[1]將隧道模擬為一根嵌入在黏彈性半平面內(nèi)的歐拉梁，提出了一個(gè)較為簡單的二維地下梁模型，用于研究歐拉梁上移動(dòng)荷載引起的地面振動(dòng)問題；Balendra等[2]提出了一個(gè)二維解析分析模型，用于研究平面應(yīng)變條件下地鐵列車荷載激勵(lì)下的隧道-土體動(dòng)力響應(yīng)問題；在假設(shè)隧道直徑遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于土中波長的基礎(chǔ)上，Krylov[3]將每一個(gè)枕木處傳遞的列車軸重作為埋置于三維半空間中點(diǎn)荷載，研究了地下列車運(yùn)行引起半空間中波動(dòng)傳遞特性。上述模型對地鐵引起環(huán)境振動(dòng)問題的模擬過于簡化，有的將其考慮為二維問題，沒有考慮波動(dòng)在第3 個(gè)方向上的傳播；有的未計(jì)入襯砌的幾何尺寸，忽略了襯砌隧道的波導(dǎo)效應(yīng)。后來，在圓柱形彈性理論的基礎(chǔ)上，F(xiàn)orrest等[4-5]提出了一種“管中管”(Pipe-in-pipe, PIP)模型，內(nèi)層管模擬中空的圓形襯砌隧道，外層管模擬襯砌周邊土體，由于外層管考慮為全空間，該模型無法考慮地表反射作用對動(dòng)力響應(yīng)計(jì)算結(jié)果的影響；Hussein等[6]為了將“管中管”模型拓展至半空間中，提出了隧道位移不受地基表面影響的假設(shè)，并據(jù)此建立了半空間中圓形襯砌隧道動(dòng)力響應(yīng)的近似解析解；高廣運(yùn)等[7]基于Biot理論建立了2.5維地鐵列車-隧道-飽和地基動(dòng)力相互作用模型，研究了地鐵荷載引起的飽和地基動(dòng)力響應(yīng)；Lu等[8]將圓形襯砌隧道分段處理，將襯砌管片視為彎曲梁，建立了考慮管片接頭剛度弱化的隧道振動(dòng)預(yù)測模型，數(shù)值結(jié)果表明管片接頭處的剛度差對襯砌內(nèi)力有較大影響；徐斌等[9]提出了移動(dòng)荷載下層狀飽和土地基的動(dòng)力響應(yīng)解析解，數(shù)值結(jié)果表明移動(dòng)荷載作用下含有軟弱夾層的層狀地基比均質(zhì)地基具有更大的動(dòng)力響應(yīng)水平。除了上述研究外，在地下隧道靜和動(dòng)力特性方面，蒲軍平等[10]對公路隧道沖擊響應(yīng)問題，采用2D有限元進(jìn)行了分析研究；王哲等[11]對淺埋暗挖隧道地面沉降槽寬度系數(shù)如何取值，開展了一系列數(shù)值模擬和試驗(yàn)研究；王克忠等[12]研究了滲流-應(yīng)力耦合下，深埋引水隧洞變形的穩(wěn)定性問題。

現(xiàn)有的研究成果尚缺乏移動(dòng)荷載下成層半空間中圓形襯砌隧道動(dòng)力響應(yīng)的解析閉合解，為此，筆者提出一種適用于成層地基中淺埋隧道地基振動(dòng)預(yù)測的解析模型，該方法可解決以往近似解析解[6]只適用于深埋隧道環(huán)境振動(dòng)預(yù)測的問題，為地鐵列車運(yùn)行引起的地基振動(dòng)計(jì)算提供新的預(yù)測手段。首先，將隧道模擬為中空圓柱體，將隧道周圍土體模擬為具有圓柱形孔洞的(成層)半空間，帶有圓柱形孔洞的半空間中總波場由外行的柱面波和下行的平面波構(gòu)成，圓形襯砌隧道中的總波場由奇異的柱面波和非奇異的柱面波獲得；其次，利用平面波和柱面波矢量波函數(shù)間的變換特性解決模型中直角坐標(biāo)和柱坐標(biāo)不匹配的問題；最后，通過數(shù)值算例研究荷載速度、荷載頻率、土體阻尼比和土體成層性(地下水位變化)等因素對地表動(dòng)力響應(yīng)的影響。

1 控制方程與求解

半空間中圓形襯砌隧道模型示意圖(x—y—z，三維)如圖1所示。其中隧道模擬為中空圓柱體，隧道周圍土體模擬為含有圓形孔洞的半空間，襯砌結(jié)構(gòu)為黏彈性介質(zhì)，周圍土體為黏彈性介質(zhì)或飽和彈性介質(zhì)，土骨架材料參數(shù)為：密度ρ，Lamé常數(shù)λ和μ，襯砌結(jié)構(gòu)材料參數(shù)為：密度ρ1，Lamé常數(shù)λ1和μ1。隧道內(nèi)半徑為a，外半徑為b(襯砌厚度為h=b-a)，隧道中心距離地面距離為d。由圖1可知：在隧道仰拱處施加荷載頻率為f0，速度為c的單位豎向移動(dòng)荷載。

圖1 均質(zhì)半空間中圓形襯砌隧道模型示意圖

在具有圓柱形孔洞的半空間中，波動(dòng)的傳播是一個(gè)涉及到兩個(gè)散射面(地基表面、襯砌-土體界面)間多重散射作用的問題，含有圓形孔洞的半空間中總波場可以用外行的柱面波和下行的平面波之和表示，分別在直角坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系中描述平面波和柱面波，并通過施加地表和襯砌-土體界面上的邊界條件獲得含有圓形孔洞地基中的總波場。直角坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系間的不匹配問題可以利用不同波函數(shù)間轉(zhuǎn)換性質(zhì)得到解決。筆者首先給出平面波函數(shù)和柱面波函數(shù)以及二者之間的轉(zhuǎn)換特性。

各向同性彈性體用位移表示的控制方程式為

(1)

式中u表示土體位移。

以ex為法向的平面上的應(yīng)力矢量為

(2)

以er為法向的圓柱面上的應(yīng)力矢量為

(3)

如圖1所示，該問題是關(guān)于x—z平面的對稱性問題，所以ux，uz，ur為關(guān)于y的偶函數(shù)；uy，uφ為y的奇函數(shù)。對于該對稱性問題，平面坐標(biāo)系下式(1)的完整解可表示為

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

關(guān)于該對稱性問題，式(1)在柱坐標(biāo)系中的解可表示為Hankel函數(shù)、三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積，由此可定義外行柱面矢量波函數(shù)為

(10)

(11)

(12)

以er為法向的圓柱面上的應(yīng)力分量為

(13)

(14)

(15)

帶有圓柱形孔洞的半空間中總波場可表示為

(16)

為施加地基表面的邊界條件(x=d)，需將外行的圓柱面波轉(zhuǎn)換為上行的平面波，波形轉(zhuǎn)換可通過Hankel函數(shù)的積分形式實(shí)現(xiàn)，即

(17)

(18)

式中sinαs,p=p/gs,p。

將式(17，18)代入式(10～12)，外行圓柱波將轉(zhuǎn)換為上行平面波，可表示為

(19)

(20)

將式(19)代入式(16)中右端第二項(xiàng)，總位移場寫為下行和上行平面波之和，可表示為

(21)

地基表面應(yīng)力邊界可表示為

(22)

通過求解包含3 個(gè)等式(x,y,z方向)的式(22)，未知數(shù)A1，A2，A3可表示為Bjm的函數(shù)，即

(23)

其中地表自由邊界的反射系數(shù)Rjj為

如何把村部的資源供給與村民的服務(wù)需求聯(lián)結(jié)起來？筆者認(rèn)為，關(guān)鍵在于管理者要改進(jìn)村部管理方式，跳出把村部作為“固定資產(chǎn)”管理的慣性思維。不妨“敞開門”服務(wù)，從滿足村民需求的角度開展工作，努力讓村民有需求能想著村部、想辦事能進(jìn)得了村部、事不辦結(jié)能依靠住村部。

同樣，為了在隧道-土界面處施加邊界條件，下行平面波應(yīng)變換為奇異的圓柱波，從平面波到圓柱波的基本轉(zhuǎn)換為

(24)

(25)

式中：εm為Neumann因子，ε0=1，當(dāng)m≥1時(shí)，εm=2。

把式(24，25)代入式(4～6)，下行的平面波轉(zhuǎn)換為奇異的圓柱波，可表示為

(26)

將式(26)代入式(16)右邊的第一項(xiàng)，總位移場可以用外行波和奇異的圓柱波表示為

(27)

將式(23)代入式(27)，可消去未知變量Aj，總位移場可由未知變量Bjm在柱面坐標(biāo)系中描述，即

(28)

其中Qjmj′m′(q)可以用數(shù)值積分得到

(29)

如圖1所示，圓柱形襯砌隧道嵌入彈性半空間中，并在隧道仰拱處施加單位移動(dòng)點(diǎn)載荷，襯砌結(jié)構(gòu)內(nèi)部位移場可表示為

(30)

在隧道仰拱處(r=a,φ=π)施加單位移動(dòng)點(diǎn)荷載，并用Dirac delta函數(shù)進(jìn)行描述，荷載速度為c，頻率為f0，函數(shù)式為

F=δ(φ-π)δ(z-ct)e-i2πf0ter

(31)

在頻域中，F(xiàn)可以擴(kuò)展為三角級數(shù)和關(guān)于q的傅里葉積分為

(32)

(33)

式中：對于每個(gè)m可推導(dǎo)出3 個(gè)等式(r，φ，z分量)，從而Cjm可以用Djm來表示(j=1, 2, 3)。

根據(jù)式(29，30)可得到隧道-土界面處(r=b)的位移連續(xù)條件為

(34)

(35)

式(33～35)為計(jì)算未知變量Bjm(q)，Cjm(q)，Djm(q)的3 組方程，任一組方程中對于每一個(gè)m均有3 個(gè)等式(r，φ和z分量)，可給出了一個(gè)與未知數(shù)個(gè)數(shù)完全相同的線性方程組，從而完成求解。由式(23)可知未知常數(shù)Aj(q,p)可以由Bjm(q)得到。至此，所有的系數(shù)(Aj(q,p)，Bjm(q)，Cjm(q)，Djm(q))都可通過相同數(shù)目的線性方程完成求解。最后，把Aj(q,p)，Bjm(q)代入式(23)可獲得隧道周圍土體的位移場，同樣把Cjm(q)，Djm(q))代入式(30)可得到襯砌隧道內(nèi)的位移場，時(shí)域中的數(shù)值結(jié)果可以通過關(guān)于ω的Fourier逆變換得到。

圖2 成層半空間中圓形襯砌隧道模型示意圖

2 數(shù)值結(jié)果與討論

2.1 模型驗(yàn)證

為驗(yàn)證筆者提出解法的正確性，本節(jié)與文獻(xiàn)[6]中的近似解析法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比，選取文獻(xiàn)[6]中的工況5作為對比的參照。文獻(xiàn)[6]中的成層半空間由5 層地基土組成(圖2)，5 層地基土層厚由上至下分別為1，3，1，20 m和∞(下臥半空間)，5 層地基土的彈性參數(shù)如表1所示，圓形襯砌隧道埋置在第4 層土中，隧道中心距離地表(埋深)為d=20 m，隧道襯砌為混凝土材料，楊氏模量E1=50 GPa、泊松比ν1=0.3、密度ρ1=2 500 kg/m3、阻尼系數(shù)為0.03。

表1 成層地基的土體參數(shù)

圖3給出了在襯砌仰拱處作用單位簡諧點(diǎn)荷載(c=0，f=1～80 Hz)，地表觀察點(diǎn)(坐標(biāo)為x=20 m，y=0，z=0)的豎向位移響應(yīng)。由圖3可知：當(dāng)隧道埋深較大時(shí)，筆者提出的解法與文獻(xiàn)[6]中給出的近似解析解結(jié)果吻合較好，進(jìn)而驗(yàn)證了筆者解法的正確性。應(yīng)指出，文獻(xiàn)[6]提出的近似解析法只適用于隧道埋深大于2倍的隧道直徑的情形，對于淺埋隧道近似解析法與真實(shí)解間存在較大誤差，而筆者解法考慮了地表與隧道間的多重散射作用，對深、淺埋隧道均適用。

圖3 筆者計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[6]計(jì)算結(jié)果對比

2.2 荷載速度的影響

本節(jié)將通過數(shù)值算例說明筆者解法用于成層地基波動(dòng)特性分析的適用性，首先建立如圖1所示的均質(zhì)半空間模型，研究荷載移動(dòng)速度對地表振動(dòng)響應(yīng)的影響(f0=0)，隧道中心至地表的距離選取為d=5 m，隧道外徑b=3 m、內(nèi)徑a=2.75 m，襯砌的楊氏模量E1=50 GPa、泊松比ν1=0.3、密度ρ1=2 500 kg/m3、阻尼系數(shù)0.03。同時(shí)，均質(zhì)半空間選取為軟土地基參數(shù)：橫波波速cs=100 m/s、縱波波速cp=200 m/s、密度ρ=1 500 kg/m3、阻尼系數(shù)為0.04。在隧道仰拱處垂直施加一個(gè)單位力(1 N)，并以速度c沿隧道延伸方向移動(dòng)，荷載頻率為f0。為展示計(jì)算結(jié)果，選擇兩個(gè)地表觀察點(diǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為(5 m, 10 m, 0)(隧道左側(cè)地表)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(5 m, 0, 0 )(隧道中軸線正上方)。

圖4給出了不同荷載速度c(f0=0)下地表觀察點(diǎn)A在單位移動(dòng)點(diǎn)荷載作用下的最大位移和最大速度響應(yīng)，計(jì)算了豎向(x)、水平(y)和軸向(z)等3 個(gè)方向的響應(yīng)分量。由圖4可知：當(dāng)荷載移動(dòng)速度接近地基土的剪切波速時(shí)，豎向和軸向的位移、速度響應(yīng)達(dá)到峰值，體系發(fā)生共振；對于橫向動(dòng)力響應(yīng)，當(dāng)荷載移動(dòng)速度小于剪切波速時(shí)，響應(yīng)緩慢增加，一旦荷載速度超過剪切波速，荷載動(dòng)力響應(yīng)迅速增大。上述現(xiàn)象可解釋為：剪切波速作為孔洞表面的面波波速，當(dāng)荷載移動(dòng)速度達(dá)到該面波波速時(shí)，體系內(nèi)會(huì)激發(fā)衰減較弱的行進(jìn)波傳播，體系發(fā)生共振，進(jìn)而動(dòng)力響應(yīng)顯著增大。

圖4 地表A點(diǎn)的最大位移和最大速度響應(yīng)

圖5給出了不同荷載速度下(f0=0)地表位移和速度響應(yīng)沿空間(橫向)的衰減情況。選取了4 個(gè)速度工況，荷載移動(dòng)速度c分別為30，60，95，110 m/s。當(dāng)荷載移動(dòng)速度c=95 m/s時(shí)，荷載速度最為接近面波速度(地基剪切波速100 m/s)。由圖5可知：此時(shí)地表顯示出了最大的振動(dòng)響應(yīng)，且當(dāng)荷載移動(dòng)速度在剪切波速附近時(shí)(c分別為95，110 m/s)，地基動(dòng)力響應(yīng)的空間衰減率顯著降低，速度響應(yīng)衰減率則更明顯。

圖5 不同荷載速度下地表響應(yīng)沿空間衰減

2.3 地基成層的影響

如前所述，筆者提出的解法適用于成層地基，可以分別在隧道上方和下方添加解析土層單元，獲得多層成層地基中圓形襯砌隧道解析模型(圖2)。通常成層地基土體為上軟下硬或上硬下軟結(jié)構(gòu)，為研究地基成層特性對地表振動(dòng)特性的影響，采用如圖6所示的兩層土半空間模型用于分析地基土成層特性。隧道埋深d=5 m，上覆土層厚度d-d1=2 m，下臥半空間和襯砌材料參數(shù)同2.2節(jié)，上覆土層剛度參數(shù)以下臥半空間剛度參數(shù)為基準(zhǔn)分別減小50%和放大50%，用以描述上軟下硬(工況1)和上硬下軟(工況3)成層地基，并將兩土層剛度參數(shù)一致構(gòu)成的均質(zhì)半空間作為參考工況(工況2)。上覆較軟土層具有剪切波速cs2=70.7 m/s和縱波波速cp2=141.4 m/s，上覆較硬土層具有剪切波速cs2=122.5 m/s和縱波波速cp2=245 m/s，上覆土層的密度和阻尼比與下臥半空間相同。

圖6 成層地基中圓形襯砌隧道模型示意圖

3 種工況下地表A點(diǎn)和B點(diǎn)位移響應(yīng)的比較如圖7所示。其中工況1為上覆較軟土層，工況2為均質(zhì)土層，工況3為上覆較硬土層。由圖7可知：在低頻范圍內(nèi)，上述3種工況之間的差別較小，這是因?yàn)榇藭r(shí)波長較大，振動(dòng)波并未明顯地感知到地基土的成層特性；隨著荷載頻率的增大，3 種工況間的差異逐漸增大，最大差異幅值可達(dá)20 dB；正如預(yù)期的那樣，在總體規(guī)律上，上覆軟土層(工況1)由于地基剛度較小，地表振動(dòng)響應(yīng)最大，反之，上覆硬土層(工況3)給出了最小的位移響應(yīng)。通過圖7各子圖的對比還可以發(fā)現(xiàn)，地基上覆土層剛度變化對豎向位移的影響大于對水平位移的影響。

圖7 上覆較軟和較硬土層對A，B點(diǎn)位移的影響

2.4 地下水位的影響

上述2.2和2.3節(jié)中地基土考慮為單相介質(zhì)，并未計(jì)入孔隙流體的存在對地基振動(dòng)的影響，筆者提出的解法可以通過引入P2波和水力邊界條件，建立飽和成層地基中圓形襯砌隧道模型，進(jìn)而分析水相參數(shù)、地下水位變化等因素對地表波動(dòng)傳播的影響。地下水位的變化可通過改變上覆干土層厚度實(shí)現(xiàn)，下臥半空間為飽和兩相介質(zhì)，如圖8所示。

圖8 考慮地下水位的成層半空間模型示意圖

為研究地下水位變化對地表振動(dòng)響應(yīng)的影響，比較了以下3 種工況，工況I：水位位于地表(均質(zhì)飽和半空間)；工況II：水位位于地下2 m(上覆干土層厚2 m+飽和下臥半空間)；工況III：不考慮地下水(干土均質(zhì)半空間)。干土層密度ρe=1 500 kg/m3，阻尼系數(shù)0.04，Lamé常數(shù)λe=3×107Pa，μe=1.5×107Pa，下臥飽和兩相介質(zhì)的固體骨架和干土層具有相同的Lamé常數(shù)，固體顆粒密度ρs=2 500 kg/m3，孔隙流體密度ρf=1 000 kg/m3，孔隙率n=0.4，土相、流相混合密度ρ=ρs(1-n)+ρfn=1 900 kg/m3，滲透系數(shù)K=1×10-6(m3·s)/kg，曲折因子a∞=1，流體可壓縮系數(shù)M=6.125×109N/m2，土顆粒壓縮系數(shù)α=1。

不同地下水位下(工況I，II，III)地表觀察點(diǎn)A和B的位移響應(yīng)隨荷載頻率的變化規(guī)律如圖9所示。由圖9可知：在荷載頻率較低時(shí)(低于15 Hz)，3 條曲線基本重合，說明地下水位的變化對低頻地基振動(dòng)影響較??；隨著荷載頻率的增大，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)?shù)叵滤幌陆?工況I—工況II—工況III)時(shí)，地表振動(dòng)響應(yīng)呈現(xiàn)增大的趨勢，工況I(水位位于地表)給出的地表響應(yīng)最小。

圖9 地下水位變化對地表A，B點(diǎn)位移響應(yīng)的影響

為了進(jìn)一步刻畫地下水位變化對地表波動(dòng)傳播的影響，隧道正上方地表20 m×20 m范圍內(nèi)的豎向位移響應(yīng)等高線云圖如圖10所示，荷載頻率選取f0=40 Hz。由圖10可知：隨著地下水位下降(工況I—工況II—工況III)，整個(gè)地表的豎向位移響應(yīng)顯著增大，這是由于孔隙流體的飽和作用，降低了土體的可壓縮性，使得地下水位較高時(shí)地基剛度較大，因此地下水位下降，地表振動(dòng)響應(yīng)增大。另外，3 種工況下地表均呈現(xiàn)出了規(guī)則的橢圓形波振面，這是由于波動(dòng)在襯砌內(nèi)的傳播速度比在土體中快，因而隧道延伸方向波長較長，垂直于隧道方向的波長較短，表現(xiàn)出了規(guī)則的橢圓形波振面。

圖10 地下水位變化對地表波動(dòng)傳播的影響

3 結(jié) 論

提出了地下移動(dòng)荷載作用下成層半空間(彈性、飽和)中圓形襯砌隧道動(dòng)力響應(yīng)解析閉合解，該解適用于淺埋隧道的地鐵環(huán)境振動(dòng)預(yù)測，解決了以往近似解析解只適用于深埋隧道振動(dòng)預(yù)測的問題。該解法顯著優(yōu)于現(xiàn)有的近似解析解，為地下交通荷載引起的環(huán)境振動(dòng)問題提供了一套兼顧計(jì)算效率和精度的分析方法。通過數(shù)值算例，主要得出以下結(jié)論：1) 當(dāng)?shù)叵乱苿?dòng)荷載速度接近土體剪切波速時(shí)，三維半空間中襯砌隧道體系會(huì)發(fā)生共振，地表振動(dòng)響應(yīng)顯著增大；2) 地基成層特性在高頻范圍內(nèi)對地表振動(dòng)響應(yīng)具有顯著影響；3) 在低頻范圍內(nèi)，地下水位變化對地表振動(dòng)影響較小，隨著荷載頻率的增大，地下水位下降可導(dǎo)致地表振動(dòng)響應(yīng)顯著增加，在地鐵振動(dòng)預(yù)測中需要考慮地下水位變化對地基中波動(dòng)傳播的影響，以獲得準(zhǔn)確的振動(dòng)預(yù)測值。