加筋板的累積損傷力學(xué)模型研究

吳劍國(guó)，王錦琦，葉 帆，傅何琪，申屠晨楠

(1.浙江工業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院，浙江 杭州 310023；2.中國(guó)船舶及海洋工程設(shè)計(jì)研究院，上海 200011)

隨著船舶結(jié)構(gòu)的大型化，結(jié)構(gòu)疲勞事故頻出，船舶結(jié)構(gòu)低周疲勞問(wèn)題引起了業(yè)界的廣泛關(guān)注。Urm等[1]于2004年對(duì)油船的低周疲勞問(wèn)題進(jìn)行了研究，考慮多個(gè)因素對(duì)結(jié)構(gòu)的損傷累積影響，初步給出了計(jì)算船體梁低周疲勞的方法。田雨[2]基于損傷力學(xué)和塑性力學(xué)，分析了低周疲勞損傷并建立了船體梁剩余強(qiáng)度的評(píng)估方法。Ming等[3]基于有限元軟件，分析了非線性有限元模型對(duì)循環(huán)荷載下船體梁極限彎矩的影響；Yang等[4]基于Smith的船體梁極限強(qiáng)度計(jì)算方法，提出了一種循環(huán)荷載下船體梁極限強(qiáng)度的簡(jiǎn)化計(jì)算方法；汪丹等[5]針對(duì)船體梁基本的加筋板構(gòu)件，提出了循環(huán)荷載作用下加筋板結(jié)構(gòu)的累積遞增塑性應(yīng)變模型。余明輝等[6]基于兩端固支的梁-柱模型，建立了循環(huán)載荷作用下加筋板單元力學(xué)模型。孟志光等[7]通過(guò)引入一種等效材料本構(gòu)模型，提出了能考慮結(jié)構(gòu)層面損傷累積的加筋板單元力學(xué)模型。由此可見(jiàn)：現(xiàn)有工作沒(méi)有考慮材料層面的損傷，循環(huán)荷載下加筋板的滯回曲線與實(shí)際的尚有較大偏差，計(jì)算精度還不夠高，還需要深入研究。

筆者改進(jìn)材料損傷變量模型，再將其引入加筋板的極限強(qiáng)度集中之中，提出一種能夠考慮材料累積損傷的加筋板單元力學(xué)模型。采用VB語(yǔ)言編制加筋板在循環(huán)載荷作用下的的滯回曲線的計(jì)算程序，給出一個(gè)加筋板的算例，并采用非線性有限元方法進(jìn)行精度驗(yàn)證。

1 循環(huán)載荷作用下的鋼材本構(gòu)模型

加筋板在循環(huán)載荷的作用下，不僅可能會(huì)發(fā)生屈服，更可能發(fā)生屈曲。一旦發(fā)生了屈曲，將產(chǎn)生較大的損傷，即使卸載后拉伸也不可能恢復(fù)屈曲前性能，這一特點(diǎn)導(dǎo)致加筋板在往復(fù)載荷作用下，較一般只考慮屈服強(qiáng)度，不發(fā)生屈曲破壞的結(jié)構(gòu)損傷更大。根據(jù)這一特點(diǎn)提出了適用于加筋板屈曲的材料損傷變量定義，并將其引入到材料本構(gòu)模型[8]中，提出了循環(huán)載荷作用下的加筋板的材料本構(gòu)模型，即平均應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系。

如圖1所示，按照平均應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系，可得到鋼材的加載圖。先壓后拉加載，從O點(diǎn)開(kāi)始?jí)嚎s加載，沿著鋼材壓縮骨架曲線，經(jīng)過(guò)OA彈性段、AB強(qiáng)化段、進(jìn)入BH損傷段，到達(dá)卸載點(diǎn)C點(diǎn)時(shí)，彈性卸載至D點(diǎn)。再進(jìn)行拉伸加載，沿著再加載曲線到達(dá)E點(diǎn)，E點(diǎn)在拉伸骨架曲線上取，接著彈性卸載至F點(diǎn)。第2圈時(shí)，需考慮上一圈加載所產(chǎn)生的的損傷，根據(jù)退化準(zhǔn)則峰值點(diǎn)由C點(diǎn)折減至G點(diǎn)，剛度E也發(fā)生折減。此時(shí)壓縮則沿著再加載曲線到G點(diǎn)，再進(jìn)入新?lián)p傷段GH，到達(dá)第2次卸載點(diǎn)I，按折減后的彈性模量卸載至J點(diǎn)，之后的加載同第1圈。

圖1 循環(huán)荷載下鋼材應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系

1.1 材料骨架曲線

材料骨架曲線分為壓縮和拉伸骨架曲線，對(duì)各種鋼材都適用。

1.1.1 壓縮骨架曲線

壓縮循環(huán)骨架曲線分為OA，AB，BH，HP共4 段，具體的表達(dá)式為

(1)

式中：σ為應(yīng)力；ε為應(yīng)變；E為彈性模量；σy為屈服應(yīng)力；σcm為損傷臨界應(yīng)力；σcu為剩余強(qiáng)度；εy為屈服應(yīng)變；εcm為損傷臨界應(yīng)變；εcu為退化終點(diǎn)應(yīng)變；a1和f為二次函數(shù)相關(guān)系數(shù)，取值與材料強(qiáng)度相關(guān)。

1.1.2 拉伸骨架曲線

拉伸循環(huán)骨架曲線分為OM和MN2段，具體表達(dá)式為

(2)

1.2 再加載曲線

再加載曲線為卸載曲線起始點(diǎn)到終點(diǎn)的曲線，具體表達(dá)式為

σ=E(ε-ε0)+σ0-η(E-Ek)(ε-ε0)

(3)

式中：σ，ε含義同式(1)；ε0，σ0分別為曲線起始點(diǎn)的應(yīng)變和應(yīng)力；εP，σP分別為峰值點(diǎn)的應(yīng)變和應(yīng)力；η為曲線調(diào)調(diào)整系數(shù)；Ek為割線剛度。

1.3 退化準(zhǔn)則

1.3.1 損 傷 量

鋼材在反復(fù)荷載作用下的材料損傷的程度用損傷變量表示，其具有如下性質(zhì)：1)損傷變量D應(yīng)在[0，1]取值，當(dāng)D=0時(shí)，表示材料沒(méi)有損傷；當(dāng)D=1時(shí)，表示材料已經(jīng)完全破壞。2)損傷變量D是一個(gè)單調(diào)遞增函數(shù)，即隨著損傷發(fā)展不斷增大，不會(huì)下降。造成損傷的因素有很多，其中眾多學(xué)者從能量、變形、變形和能量的綜合3 個(gè)方面著手，提出了多種損傷變量模型，比如：Darwin等[9]和Ibarra等[10]的能量損傷模型，沈祖炎等[11]的變形損傷模型，歐進(jìn)萍等[12]的變形和能量模型。

通過(guò)計(jì)算初步分析了以上4 種損傷模型，發(fā)現(xiàn)同時(shí)考慮變形和能量的歐進(jìn)萍等[12]模型對(duì)于損傷的預(yù)測(cè)最為準(zhǔn)確，但需不斷積分計(jì)算滯回耗散能量，計(jì)算效率低；Darwin等[9]模型和Ibarra等[10]模型趨預(yù)測(cè)趨勢(shì)也比較準(zhǔn)確，也需要不斷地積分計(jì)算滯回能；其中沈祖炎等[11]的模型雖只考慮變形的影響，結(jié)構(gòu)形式簡(jiǎn)單，但損傷預(yù)測(cè)結(jié)果準(zhǔn)確，且容易在損傷計(jì)算程序中實(shí)現(xiàn)。因此根據(jù)沈祖炎模型，為考慮實(shí)現(xiàn)加筋板的屈曲損傷，提出了可以計(jì)算加筋板累積損傷的模型，其合理性可能還需進(jìn)一步的驗(yàn)證，具體公式為

(4)

式中：εi,max為鋼材發(fā)生的最大塑性應(yīng)變；εy為鋼材屈服應(yīng)變；εi為鋼材在第i圈發(fā)生的塑性應(yīng)變；εu取為加筋板單調(diào)加載極限屈曲應(yīng)變?chǔ)舉nd；λ=0.008 1；N為循環(huán)荷載的半循周數(shù)。

1.3.2 退化公式

根據(jù)沈祖炎等[11]的材料損傷退化公式，并結(jié)合上述材料骨架曲線和材料的退化準(zhǔn)則，分強(qiáng)度退化和剛度的退化，退化公式具體為

σi+1,max=(1-ζ1Di)σi,max

(5)

Ei+1=(1-ζ2Di)E

(6)

式中:σi,max，σi+1,max分別為第i次和i+1次的峰值應(yīng)力；Ei+1為第i+1次彈性模量；E為彈性模量；系數(shù)ζ1=0.42，ζ2=0.12；Di為第i次的損傷量，按式(4)計(jì)算。

2 循環(huán)荷載下的加筋板單元力學(xué)模型

圖2 循環(huán)荷載下加筋板應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系

2.1 極限強(qiáng)度

加筋板極限強(qiáng)度是計(jì)算應(yīng)力應(yīng)變的基礎(chǔ)，求得了極限強(qiáng)度才可以進(jìn)行應(yīng)力應(yīng)變計(jì)算。從圖像上看，其決定了AB非卸載區(qū)、EF平臺(tái)段這上下邊界的取值，如圖2所示。

2.1.1 壓縮極限強(qiáng)度

根據(jù)加筋板單元壓縮失效特點(diǎn)，只考慮其中兩種受壓失效模式，采用Hughs[14]推導(dǎo)的加筋板極限強(qiáng)度公式計(jì)算。

1) 面板受壓失效模式為

(7)

式中：σF為上述鋼材損傷折減后的屈服強(qiáng)度；σuf為待求的面板受壓的極限強(qiáng)度；M0，δ0分別為側(cè)向荷載作用時(shí)跨中的彎矩和撓度；yf為面板厚度中心與截面形心軸之間的距離；I，A分別為橫截面的慣性矩和面積；γ，ν均為撓度系數(shù)；Δ為初始偏心；Φ為軸力放大因子。

2) 帶板受壓失效模式為

(8)

(9)

式中：σF同式(7)；σue為待求的帶板受壓的極限強(qiáng)度；yp為帶板厚度中心與截面形心軸之間的距離；Ie，Ae分別為橫截面的有效慣性矩和有效面積；Δp為板的剛度下降引起的偏心距；M0，δ0，γ，ν，Φ，A含義同式(7)。

2.1.2 拉伸極限強(qiáng)度

將上述計(jì)算的鋼材屈服強(qiáng)度取負(fù)號(hào)作為拉伸極限強(qiáng)度，其計(jì)算式為

(10)

2.2 平均應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系

2.2.1 受壓方向平均應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系

加筋板格單元受壓的平均應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系，采用Rahman等[13]提出的公式，其平均應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系曲線有4 段：OA段、AB段、BP段和PQ段，也如圖2所示，公式如下：

1)OA段(0<ε≤εult)計(jì)算式為

(11)

2)AB段(εult<ε≤εpl)計(jì)算式為

(12)

3)BP段(εpl<ε≤εend)計(jì)算式為

(13)

(14)

4)PQ段(εend<ε)計(jì)算式為

(15)

2.2.2 受壓?jiǎn)卧男遁d

規(guī)定壓縮卸載CD段遵循2 個(gè)原則：1) 在任何階段開(kāi)始卸載都為彈性卸載；2) 卸載剛度用上述鋼材折減后的彈性模量。

2.2.3 受拉方向平均應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系

加筋板的反向加載會(huì)出現(xiàn)剛度軟化現(xiàn)象。前半段為指向峰值點(diǎn)的一條曲線，后半段為平臺(tái)直線，分為DE和EF共2 段，公式如下：

1)DE段計(jì)算式為

(16)

2)EF段計(jì)算式為

(17)

2.2.4 受拉單元的卸載

拉伸卸載FG段同2.2.2節(jié)。每一圈加載均按照壓縮加載、壓縮卸載、拉伸加載、拉伸卸載等4 個(gè)順序進(jìn)行加載，且各圈的計(jì)算公式均一致。

3 編程與有限元計(jì)算

采用Visual Basic 6.0語(yǔ)言對(duì)所提方法編程，并采用Abaqus軟件進(jìn)行對(duì)比計(jì)算。程序主要分為材料和加筋板2 個(gè)計(jì)算循環(huán)，計(jì)算流程如圖3所示。

圖3 計(jì)算流程圖

3.1 加筋板模型參數(shù)

選取一個(gè)加筋板單元進(jìn)行計(jì)算，其尺寸如表1所示。其中鋼材屈服強(qiáng)度σs=235 MPa，彈性模量E=2.06×105MPa，泊松比ν=0.3。有限元模型用板單元進(jìn)行建模，鋼材使用彈塑性本構(gòu)關(guān)系，如圖4所示。

表1 加筋板單元尺寸

圖4 ABAQUS有限元模型示意圖

3.2 計(jì)算結(jié)果比較

3.2.1 等幅循環(huán)加載

采用加載制度：0～2.5εy的加載應(yīng)變，雙向等幅加載4 次，先壓縮后拉伸。計(jì)算結(jié)果的極限強(qiáng)度比值和損傷量匯總?cè)绫?所示。計(jì)算結(jié)果的加筋板格單元和材料平均應(yīng)力—應(yīng)變曲線如圖5所示。

表2 等幅荷載下加筋板極限強(qiáng)度比和損傷量

圖5 等幅荷載下鋼材和加筋板滯回曲線

3.2.2 遞增循環(huán)加載

采用加載制度：0～1.0εy，0～2.0εy，0～3.0εy，0～4.0εy的加載應(yīng)變，雙向等幅加載，每級(jí)加載1 次，先壓縮后拉伸。計(jì)算結(jié)果的極限強(qiáng)度比值和損傷量匯總?cè)绫?所示。計(jì)算結(jié)果的加筋板格單元和材料平均應(yīng)力—應(yīng)變曲線如圖6所示。

表3 遞增荷載下加筋板極限強(qiáng)度比和損傷量

圖6 遞增荷載下鋼材和加筋板滯回曲線

綜上可知：1) 鋼材滯回曲線中，不考慮損傷的受壓和受拉屈服點(diǎn)基本不會(huì)下降，考慮損傷的屈服點(diǎn)在逐步下降；2) 加筋板滯回曲線中，筆者方法和有限元計(jì)算出的極限強(qiáng)度均在逐步下降，不計(jì)損傷的方法幾乎沒(méi)有下降且拉伸極限強(qiáng)度在逐步增強(qiáng)；3) 等幅和遞增兩種循環(huán)荷載的理論計(jì)算結(jié)果與有限元結(jié)果吻合較好；4) 等幅荷載下的前幾級(jí)損傷顯著高于遞增荷載下的材料損傷，但遞增荷載下材料損傷量后續(xù)增加較快，這是因?yàn)檫f增荷載前幾級(jí)加載應(yīng)變較小則其損傷也小；5) 有限元的壓縮峰值點(diǎn)會(huì)略高于筆者結(jié)果，因其考慮了一定的鋼材強(qiáng)化；6) 加載應(yīng)變需達(dá)到一定的門(mén)檻，才會(huì)產(chǎn)生損傷。

4 結(jié) 論

分析計(jì)算了鋼材損傷，在等效材料本構(gòu)模型基礎(chǔ)上提出考慮損傷的加筋板格單元力學(xué)模型，使用Visual Basic 6.0編程計(jì)算。結(jié)果表明：引入材料損傷之后，加筋板單元的屈服強(qiáng)度和剛度隨著損傷量變大都在不斷地下降，且與未引用材料損傷力學(xué)模型結(jié)果相比，具有更好的精度。后續(xù)，筆者還將開(kāi)展加筋板單元在循環(huán)載荷作用下的結(jié)構(gòu)承載力試驗(yàn)，進(jìn)一步驗(yàn)證所提模型的精度。