基于L0稀疏約束的近似NMF高光譜解混

劉雪松，譚文群，段卓鐳，張志鵬，彭天亮

(南昌工程學(xué)院 江西省水信息協(xié)同感知與智能處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江西 南昌 330099)

高光譜遙感圖像具有很高的光譜分辨率，能夠在很窄的光譜波段上獲得連續(xù)的光譜影像信息，因而被廣泛用于環(huán)境監(jiān)測、農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、食品檢測以及地質(zhì)勘探等領(lǐng)域[1]。高光譜遙感影像所獲取的像元一般是混合像元，因此需要利用高光譜解混技術(shù)對混合像元進(jìn)行分解，從中提取出相應(yīng)的地物信息(端元)，及這些端元所占像元的比例(豐度)。如何精確而又方便的處理混合像元分解問題，這是高光譜遙感技術(shù)所要處理的關(guān)鍵問題。

非負(fù)矩陣分解(NMF)旨在將非負(fù)矩陣X分解為非負(fù)矩陣A和S的乘積，即X≈AS，這種模型能夠很好的描述高光譜解混的線性模型。高光譜數(shù)據(jù)解混通常還要加入兩個限制項(xiàng)：端元豐度非負(fù)性約束(ANC)和豐度和為一約束(ASC)，但這兩個限制項(xiàng)只是先驗(yàn)知識的一部分。由于NMF經(jīng)典理論是基于整塊數(shù)據(jù)進(jìn)行分解，當(dāng)數(shù)據(jù)很大時，計(jì)算量也非常大，而高光譜數(shù)據(jù)往往數(shù)據(jù)維數(shù)特別大[2]。并且，光譜庫中的反射光譜曲線個數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于實(shí)際有效的端元個數(shù)，這就使得觀測的每一個混合像元反射光譜曲線在光譜庫下的豐度系數(shù)向量可以被看成是“稀疏”的[3]。這就為“稀疏表示”的思想引入到高光譜混合像元分解中奠定了基礎(chǔ)。

近年來，基于稀疏性約束的高光譜解混是研究的熱點(diǎn)。該研究思路主要分為兩類，一類是基于光譜庫的稀疏性高光譜解混，另一類是基于非負(fù)矩陣分解的稀疏性高光譜解混。本文主要討論的是基于非負(fù)矩陣分解的稀疏性高光譜解混，其中代表性的工作有：賈森[4]等提出添加分段光滑約束和稀疏度約束的非負(fù)矩陣分解用于高光譜解混，稀疏性約束中最典型的是L0范數(shù)稀疏，其稀疏性效果很好，但因存在NP難題，求解復(fù)雜，所以實(shí)際應(yīng)用很難。Candes[5]等提出利用L1范數(shù)替代L0來進(jìn)行求解，這樣使得算法的速度加快，但是稀疏性卻減弱了。錢沄濤等利用L1/2范數(shù)約束端元對應(yīng)豐度系數(shù)的非負(fù)矩陣分解算法(L1/2NMF)進(jìn)行解混[6]。

為了保證稀疏特性的穩(wěn)定和算法的快速性，本文在L0正則化理論的基礎(chǔ)上對基于NMF的高光譜解混方法進(jìn)行了改進(jìn)，提出了一種近似L0NMF框架(NMFL0_A，NMFL0_S)的算法應(yīng)用于高光譜解混，通過對端元矩陣和豐度矩陣的聯(lián)合稀疏約束來提升NMF算法的稀疏表達(dá)能力。相比于經(jīng)典的NMF算法，近似NMF可以利用部分?jǐn)?shù)據(jù)集解混出相關(guān)的端元和豐度的信息，并且解混的精度和運(yùn)算速度明顯提升。

1 稀疏正則化NMF

1.1 L0稀疏正則化NMF光譜解混技術(shù)

在經(jīng)典NMF模型中，由于其對初始化數(shù)據(jù)非常敏感。所以有學(xué)者提出了許多關(guān)于稀疏性正則化的NMF理論，理論上，0

(1)

式中Sn(k)是圖像n像素處的k端元的豐度分?jǐn)?shù)。在稀疏正則化的NMF理論中，最典型的就是L0范數(shù)稀疏。其目標(biāo)函數(shù)描述如下：

(2)

式中X∈RM×N為高光譜圖像的數(shù)據(jù)矩陣；A∈RM×K為包含了K個端元的端元矩陣；S∈Rk×N為豐度系數(shù)矩陣；α‖S‖0是 L0稀疏的附加約束函數(shù)；α∈R為正則化項(xiàng)，用來表示稀疏特性的附加約束函數(shù)的權(quán)重。

盡管L0范數(shù)的稀疏性很好，但是L0正則化器在高光譜解混中是一個NP問題，在實(shí)際應(yīng)用中無法解決。因此有學(xué)者對L0正則項(xiàng)提出相關(guān)逼近算法，Tao和Candes證明了在RIP條件下可以用L1范數(shù)代替L0范數(shù)求解，其原理是在RIP條件下，L1范數(shù)和L0范數(shù)具有相同的解，且L1范數(shù)比L0范數(shù)求解簡單，速度更快[8]。所以L0范數(shù)在稀疏解混上遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有用L1范數(shù)求解方便。

1.2 L1/2稀疏正則化NMF光譜解混技術(shù)

雖然高光譜解混中的稀疏特性和L1正則化器都已經(jīng)得到了廣泛的使用，但是為了得到稀疏效果更好的解混方法，Qian和Jia將L1/2范數(shù)應(yīng)用到了非負(fù)矩陣分解算法中來[9]，即L1/2NMF。它在光譜解混中的計(jì)算更加簡單，并且產(chǎn)生比基于L1范數(shù)的算法更稀疏，更準(zhǔn)確的結(jié)果。因?yàn)椋琇1/2情況與式(1)～(2)情況類似，所以歸納之后，得到基于L1/2NMF的目標(biāo)函數(shù)描述如下：

(3)

(4)

對(3)求偏導(dǎo)，得

(5)

(6)

根據(jù)梯度下降法得

A←A-ξA(ASST-XST).

(7)

(8)

式中ξA和ξS為迭代步長。為了保證非負(fù)性，可將式(7)～(8)式變形為

A←A[(XST)/(ASST)].

(9)

(10)

當(dāng)?shù)鶤和S達(dá)到規(guī)定的停止條件時，更新迭代停止?；贚1 /2稀疏性非負(fù)矩陣分解的高光譜混合像元分解算法步驟如下：

①使用HySime算法來估算高光譜中端元個數(shù)p；

②根據(jù)X上的稀疏度，測量估算稀疏的權(quán)重因子α；

③利用VCA-FCLS對A和S進(jìn)行初始化，并且對S歸一化處理；

④重復(fù)利用式(9)～(10)，對矩陣A和S每行元素進(jìn)行更新，直到達(dá)到最大迭代次數(shù)。

2 基于L0稀疏約束下的近似NMF

目前，基于稀疏性高光譜混合像元分解技術(shù)是利用已知的光譜庫作為端元集合來進(jìn)行分解[1]。這一過程中，通常是對豐度矩陣S加入稀疏性約束，以此作為附加條件來進(jìn)行高光譜混合像元分解。雖然這種方法解混出來的效果也比較理想，但是，此方法解混出來的端元矩陣A卻不是稀疏矩陣。并且這種稀疏約束的方法在高光譜解混中比較單一。所以，為了讓矩陣A和S同時具有稀疏約束的效果，并且解混的精度更好。在L0正則化理論的基礎(chǔ)上對基于NMF的高光譜解混方法進(jìn)行了改進(jìn)，并與無約束的NMF技術(shù)(乘法更新規(guī)則、交替非負(fù)最小二乘)結(jié)合起來，提出了一種近似L0NMF框架(NMFL0_A，NMFL0_S)，即聯(lián)合稀疏約束模型，并將其應(yīng)用到高光譜遙感圖像混合像元分解中，從而實(shí)現(xiàn)了對端元矩陣和豐度矩陣的聯(lián)合稀疏約束。

2.1 通過乘法更新的NMF

NMF算法通常以兩個階段的迭代方式進(jìn)行，即交替更新A和S，從而讓非凸優(yōu)化問題變成凸優(yōu)化問題，方便進(jìn)行求解。這也是本文所要關(guān)注的矩陣更新規(guī)則。Lee and Seung[10]展示了通過乘法更新的NMF。乘法更新規(guī)則如下：

S←S?[(ATX)/(ATAS)].

(11)

A←A?[(XST)/(ASST)].

(12)

式中“?”和“/”分別表示按元素乘法和除法。顯然，因?yàn)閄的元素是非負(fù)值的，所以這些更新規(guī)則保持了A和S的非負(fù)性。

此外Paatero and Tapper[11]也進(jìn)行過NMF算法的更新，他們通過交替的非負(fù)最小二乘進(jìn)行A和S的交替更新，更新規(guī)則如下

(13)

(14)

這里注意，‖X-AS‖F(xiàn)在A或S中分別是凸的，而在A和S整體中則是非凸的。通過求解具有多個右手邊(即X的每一列一個)的非負(fù)約束最小二乘問題(NNLS)，可以找到每個子問題的最佳解決方案。因此，此方案也稱為交替非負(fù)最小二乘(ANLS)。

2.2 具有L0稀疏約束的NMF

目前，對于L0稀疏約束的NMF方法還是相對較少的。其中，K-SVD算法[12]可以被認(rèn)為是NMF算法在S列上具有L0稀疏約束；另外，在文獻(xiàn)[13]中，也提出了一種在S列上具有L0稀疏約束的NMF算法，在稀疏編碼階段，他們使用了一個非負(fù)的最小角度回歸和選擇LARS[14]，簡稱為NLARS，也可以被認(rèn)為是具有L0稀疏約束的NMF算法?，F(xiàn)在，要介紹的是在A和S列上都具有L0稀疏約束的NMF的求解方法，形式上，由下面式子表示：

(15)

(16)

式(15)～(16)分別稱為NMFL0_S和NMFL0_A，參數(shù)L是Si和Ai中非零條目的最大允許個數(shù)。對于NMFL0_S的稀疏約束意味著X中的每一列都用一個極大值的錐形組合來表示L個非負(fù)基向量；而NMFL0_A，稀疏約束在有限的支持下強(qiáng)制執(zhí)行基向量，比如，如果X的列包含圖像數(shù)據(jù)，那么A上的稀疏約束鼓勵采用基于部分的表示。

2.3 NMFL0_S

由式(11)～(14)可知，NMF算法以兩階段的迭代方式進(jìn)行，所以在L0稀疏約束的NMF算法中，對NMFL0_A和NMFL0_S也應(yīng)用了同樣的原理，NMFL0_S算法過程由算法1給出。NMFL0_S算法步驟如下：

①隨機(jī)初始化基礎(chǔ)矩陣A；

②設(shè)置迭代次數(shù)i；

③非負(fù)稀疏編碼：固定基礎(chǔ)矩陣A，對X進(jìn)行非負(fù)稀疏編碼，固定基礎(chǔ)矩陣A，導(dǎo)致稀疏，得到稀疏的非負(fù)矩陣S；

④矩陣更新：保持S的稀疏結(jié)構(gòu)，更新A和S。

在針對NMFL0_S時，它的第一階段是先進(jìn)行非負(fù)稀疏編碼，但稀疏編碼問題是NP難的，所以需要一個近似值。為此，Robert等將正交匹配追蹤(OMP)和非負(fù)最小二乘(NNLS)結(jié)合，提出了稀疏非負(fù)最小二乘(sNNLS)[15]。從而將凸問題轉(zhuǎn)化成了優(yōu)化的非凸問題，得到每個子問題的最優(yōu)解。為了得到更好的稀疏效果，進(jìn)一步提升算法的計(jì)算速度，在進(jìn)行匹配追蹤時，提出了一種新的匹配追蹤原則，將非負(fù)最小二乘與反向匹配追蹤結(jié)合，即反向匹配追蹤(rsNNLS)。它不僅適用于非負(fù)的框架，而且適用于匹配追蹤原則。第二階段是矩陣更新階段，這一階段的目標(biāo)是增強(qiáng)基礎(chǔ)矩陣A。在這一步驟中，可以適當(dāng)調(diào)整S中的非零值，但是不允許零值變成非零值，即要保持S的稀疏結(jié)構(gòu)。

NNLS算法步驟如下：

①由Z={1，…，k}，p為非零數(shù)，令s=0，r=x-As，α=ATr；

②當(dāng)|Z|>0和?i∈Z：αi>0時，有i*=arg maxα；

③根據(jù)Z←Zi*，P←P∪i*，P←{i|si>0}；

⑤當(dāng)?j∈p：zj<0時，有α=minsk/(sk-zk)其中，k∈p；

⑥根據(jù)s←s+α(Z-s)，Z←{i|si=0}，P←{i|si>0}；

⑧結(jié)束片刻；

⑨根據(jù)s←Z；

⑩得到r=x-As，α=ATr。

算法中x和s分別是數(shù)據(jù)矩陣和系數(shù)矩陣的列向量，Zp代表只含有集合P中元素的矩陣?；顒蛹痁和非活動集P不相交的包含h個條目的索引。具有Z中索引的條目保持為零，其非負(fù)性約束是可變的，而含有P索引的條目則保持正值。在此算法的外部循環(huán)中索引從Z移動到P，直至獲得最優(yōu)解[16]。步驟⑤到⑦是內(nèi)部循環(huán)，糾正了向量中存在的負(fù)解。

反向稀疏(rsNNLS)算法步驟如下：

①由s=NNLS(x，A)，得到Z={i|si=0}，P={i|si>0}；

②當(dāng)‖s‖0>L時，有j=arg minsi，其中ip；

③根據(jù)sj←0，Z←Z∪{j}，P←P{j}；

④重復(fù)NNLS算法中的④～⑨步驟；

上述算法是從步驟①中的最佳非稀疏解開始的，雖然L0范數(shù)的解大于L，但是解向量中的最小條目被設(shè)置為零，并且其索引是從無效集合P移到有效集合Z(步驟②～③)。隨后，使用NNLS算法中的④～⑨步驟，在NNLS的意義上用P中的剩余基向量對數(shù)據(jù)向量進(jìn)行近似。

2.4 NMFL0_A

算法框架設(shè)計(jì)的想法來源于Hoyer的L1NMF算法[14]。在此，依舊遵循前面矩陣更新的兩個階段的迭代方法。首先固定系數(shù)矩陣S，然后計(jì)算基礎(chǔ)矩陣A的最優(yōu)無約束解。接下來，將基礎(chǔ)矩陣向量投影到歐式空間中最接近的非負(fù)向量上，以滿足L0約束的條件。這一步很容易，只需保留向量中L個最大項(xiàng)，其余項(xiàng)置零。在矩陣更新階段，只需調(diào)整A中的非零條目，即讓非零項(xiàng)變?yōu)榱?，從而維持A的稀疏結(jié)構(gòu)[17]。NMFL0_A算法步驟如下：

①隨機(jī)初始化系數(shù)矩陣S；

②設(shè)置迭代次數(shù)i；

③得到AT=NNLS(XT，ST)；

④令j=1：k；

⑤將Ai中的D-L最小值設(shè)置為零；

⑥矩陣更新：增強(qiáng)A和S，并保持A的稀疏結(jié)構(gòu)。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與討論

實(shí)驗(yàn)選取真實(shí)高光譜數(shù)據(jù)庫，對經(jīng)典的高光譜解混及其約束下的算法(NMF，L1/2NMF)及基于改進(jìn)L0稀疏約束下的近似NMF算法(NMFL0_A，NMFL0_S)光譜解混性能分別進(jìn)行測試和比較，從光譜角距離(SAD)、均方根誤差(RMSE)、和運(yùn)算速度這三方面來評價解混的精度和效果。

(17)

(18)

3.1 仿真數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)

第一個仿真數(shù)據(jù)，采用高光譜數(shù)據(jù)庫Samson。Samson是一個簡單的數(shù)據(jù)集。在這個圖像中，有952×952像素。每個像素記錄在156個波段中，覆蓋波長范圍是401～889 nm。光譜分辨率最高可達(dá)3.13 nm。由于原始圖像太大，計(jì)算成本非常昂貴，使用了95×95像素的區(qū)域。它從原始圖像中的(252，332)像素開始。這些數(shù)據(jù)不會被空白信道或糟糕的信道所破壞。具體來說，這幅圖中有3個目標(biāo)：“#1 Rock”“#2 Tree”和“#3 Water”。

本實(shí)驗(yàn)是在Samson數(shù)據(jù)集上，分別執(zhí)行了NMFL0_S和NMFL0_A兩種算法。實(shí)驗(yàn)所得數(shù)據(jù)均進(jìn)行了100次計(jì)算，取平均值。端元數(shù)P為3，k為3，在NMFL0_S和NMFL0_A中L分別為3和156，參數(shù)i分別為5和30。表1為相應(yīng)算法下Samson高光譜數(shù)據(jù)進(jìn)行混合像元分解的SAD和RMSE的精度值。從表1中可以得出：NMFL0_A算法相對其他算法SAD值降低0.01～0.04，NMFL0_S算法相對其他算法RMSE值降低0.11～0.12，解混的精度明顯提高。并且從表1中可以看出兩種近似L0稀疏約束算法與其他兩種算法相比，NMFL0_S在運(yùn)算速度上也有所提升，優(yōu)勢明顯，NMFL0_A運(yùn)行速度稍慢。

表1 4種算法對Samson高光譜數(shù)據(jù)進(jìn)行混合像元分解的精度和速度的均值比較(粗體數(shù)字表示最好結(jié)果)

為了更清晰的比較幾種算法解混的精度，本文還將幾種算法的端元光譜圖像和豐度圖像進(jìn)行了比較分析，如圖1～2所示。圖1中給出了幾種算法(NMF，L1/2NMF，NMFL0_A)對Samson高光譜數(shù)據(jù)進(jìn)行的混合像元分解后的端元估計(jì)值與真實(shí)端元值的比較圖，從圖(1)中可以看出，三種算法的端元光譜基本都接近真實(shí)的光譜，相差不大。在Tree和Water的光譜曲線中，NMFL0_A的魯棒性最好，優(yōu)勢非常明顯，最接近真實(shí)光譜曲線，擬合效果最好。其次是L1/2NMF算法，最差的是NMF，在Soil中，偏離真實(shí)光譜曲線較大。

圖1 基于幾種算法下的端元信息圖

圖2是幾種算法(NMF，L1/2NMF，NMFL0_S)對Samson高光譜數(shù)據(jù)進(jìn)行的混合像元分解后的端元對應(yīng)的豐度圖像。從圖2中可以看出三種算法都能較好的接近真實(shí)的豐度圖。在樹和水部分，NMFL0_S算法的豐度分布圖明顯與真實(shí)的豐度圖更加接近，而且圖像在水部分，圖(l)相比于L1/2NMF算法的豐度圖(k)要清晰很多，而NMF算法，則存在像元豐度相互交融的情況。在樹部分圖(h)相比于NMF算法的豐度圖(f)要更接近真實(shí)端元的豐度信息。所以綜合圖1～2，可以看出NMFL0_S和NMFL0_A這兩種算法相比NMF和L1/2NMF算法更加優(yōu)越，效果更好。

3.2 仿真數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)

第2個仿真數(shù)據(jù)，采用Jasper高光譜數(shù)據(jù)庫，該數(shù)據(jù)庫包含512×614像素，每個像素記錄在范圍從380～250 0nm的224個通道中，光譜分辨率高達(dá)9.46nm。這個高光譜圖像太復(fù)雜，因此，考慮100×100像素的子圖像。在移除通道1～3，108～112，154～166和220～224后(由于密集的水蒸氣和大氣效應(yīng))，保留了198個通道(這是光譜解混分析的常見預(yù)處理)。在這些數(shù)據(jù)中有4個目標(biāo)：“#1 Road”，“#2 Soil”，“#3 Water”和“#4 Tree”。

本實(shí)驗(yàn)是在Jasper高光譜數(shù)據(jù)庫上，分別執(zhí)行了NMFL0_S和NMFL0_A兩種算法。實(shí)驗(yàn)所得數(shù)據(jù)均進(jìn)行了100次計(jì)算，取平均值。端元數(shù)P為4，參數(shù)i為5，k為4，在NMFL0_S和NMFL0_A中L分別為4和198。表3為相應(yīng)算法下Jasper高光譜數(shù)據(jù)進(jìn)行混合像元分解的SAD和RMSE的精度值。從表2中可以得出：NMFL0_A算法相對其他算法SAD值降低0.04～0.11，NMFL0_S算法相對其他算法RMSE值降低0.05～0.08，解混的精度明顯提高。并且從表2中可以看出兩種近似L0稀疏約束算法與其他兩種算法相比，在運(yùn)算速度上有了大幅度提升，優(yōu)勢明顯。

表2 4種算法對Jasper高光譜數(shù)據(jù)進(jìn)行混合像元分解的精度和速度的均值比較(粗體數(shù)字表示最好結(jié)果)

(a)真實(shí)(沙巖)豐度圖 (b)NMF(沙巖)豐度圖 (c)L1/2NMF(沙巖)豐度圖(d)NMFL0_S(沙巖)豐度圖 (e)真實(shí)(樹)豐度圖 (f)NMF(樹)豐度圖 (g)L1/2NMF(樹)豐度圖 (h)NMFL0_S(樹)豐度圖 (i)真實(shí)(水)豐度圖 (j)NMF(水)豐度圖 (k)L1/2NMF(水)豐度圖 (l)NMFL0_S(水)豐度圖圖2 基于幾種算法下的豐度圖像

為了更清晰的比較幾種算法解混的精度，本文還將幾種算法的端元光譜圖像和豐度圖像進(jìn)行了比較分析，如圖3～4所示。圖3中給出了幾種算法(NMF，L1/2NMF，NMFL0_A)對Jasper高光譜數(shù)據(jù)進(jìn)行的混合像元分解后的端元估計(jì)值與真實(shí)端元值的比較圖。從圖3中可以看出，三種算法的端元光譜基本都接近真實(shí)的光譜，尤其在Soil中擬合效果最好。在Tree和Water光譜擬合中，NMF和L1/2NMF算法與真實(shí)光譜偏差相對NMFL0_A較大，所以此時NMFL0_A的魯棒性最好，優(yōu)勢明顯。

圖3 基于幾種算法下的端元信息圖

圖4是幾種算法(NMF，L1/2NMF，NMFL0_S)對Jasper高光譜數(shù)據(jù)進(jìn)行的混合像元分解后的端元對應(yīng)的豐度圖像。從圖4中可以看出在水部分，三種算法都能較好的接近真實(shí)的豐度圖。在水和路部分，三種算法差不多，在樹部分，NMFL0_S算法的豐度分布圖(m)明顯比L1/2NMF的豐度圖(i)更加接近真實(shí)豐度圖，在沙土部分相比于NMF算法的豐度分布圖(g)，NMFL0_S算法的豐度分布圖(o)要清晰很多，更接近真實(shí)豐度圖。所以綜合圖3～4，可以看出NMFL0_S和NMFL0_A這兩種算法相比NMF和L1/2NMF算法更加優(yōu)越，效果更好。

(a)真實(shí)(樹)豐度圖 (b)真實(shí)(水)豐度圖 (c)真實(shí)(沙土)豐度圖 (d)真實(shí)(路)豐度圖 (e)NMF(樹)豐度圖 (f)NMF(水)豐度圖 (g)NMF(沙土)豐度圖 (h)NMF(路)豐度圖 (i)L1/2NMF(樹)豐度圖 (j)L1/2NMF(水)豐度圖 (k)L1/2NMF(沙土)豐度圖 (l)L1/2NMF(路)豐度圖 (m)NMFL0_S(樹)豐度圖 (n)NMFL0_S(水)豐度圖 (o)NMFL0_S(沙土)豐度圖 (p)NMFL0_S(路)豐度圖圖4 基于幾種算法下的豐度圖像

4 結(jié)束語

本文就NMF的L0約束提出了一種近似NMF的框架(NMFL0_S，NMFL0_A)，它分別約束基礎(chǔ)矩陣和系數(shù)矩陣，通過推導(dǎo)該算法的稀疏編碼方式和矩陣更新的迭代關(guān)系，將其與不受約束的NMF技術(shù)結(jié)合。在高光譜混合像元分解中，實(shí)現(xiàn)了對端元矩陣和豐度矩陣的聯(lián)合稀疏約束，使混合像元分解的精度和效率明顯提升，很好的保證了NMF傾向于返回其輸入數(shù)據(jù)的稀疏和基于部分表示的特點(diǎn)。最后采用兩組真實(shí)仿真數(shù)據(jù)驗(yàn)證了該算法的優(yōu)越性和有效性，相對其他算法在光譜解混中的精度和運(yùn)算速度都具有明顯的提升。以上算法是針對L0約束的NMF算法提出的改進(jìn)算法，如何添加約束項(xiàng)，使稀疏效果更好，運(yùn)算速度更快的NMF算法是今后有待研究的工作。