金屬主簧-復(fù)合材料副簧復(fù)合剛度計(jì)算模型＊

柯俊，李志虎，秦玉林

（1.奇瑞汽車股份有限公司前瞻與預(yù)研技術(shù)中心，安徽 蕪湖 241006；2.浙江理工大學(xué)機(jī)械與自動(dòng)控制學(xué)院，浙江 杭州 310018）

前言

采用復(fù)合材料制造汽車零部件可顯著減輕汽車重量、促進(jìn)節(jié)能減排，是汽車輕量化領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)[1][2]。與鋼板彈簧相比，復(fù)合材料板簧不但具有顯著的輕量化優(yōu)勢，而且其疲勞壽命和減振性能均優(yōu)于鋼板彈簧，具有良好的應(yīng)用價(jià)值[3-7]。目前，單片復(fù)合材料板簧的性能匹配及優(yōu)化設(shè)計(jì)理論已經(jīng)比較完善，且相關(guān)研究已拓展至疲勞性能監(jiān)控及優(yōu)化范疇[8-10]，但復(fù)合材料板簧在我國的應(yīng)用仍然非常有限。除了制造成本較高、人們對其可靠性有疑慮這些因素外，阻礙復(fù)合材料板簧推廣應(yīng)用的另一重要原因是現(xiàn)有的復(fù)合材料板簧不能針對具體工況（如空載、滿載）提供相匹配的剛度，無法滿足市場需求。為解決上述問題，一種可行的方案是在具有主-副簧結(jié)構(gòu)的鋼板彈簧總成中，金屬主簧不變，同時(shí)用復(fù)合材料副簧替換原有的金屬副簧。在主-副簧結(jié)構(gòu)中，主要由主簧承載，因此該方案不僅使板簧總成具有可靠的變剛度功能，而且大幅降低了總成成本，同時(shí)減少了用戶顧慮，最終促進(jìn)復(fù)合材料板簧的推廣應(yīng)用。

對金屬主簧-復(fù)合材料副簧總成而言，其核心性能參數(shù)是主副簧共同工作后的復(fù)合剛度。目前，主要通過有限元模擬來實(shí)現(xiàn)金屬主簧-復(fù)合材料副簧復(fù)合剛度的理論計(jì)算[11]，建模工作量大、周期長，且存在模型不收斂、需要反復(fù)調(diào)試修正地風(fēng)險(xiǎn)。雖然已有學(xué)者提出了基于集中載荷法及有限元法的復(fù)合材料副簧剛度的匹配設(shè)計(jì)方法[12]，但該方法計(jì)算周期長，且未能正面解決金屬主簧-復(fù)合材料副簧復(fù)合剛度的計(jì)算問題。本文綜合應(yīng)用板彈簧設(shè)計(jì)理論、復(fù)合材料層合板理論及有限差分法建立了金屬主簧-復(fù)合材料副簧復(fù)合剛度的理論計(jì)算模型，并綜合有限元法及相關(guān)試驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了該模型的正確性，從而徹底解決了金屬主簧-復(fù)合材料副簧復(fù)合剛度的計(jì)算問題，為類似工程問題提供了理論依據(jù)。

1 總成結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)的金屬主簧-復(fù)合材料副簧總成結(jié)構(gòu)如圖1所示。為不失一般性，金屬主簧采用工程實(shí)際中廣泛應(yīng)用的兩片簧片結(jié)構(gòu)，主簧片、片端減噪墊塊及金屬夾板的材質(zhì)及結(jié)構(gòu)尺寸與原總成相應(yīng)部件相同?？偝筛骰善g通過原有的中心螺栓實(shí)現(xiàn)縱向及側(cè)向載荷的傳遞。雖然這種結(jié)構(gòu)會在復(fù)合材料副簧上鉆孔并削弱其可靠性，但這種結(jié)構(gòu)能保證主簧和副簧之間載荷的可靠傳遞。此外，副簧所受的載荷較小，其中部鉆孔區(qū)域附近受懸架騎馬螺栓固定，因此幾乎沒有變形。同時(shí)，還可通過增加副簧中部設(shè)計(jì)厚度、設(shè)置局部增強(qiáng)鋪層等手段進(jìn)行針對性地補(bǔ)強(qiáng)，因此復(fù)合材料副簧的可靠性能夠得到保證。由于彈簧鋼的硬度遠(yuǎn)高于纖維增強(qiáng)樹脂基復(fù)合材料，因此為了保護(hù)復(fù)合材料副簧，在主簧與副簧之間設(shè)置了隔片及片端橡膠墊塊。復(fù)合材料副簧的鋪層均為單向，增強(qiáng)纖維的排布方向均與簧身縱向成0°。

圖1 金屬主簧-復(fù)合材料副簧總成結(jié)構(gòu)

2 復(fù)合剛度理論計(jì)算模型的建立

與傳統(tǒng)的主-副簧式鋼板彈簧總成相比，金屬主簧-復(fù)合材料副簧的主要特點(diǎn)是其副簧具有各向異性。要準(zhǔn)確計(jì)算出金屬主簧及復(fù)合材料副簧共同工作后的復(fù)合剛度，除了要準(zhǔn)確計(jì)算出復(fù)合材料副簧自身剛度外，還需要深刻理解金屬主簧-復(fù)合材料副簧的變形機(jī)理。在前期研究中已經(jīng)建立了基于層合板理論的復(fù)合材料板簧截面彎曲剛度的計(jì)算理論,且其正確性已經(jīng)通過了試驗(yàn)驗(yàn)證[13][14]。在本文提出的計(jì)算模型中，將調(diào)用復(fù)合材料副簧各截面彎曲剛度的計(jì)算程序。

2.1 有限差分法簡介

根據(jù)有限差分理論，在發(fā)生形變后，板簧簧身中間距很小的兩相鄰橫截面之間存在如下關(guān)系：

其中，i是各橫截面的編號，a為橫截面間距，f是簧身在坐標(biāo)點(diǎn)x處的撓度，fi是編號為i的橫截面的撓度。

若板簧為各向同性的金屬板簧，則變形狀態(tài)下板簧的有限差分方程為：

其中，fi、θi和Ii分別是編號為i的橫截面的撓度、偏轉(zhuǎn)角和慣性矩，M（x）i為對應(yīng)的彎矩，E是簧身材料的彈性模量。

若板簧為各向異性的復(fù)合材料板簧，則變形狀態(tài)下板簧的有限差分方程為：

其中，Ki是簧身各橫截面的彎曲剛度。若將簧身變形區(qū)域均分為（n+1）段，則共生成（n+1）個(gè)橫截面（包括固定端面，編號為0）。則可由式（4）得到一組由（n+1）個(gè)方程組成的方程組（對金屬板簧，各方程的Ki替換為EIi）：

在固定端面無撓度和轉(zhuǎn)角，因此有：

因此可通過方程組（6）的第一個(gè)等式求出f1，然后通過第2個(gè)等式求出f2。依次類推，則橫截面i的撓度可表示為：

然后，可通過式（5）求出橫截面i的轉(zhuǎn)角θi。顯然該理論不但適用于具有任意橫截面形狀的板簧變形計(jì)算問題，而且易于編程實(shí)現(xiàn)。

2.2 復(fù)合剛度理論計(jì)算模型

以總成后半段為例，當(dāng)金屬主簧和復(fù)合材料副簧共同工作時(shí)，其變形示意圖及相關(guān)參數(shù)如圖2所示。其中，總成后半段在主簧接頭中心O點(diǎn)受豎直向下的載荷FO作用。金屬主簧和復(fù)合材料副簧在接觸點(diǎn)E的作用力及反作用力分別為FE和F′E。AB段受懸架騎馬螺栓固定，變形可忽略不計(jì)，因此將BG截面視為固定端。兩片金屬簧片及復(fù)合材料副簧的中部厚度分別為H1、H2和H3，末端厚度分別為h1、h2和h3。（l3+l4）段為主簧第1片的等厚度段，（l1+l2-l4）段為主簧第2片的等厚度段。l5為副簧與主簧接觸點(diǎn)中心與O點(diǎn)的距離。xm為主簧某一橫截面與O點(diǎn)的距離，xa為副簧某一橫截面與E點(diǎn)的距離。主副簧寬度均為b。

圖2 金屬主簧-復(fù)合材料副簧總成后半段變形示意圖及相關(guān)參數(shù)

2.2.1 假設(shè)金屬主簧只受到力FO的作用，計(jì)算金屬主簧在E點(diǎn)的撓度fE及O點(diǎn)的撓度fO

把金屬主簧的BD段分成（m+1）段，則形成m個(gè)新截面，加上固定端面BG，共有（m+1）個(gè)橫截面。設(shè)每段長度為a，則有：

對BD段，根據(jù)有限差分理論，第i個(gè)橫截面的撓度為：

其中：

需要說明的是，式（10）中的Ii為主簧對應(yīng)位置上的截面慣性矩，在本文中為主簧第一片及主簧第二片簧片對應(yīng)截面慣性矩之和。若金屬主簧有多片簧片，則Ii為對應(yīng)截面各簧片截面慣性矩之和[15]。

當(dāng)i?。╩+1）時(shí)即可求得截面D的撓度fD及轉(zhuǎn)角θD，則FO單獨(dú)作用下主簧O點(diǎn)的撓度為：

其中，fO1為假設(shè)D處固定，O端作用載荷FO時(shí)，O點(diǎn)的撓度。fDθ是截面D的彎曲轉(zhuǎn)角使O點(diǎn)產(chǎn)生的位移。DO段為金屬主簧第一片簧片的平直段，其寬度和厚度已知，因此根據(jù)材料力學(xué)有：

則可通過（11）式求出fO。由于m趨于無窮大，因此可將主簧上E點(diǎn)的撓度看作取在E附近最近截面對應(yīng)的撓度。由Sr+ia=Lr-L5得當(dāng)i=（Lr-l5-Sr）/a時(shí)，對應(yīng)i1（將求得的i數(shù)值取整）截面的撓度即為主簧上點(diǎn)E的撓度，則主簧上點(diǎn)E的撓度為：

2.2.2 假設(shè)金屬主簧只受到力F"E作用，計(jì)算金屬主簧E點(diǎn)的撓度f"E及O點(diǎn)的撓度f"O

對BE段，再次使用有限差分法，將BE段均分成（n+1）段，設(shè)每段長度為a"，則有：

同理，第i個(gè)橫截面的撓度為：

當(dāng)i?。╪+1）時(shí)即可求得只受到力F"E作用時(shí)主簧E處的撓度f"E，進(jìn)而可求出截面E的對應(yīng)轉(zhuǎn)角θ"E。由于EO段無外部集中載荷作用，且自身重力可忽略不計(jì)，因此當(dāng)金屬主簧只受到力F"E作用時(shí)，其O點(diǎn)的撓度為：

其中，f ′Eθ是截面E的轉(zhuǎn)角使O端產(chǎn)生的位移。

2.2.3 計(jì)算復(fù)合材料副簧在力FE作用下的撓度F′E：

對復(fù)合材料副簧GE段，再次應(yīng)用有限差分法，把GE段均分為（p+1）段，設(shè)每段長度為a′，則有：

同理，第i個(gè)橫截面的撓度為：

當(dāng)i?。╬+1）時(shí)即可求得復(fù)合材料副簧在力FE作用下的撓度F′E。

2.2.4 總成復(fù)合剛度計(jì)算

實(shí)際上，在主簧與副簧共同工作后，主簧E的撓度是F"E與FO的共同作用產(chǎn)生的，即主簧E點(diǎn)的實(shí)際撓度為：

而主簧和副簧實(shí)際上在接觸點(diǎn)E處的撓度相同，因此：

式（20）中，F(xiàn)O為已知量；m，n，p為模型中取的各截面數(shù)，數(shù)值越大計(jì)算精度越高；在結(jié)構(gòu)參數(shù)及鋪層參數(shù)已知的情況下，金屬主簧的截面慣性矩及復(fù)合材料副簧的截面彎曲剛度均可計(jì)算求出。則可通過式求（20）求解出FE的具體數(shù)值。

在主簧和副簧共同工作后，主簧O點(diǎn)的撓度fOR實(shí)際上是集中力F"E與FO共同作用產(chǎn)生的，即：

其中，fO1已知，fD及θD與FE無關(guān)，F(xiàn)"E及θ"E與FE相關(guān)。將求出的FE代入上式即可求出主簧O點(diǎn)的實(shí)際撓度fOR，則主副簧總成后半段的復(fù)合剛度為：

同理，可通過上述理論計(jì)算出總成前半段主副簧復(fù)合剛度Kf，通過下式計(jì)算出主副簧總成的復(fù)合剛度：

3 模型正確性驗(yàn)證

由于復(fù)合材料板簧剛度有限元模擬方法及主副簧式鋼板彈簧剛度有限元模擬方法均已成熟且通過了樣件臺架試驗(yàn)驗(yàn)證[13][16]，因此可通過成熟的有限元法來驗(yàn)證復(fù)合剛度理論計(jì)算模型的正確性。

為不失一般性，選取典型的具有兩片簧片的金屬主簧-復(fù)合材料副簧（如圖1）結(jié)構(gòu)作為算例，相關(guān)的結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)如表1、表2所示。在Matlab軟件中按照提出的理論計(jì)算模型編寫相應(yīng)的計(jì)算程序，計(jì)算圖1所示的金屬主簧-復(fù)合材料副簧總成的理論剛度，并對其剛度特性進(jìn)行有限元模擬。有限元模型中材料屬性設(shè)置、邊界條件及工況的設(shè)置與單片復(fù)合材料板簧有限元模型相同[11][12]。通過有限元模擬得到的總成在極限動(dòng)載荷作用下的變形狀態(tài)及應(yīng)力云圖如圖4所示。通過兩種方法得到的計(jì)算結(jié)果如表3所示。

表1 金屬主簧的尺寸參數(shù)

表2 復(fù)合材料副簧的尺寸參數(shù)

圖4 總成在極限動(dòng)載荷作用下的變形狀態(tài)及應(yīng)力云圖

表3 理論計(jì)算剛度與有限元模擬剛度的對比

根據(jù)圖4，主副簧之間的載荷得到了良好的傳遞，且總成變形狀態(tài)符合設(shè)計(jì)要求，金屬主簧的最大拉應(yīng)力為 1026 MPa，復(fù)合材料副簧的最大拉應(yīng)力為 315MPa，最大壓應(yīng)力為40MPa。由于硅錳彈簧鋼的強(qiáng)度極限為1375MPa，E玻纖/聚氨酯復(fù)合材料的縱向拉伸強(qiáng)度為1003MPa，縱向壓縮強(qiáng)度為832MPa，因此設(shè)計(jì)的總成結(jié)構(gòu)強(qiáng)度滿足要求。根據(jù)表3，理論計(jì)算模型的計(jì)算剛度與有限元模擬剛度的誤差低于3%，滿足工程應(yīng)用的需要。

4 結(jié)論

（1）根據(jù)模型正確性驗(yàn)證結(jié)果，提出的理論計(jì)算模型成功實(shí)現(xiàn)了典型的具有兩片簧片的金屬主簧-復(fù)合材料副簧復(fù)合剛度的精確計(jì)算，因此提出的理論計(jì)算模型為此類板簧剛度特性的正向設(shè)計(jì)提供了一種高效率的數(shù)值計(jì)算方法。

（2）根據(jù)已通過驗(yàn)證的理論計(jì)算模型，金屬主簧-復(fù)合材料副簧的變形機(jī)理為：金屬主簧單獨(dú)受載產(chǎn)生的撓度是接頭處集中載荷作用產(chǎn)生的撓度和主副簧接觸點(diǎn)處集中載荷作用產(chǎn)生的撓度的線性疊加；主副簧共同工作產(chǎn)生的撓度是金屬主簧單獨(dú)受載變形后產(chǎn)生的撓度和復(fù)合材料副簧單受載變形后產(chǎn)生的撓度的線性疊加。

（3）與現(xiàn)有的基于有限元模擬的金屬主簧-復(fù)合材料副簧復(fù)合剛度的計(jì)算方法相比，提出的理論計(jì)算模型適宜參數(shù)化建模及編程計(jì)算，在大幅提高計(jì)算速度的同時(shí)保證了計(jì)算精度，從而顯著縮短了金屬主簧-復(fù)合材料副簧的開發(fā)周期，并為該類板簧的優(yōu)化設(shè)計(jì)創(chuàng)造了條件。同時(shí)，由于該理論計(jì)算模型基于具有普適性的有限差分法，且對各簧片截面彎曲剛度的計(jì)算任務(wù)進(jìn)行了模塊化處理，即在計(jì)算過程中單獨(dú)調(diào)用各簧片截面的剛度計(jì)算子程序，因此該理論計(jì)算模型為具有任意截面形狀或復(fù)雜材料構(gòu)成的板式復(fù)合材料彈性元件的剛度計(jì)算問題提供了一種新的數(shù)值計(jì)算思路。