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    具飽和發(fā)生率的隨機(jī)SIR傳染病模型的遍歷性

    2021-03-27 01:21:50牛新宇鄭甲山
    關(guān)鍵詞:測(cè)度定義噪聲

    牛新宇,呂 闖,鄭甲山

    (1.吉林醫(yī)藥學(xué)院數(shù)學(xué)教研室,吉林 吉林 132013;2.魯東大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)科學(xué)學(xué)院,山東 煙臺(tái) 264025)

    1 預(yù)備知識(shí)

    經(jīng)典的具飽和發(fā)生率的SIR模型具有如下形式:

    (1)

    其中:S表示易感者的數(shù)量,I表示感染者的數(shù)量,R表示康復(fù)者的數(shù)量,易感者的輸入量記為Λ,β表示疾病傳輸率,μ表示自然死亡率,ε表示因病死亡率,γ表示康復(fù)率,飽和系數(shù)記為α.在現(xiàn)實(shí)生活中,環(huán)境噪聲是普遍存在的.文獻(xiàn)[1]考慮環(huán)境白噪聲對(duì)系統(tǒng)(1)的影響,提出如下隨機(jī)模型:

    (2)

    其中:σ>0;B(t)是定義在完備的概率空間(Ω,F(xiàn),{Ft}t≥0,P)上的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng),且其σ域流滿足通常條件.由于艙室R對(duì)疾病的傳輸不起作用,所以在模型(2)中直接將艙室R省略.

    事實(shí)上,除了白噪聲之外,還有另外一種噪聲也對(duì)傳染病的傳輸起著重要作用.由于受到降水、溫度變化的影響,環(huán)境經(jīng)常在幾個(gè)不同的狀態(tài)間切換,與此對(duì)應(yīng),在每一個(gè)不同的狀態(tài)下,系統(tǒng)(2)中的系數(shù)可能取不同的值.在這里假定環(huán)境狀態(tài)的切換由一個(gè)連續(xù)的Markov鏈r(t)(t≥0)來(lái)描述.其狀態(tài)空間為有限空間,記為S={1,2,…,N};Markov鏈的生成子Γ=(γij)N×N定義為

    (3)

    于是方程(3)可以寫成

    這里N(dt,dz)是一個(gè)泊松隨機(jī)測(cè)度,密度為dt×m(dz),m是定義在R上的勒貝格測(cè)度.

    將狀態(tài)切換考慮進(jìn)去,系統(tǒng)(2)可以化為

    (3)

    其中參數(shù)Λ(i),β(i),μ(i),ε(i),γ(i),α(i),σ(i),i∈S均為正常數(shù).

    在最近的文獻(xiàn)中,很多作者都討論過(guò)具M(jìn)arkov切換的隨機(jī)生物模型解的遍歷性[2-4],但這些模型對(duì)應(yīng)的擴(kuò)散陣都是非退化的,從而滿足一致橢圓條件.然而在模型(3)中擴(kuò)散陣為

    顯見該矩陣是一個(gè)退化矩陣.因此在尋求系統(tǒng)(3)的遍歷性時(shí),需要克服一些特定的困難,例如:確定系統(tǒng)的最大吸收集合;驗(yàn)證Markov過(guò)程(S(t),I(t),r(t))的強(qiáng)Feller性和不可約性.

    2 強(qiáng)Feller性和不可約性

    令(S(i)(t),I(i)(t))滿足:

    存在常數(shù)T>0使得

    p(i)(T,(x,y),(u,v))>0.

    (4)

    根據(jù)引理5.5[5],對(duì)任意的t>0擴(kuò)散過(guò)程(S(t),I(t),r(t))是絕對(duì)連續(xù)的,其密度記為p(t,(x,y,i),(u,v,j)).由引理2.3[6]知,p(t,(x,y,i),(u,v,j))滿足如下方程:

    (5)

    其中p0定義如下:

    通過(guò)與文獻(xiàn)[5]類似的討論可知,

    由(4)與(5)式和Γ的不可約性知,對(duì)任意的(x,y,i)∈E×S和(u,v,j)∈E×S,存在常數(shù)T>0使得

    p(T,(x,y,i),(u,v,j))>0.

    (6)

    其中

    p(t,(x,y,i),(u,v,j))的連續(xù)性蘊(yùn)含著(S(t),I(t),r(t))是強(qiáng)Feller過(guò)程,所以(S(t),I(t),r(t))是所謂的T-過(guò)程[7].由文獻(xiàn)[1]知集合

    是過(guò)程(S(i)(t),I(i)(t))的最大吸收集,因此集合E×S是系統(tǒng)(3)的最大吸收集.于是(6)式蘊(yùn)含著(S(t),I(t),r(t))在E×S上是μ-不可約的T-過(guò)程,這里μ為定義在集合E和S的積測(cè)度.

    為方便起見,取E×S為全空間,并始終假定(S(0),I(0),r(0))∈E×S.

    3 遍歷性

    定理1如果Rs>0,則(S(t),I(t),r(t))是遍歷的,即存在一個(gè)不變概率Π使得

    其中:P(t,(x,y,k),·)是(S(t),I(t),r(t))的轉(zhuǎn)移概率;‖·‖表示全變差范數(shù).

    證明根據(jù)定理5.1[8],要想證明遍歷性只需構(gòu)造一個(gè)函數(shù)V(x,y,i)∈C2(E×S)和一個(gè)緊集U?E使得對(duì)任意的i∈S,

    這里A是一個(gè)算子,

    其中:

    類似于引理2.1[4]的討論可知,存在唯一正的u=(u1,u2,…,uN)′滿足

    (2diag{μ(1),μ(2),…,μ(N)}-Γ)u=(σ2(1),σ2(2),…,σ2(N))′.

    (7)

    由于矩陣diag{μ(1),μ(2),…,μ(N)}-Γ是非奇異M-矩陣,所以方程

    (diag{μ(1),μ(2),…,μ(N)}-Γ)v=
    (β(1)-u1Λ(1),β(2)-u2Λ(2),…,β(N)-uNΛ(N))′

    (8)

    有唯一解v=(v1,v2,…,vN)′(該解不一定是正的).于是由(7)與(8)式可得

    從而

    (9)

    有唯一正解[9],記為?=(?1,?2,…,?N).

    定義C2-函數(shù)V如下:

    這里r是一個(gè)待定正數(shù).

    V2=-logx-log(L-x-y)-log(x+y-l).

    注意到(7)—(9)式,通過(guò)直接計(jì)算可得

    其中

    另一方面,

    綜上,

    記:

    另外,Ki(x,y)為E×S上的有界函數(shù),即存在M2>0使得|Ki(x,y)|≤M2.于是

    取正數(shù)r,δ,κ(這里δ,κ可以取的充分小)使得

    (10)

    記:

    D1={(x,y)∈E|0D3={(x,y)∈E|δ≤xD4={(x,y)∈E|δ≤x

    當(dāng)y→0時(shí),Ki(x,y)關(guān)于x一致收斂于0.由該結(jié)論與 (10)式得:在集合D1∪D2∪D3∪D4上,AV<-1.定義閉集

    U={(x,y)∈E|δ≤x≤L,δ≤y≤L,l+κ≤x+y≤L-κ},

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