數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透

賴海市

（惠州市惠陽(yáng)區(qū)崇雅中學(xué) 廣東·惠州 516200）

0 引言

學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)形成的關(guān)鍵期便是初中階段，在此之中充分融入數(shù)形結(jié)合思想，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，同時(shí)還能夠通過(guò)圖形對(duì)學(xué)生思維實(shí)現(xiàn)有效擴(kuò)展。另外數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)內(nèi)容、構(gòu)建有趣的教學(xué)情景，讓學(xué)生在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中能夠逐漸形成學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣。并讓學(xué)生們能夠以學(xué)習(xí)興趣為基礎(chǔ)，逐漸強(qiáng)化其對(duì)于問(wèn)題的思考、解決、探索能力。

1 初中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想的含義

在初中數(shù)學(xué)課堂當(dāng)中，數(shù)形結(jié)合是常用的一種教學(xué)方法。從基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，到深化教學(xué)過(guò)程當(dāng)中，數(shù)形結(jié)合思想在各個(gè)階段都已形成了滲透。簡(jiǎn)單而言，數(shù)形結(jié)合對(duì)于初中數(shù)學(xué)，便是在數(shù)學(xué)教學(xué)中通過(guò)圖象或圖形，將知識(shí)對(duì)學(xué)生予以展現(xiàn)，從而有助于學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)及理念的更好理解，并展示出數(shù)學(xué)思想所具有的實(shí)際意義。而數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)就是將數(shù)學(xué)的抽象知識(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)榭芍苯佑^察的圖形，此方法可實(shí)現(xiàn)學(xué)生理解能力、興趣及認(rèn)知水平的大幅度提升，進(jìn)而為學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

2 數(shù)形結(jié)合思想運(yùn)用于初中數(shù)學(xué)的價(jià)值

初中數(shù)學(xué)在其內(nèi)容具有較強(qiáng)的豐富性，在課本當(dāng)中也存在著非常多的圖形。相較于其他科目，其形式上更加具有趣味性，通過(guò)圖形進(jìn)行知識(shí)點(diǎn)的描述能夠讓學(xué)生更清晰的認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的理論知識(shí)。并且初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)對(duì)發(fā)展學(xué)生思維具有非常重要的作用，在教學(xué)中對(duì)符合現(xiàn)代化教學(xué)理念的教學(xué)方式進(jìn)行探索，可有效提升初中階段學(xué)生的思維水平。如今，數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用十分重要。因此，教師需在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)，讓學(xué)生能夠在短時(shí)間內(nèi)掌握知識(shí)點(diǎn)的本質(zhì)。

首先，在課上教學(xué)需引領(lǐng)學(xué)生通過(guò)圖形結(jié)合的方法對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行理解，通過(guò)一段時(shí)間的學(xué)習(xí)可有效提升學(xué)生的問(wèn)題處理能力。其次，在課堂中，教師在進(jìn)行例題或者是難題的講解時(shí)通過(guò)圖形變換的方式輔助自己的教學(xué)，讓學(xué)生能夠在課堂上逐漸掌握使用數(shù)形結(jié)合的方法對(duì)問(wèn)題進(jìn)行處理，并通過(guò)此學(xué)習(xí)方法對(duì)數(shù)學(xué)圖形的理解實(shí)現(xiàn)加深。例如，教師在講解錐形和扇形間的變換時(shí)，利用圖形可讓學(xué)生直觀的觀察到其中所具有的變換關(guān)系（如圖1）。將教材中知識(shí)講解完畢后可為學(xué)生布置與圖形有關(guān)的作業(yè)進(jìn)行練習(xí)，進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行解題的能力。

圖1

3 數(shù)形結(jié)合思想的滲透方式

3.1 通過(guò)數(shù)學(xué)結(jié)合思想，形象展現(xiàn)概念知識(shí)

在進(jìn)行數(shù)學(xué)的教學(xué)工作中，概念方面的教學(xué)是基礎(chǔ)。而數(shù)學(xué)的概念性知識(shí)是經(jīng)歷了多次精簡(jiǎn)以及概括而逐步形成的，所以與其他文字內(nèi)容相比較而言，數(shù)學(xué)概念非?；逎?、難以理解。并且，在數(shù)學(xué)知識(shí)當(dāng)中，也有很多知識(shí)概念太過(guò)抽象、復(fù)雜，學(xué)生理解難度極大。在此之中，教師可積極使用數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方法展開說(shuō)明，通過(guò)幾何圖形表達(dá)知識(shí)文字當(dāng)中的內(nèi)容，協(xié)助學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行學(xué)習(xí)。教學(xué)在實(shí)際教學(xué)中，需自然而然地將數(shù)形結(jié)合思想融入到學(xué)生的思維當(dāng)中，潛移默化的對(duì)學(xué)生產(chǎn)生影響。采用由淺入深、從簡(jiǎn)到繁的方式，對(duì)學(xué)生的自學(xué)的熱情實(shí)現(xiàn)有效的激發(fā)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中能夠體會(huì)到趣味性，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)初中數(shù)學(xué)教學(xué)水平的進(jìn)一步提升。

現(xiàn)階段，初中數(shù)學(xué)當(dāng)中所使用的解題方法幾乎以基本概念為基礎(chǔ)而衍生得到的。為此，教師需積極引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行深入的了解，強(qiáng)化學(xué)生的解題思路，讓學(xué)生在面對(duì)概念性問(wèn)題時(shí)，可以結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想對(duì)題目進(jìn)行分析。在保證學(xué)生解題效率的同時(shí)，讓學(xué)生建立起學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的興趣。比如：在學(xué)習(xí)人教版初中數(shù)學(xué)《平行線與相交線》時(shí)，教師需讓學(xué)生對(duì)垂線的概念進(jìn)行掌握，即線外一點(diǎn)到直線上的所有線段之中最短的是垂直線段。教師如果只通過(guò)文字進(jìn)行講解，學(xué)生難以對(duì)此概念進(jìn)行理解。并且很多學(xué)生會(huì)通過(guò)背誦的方式進(jìn)行學(xué)習(xí)，這對(duì)學(xué)習(xí)效果或多或少存在一定的影響。而通過(guò)數(shù)形結(jié)合方法的運(yùn)用（如圖2），可將此內(nèi)容進(jìn)行生動(dòng)的展示，讓學(xué)生能夠直觀的發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，強(qiáng)化了學(xué)生對(duì)于知識(shí)點(diǎn)的理解能力。

圖2

又比如：“已知二次函數(shù)的方程是y=-x2+2x，如果-1＜x＜a，就會(huì)隨著x的不斷增大，y也不斷增大，那么求解實(shí)數(shù)a的取值范圍。”教師可以讓y=0，結(jié)合方程將x的解計(jì)算出來(lái)，那就是x1=0，x2=2，接著將函數(shù)圖象畫出來(lái)（如圖3）。這時(shí)，不難發(fā)現(xiàn)，此題答案是-1＜a≤1。利用數(shù)形結(jié)合思想，將二者相結(jié)合，不僅可以將代數(shù)問(wèn)題解決，而且可以使幾何有更強(qiáng)的嚴(yán)密性。在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中代數(shù)普遍應(yīng)用，比如：函數(shù)可以劃分成多種類型，常見(jiàn)的有一次函數(shù)以及二次函數(shù)等等，若學(xué)生可以充分了解不同函數(shù)的圖形畫法，了解數(shù)形結(jié)合做題的方式，可以顯著提升學(xué)生的解題效率，也可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

圖3

3.2 通過(guò)數(shù)形結(jié)合思想，巧妙轉(zhuǎn)化數(shù)字關(guān)系

數(shù)形結(jié)合，本質(zhì)上就是通過(guò)幾何圖形實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)系的表達(dá)或通過(guò)數(shù)學(xué)關(guān)系進(jìn)行圖形的展示，從而巧妙地結(jié)合數(shù)字與圖形，表現(xiàn)出“1+1大于2”的教學(xué)效果。在初中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想可以具體化、形象化的展示數(shù)學(xué)知識(shí)，在教學(xué)中幫助學(xué)生理解課本中的知識(shí)內(nèi)容，對(duì)學(xué)生記憶知識(shí)的能力進(jìn)行強(qiáng)化。在知識(shí)點(diǎn)當(dāng)中融入幾何圖形，可以讓數(shù)學(xué)關(guān)系變得清晰、明了，老師可將抽象的知識(shí)內(nèi)容轉(zhuǎn)變?yōu)榫唧w的圖象，幫助學(xué)生合理解決實(shí)際數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中所出現(xiàn)的難題。

以“不等式”的知識(shí)點(diǎn)內(nèi)容為例，在初中數(shù)學(xué)諸多知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)中“不等式及其問(wèn)題”是大部分學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)，同時(shí)也是教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一。在進(jìn)行教學(xué)的過(guò)程中，因?yàn)椤安坏仁健弊陨砭哂蟹浅?qiáng)的抽象性、邏輯性，學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)的過(guò)程中原本就具有非常高的難度。如果學(xué)生未找到有效、科學(xué)的學(xué)習(xí)方法，以及沒(méi)有掌握相應(yīng)的學(xué)習(xí)技巧，便會(huì)導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)“不等式”及其相關(guān)內(nèi)容時(shí)會(huì)更加困難。如此一來(lái)，極大消磨了學(xué)習(xí)熱情以及積極性，對(duì)學(xué)生課堂學(xué)習(xí)效率及課堂氛圍必定會(huì)帶來(lái)一定的消極影響。

倘若在進(jìn)行“不等式”相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)過(guò)程中，積極引入數(shù)形結(jié)合思想，就可以直觀、形象的方式將此內(nèi)容展示出來(lái)，有助于學(xué)生對(duì)不等式問(wèn)題的理解并通過(guò)知識(shí)進(jìn)行正確的解決。例如，在“一元一次不等式組”的教學(xué)過(guò)程中，教師可將數(shù)形結(jié)合思想融入其中，引領(lǐng)學(xué)生通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方式展開知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)，將題目當(dāng)中所含有的各種變量進(jìn)行數(shù)字與圖形之間的轉(zhuǎn)化，將抽象關(guān)系直觀化、簡(jiǎn)單化，讓學(xué)生可以對(duì)相關(guān)問(wèn)題的接觸能力能夠形成有效地掌握。

比如：就幾何圖形的幾何變換來(lái)講，教師應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生親自動(dòng)手對(duì)平面圖形的空間變換進(jìn)行練習(xí)。最具有代表性的例子是拆剪盒子，教師在課前應(yīng)該準(zhǔn)備好有關(guān)的材料，與學(xué)生共同討論拆剪盒子的整個(gè)空間變換過(guò)程。比如：兩個(gè)不同正方形的連接。如果在邊長(zhǎng)上，大正方形大于小正方形，怎樣才可以只剪兩次，就可以拼接出新的邊長(zhǎng)最大的正方形呢？在實(shí)驗(yàn)教學(xué)過(guò)程中教師采用實(shí)驗(yàn)的方式鼓勵(lì)學(xué)生親自拆剪，然而因?yàn)閷W(xué)生思維能力不強(qiáng)，在拆剪中經(jīng)常出現(xiàn)混亂的情況，既不能準(zhǔn)確發(fā)現(xiàn)拆剪的方法，又很有可能由于拆剪方法缺乏合理性，造成思路變得混亂。然而若認(rèn)真分析，就可以得知題目的信息是講只剪兩刀，就可以獲取全新的正方形。在實(shí)際轉(zhuǎn)換中，邊長(zhǎng)出現(xiàn)變化，然而面積是不變的。通過(guò)對(duì)小正方形和大正方形面積進(jìn)行計(jì)算，可以迅速求解出正方形面積。如果大正方形和小正方形的邊長(zhǎng)分別是4和2，這時(shí)大小正方形的面積總共是20。學(xué)生僅僅求出正方形的邊長(zhǎng)，而且發(fā)現(xiàn)哪個(gè)是邊長(zhǎng)就行。由此發(fā)現(xiàn)，就數(shù)形結(jié)合來(lái)講，既可以將代數(shù)向圖象過(guò)渡，又可以將抽象變成具象，甚至可以對(duì)幾何圖形的“不變量”進(jìn)行準(zhǔn)確判斷分析，從具象變成抽象。

另外對(duì)于圖象的線段轉(zhuǎn)化，可先變?yōu)楹瘮?shù)關(guān)系進(jìn)而實(shí)現(xiàn)數(shù)字計(jì)算。例如在題目為“二次函數(shù)y=-x2+4x+5交X軸于點(diǎn)A和點(diǎn)C，交Y軸于點(diǎn)B，直線BC上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使△PBC的面積最大？若存在，求出P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。”中，可先將函數(shù)的線段圖象表現(xiàn)出來(lái)，隨后依照題目要求標(biāo)記各軸交點(diǎn)。一般是過(guò)動(dòng)點(diǎn)向y軸作平行線把動(dòng)三角形分割成兩個(gè)基本模型三角形，利用兩個(gè)新三角形的面積將原三角形的面積表示出來(lái)（如圖4所示）。

圖4

4 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)以上分析可以看出，在實(shí)際的初中數(shù)學(xué)教學(xué)工作中教師應(yīng)用數(shù)學(xué)結(jié)合的教育思想，不僅可以保證數(shù)學(xué)課堂質(zhì)量的有效提升，同時(shí)還可以幫助學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行有效掌握，形成優(yōu)良的思維模式，確保數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率的穩(wěn)步增強(qiáng)。但在此過(guò)程中，教師需要秉承以人為本的教學(xué)理念，依據(jù)實(shí)際合理設(shè)計(jì)數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用深度，選用與學(xué)生認(rèn)知能力相適應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容，從而保障學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)能夠得到有效發(fā)展。