基于CGAPIO的航天器編隊(duì)重構(gòu)路徑規(guī)劃方法

華冰，孫勝剛，吳云華，陳志明

（南京航空航天大學(xué) 航天學(xué)院，南京210016）

微小航天器具有體積小、質(zhì)量輕、成本低、靈活性高及研制周期短等顯著優(yōu)點(diǎn)。多個(gè)微小航天器編隊(duì)飛行，可以實(shí)現(xiàn)一些復(fù)雜的功能，且能夠大幅度降低開發(fā)成本和風(fēng)險(xiǎn)［1］，在對(duì)地觀測(cè)、航天器物聯(lián)網(wǎng)、海運(yùn)和天氣監(jiān)測(cè)等方面有著廣闊應(yīng)用前景。隊(duì)形重構(gòu)是航天器編隊(duì)飛行任務(wù)的重要組成部分，在編隊(duì)重構(gòu)進(jìn)行路徑規(guī)劃時(shí)，首先應(yīng)該考慮的是防止各成員之間在變軌過程中的碰撞，以及變軌燃料消耗的最優(yōu)化問題。

針對(duì)路徑規(guī)劃問題，目前的研究方法大致可以分為傳統(tǒng)算法和啟發(fā)式智能算法2類。傳統(tǒng)算法包括視圖法、人工勢(shì)場(chǎng)法、單元分解法、精確數(shù)學(xué)規(guī)劃法等［2］，存在模型復(fù)雜、效率低和容易陷入局部最優(yōu)等缺點(diǎn)。啟發(fā)式智能算法包括遺傳算法、蟻群算法、粒子群（Particle Swarm Optimization，PSO）算法和鴿群（Pigeon-Inspired Optimization，PIO）算法等［3］，具有模型參數(shù)少、求解速度快和收斂性好等優(yōu)點(diǎn)。

鴿群算法是2014年Duan和Qiao［4］受到鴿群自主歸巢行為啟發(fā)提出的仿生智能優(yōu)化算法。自提出后，鴿群算法在編隊(duì)路徑規(guī)劃方面取得了許多成果。林娜、黃思銘、拱長(zhǎng)青［5］利用鴿群算法解決無(wú)人機(jī)航跡規(guī)劃問題，引入自適應(yīng)權(quán)重系數(shù)，解決了局部最優(yōu)和收斂速度慢的問題，但是航跡質(zhì)量和效率有待提高，另外需要經(jīng)過樣條平滑算法改進(jìn)。北京航空航天大學(xué)的胡耀龍、馮強(qiáng)等［6］為了避免標(biāo)準(zhǔn)鴿群算法陷入局部最優(yōu)，提出了一種基于自適應(yīng)學(xué)習(xí)策略的改進(jìn)鴿群優(yōu)化算法，該算法提升了多峰函數(shù)優(yōu)化問題中的收斂精度和收斂速度，并且能有效避免陷入局部最優(yōu)解，但是沒有針對(duì)實(shí)際問題建模分析。哈爾濱工程大學(xué)的崔文豪［7］研究了J2攝動(dòng)下的衛(wèi)星編隊(duì)隊(duì)形重構(gòu)與隊(duì)形保持方法，利用極小值理論，運(yùn)用多重打靶法結(jié)合改進(jìn)鴿群算法，改善重構(gòu)控制精度和燃料消耗，但是并沒有考慮各成員星變軌時(shí)的碰撞問題。Zhang和Duan［8］提出了一種滿足高斯分布的鴿群算法用來解決航天器編隊(duì)重構(gòu)路徑規(guī)劃問題，考慮了各成員不發(fā)生碰撞情況下的燃料消耗最小化問題，但穩(wěn)定性需要提高。雖然已有很多研究體現(xiàn)了鴿群算法的有效性，但是鴿群算法仍然存在參數(shù)優(yōu)化、收斂速度慢、易陷入局部最優(yōu)等問題，路徑規(guī)劃的效果并不理想。

針對(duì)上述鴿群算法本身及應(yīng)用的不足之處，本文對(duì)基本鴿群算法進(jìn)行了3點(diǎn)改進(jìn)：采用Tent Map混沌模型進(jìn)行鴿群初始化操作，增加種群多樣性；設(shè)計(jì)了自適應(yīng)的地圖和指南針?biāo)阕臃乐顾阉魍?；在地?biāo)算子階段引入高斯擾動(dòng)，幫助算法跳出局部最優(yōu)。基于上述改進(jìn)，本文提出了一種基于混沌初始化和高斯擾動(dòng)的自適應(yīng)鴿群（CGAPIO）算法，來解決航天器編隊(duì)重構(gòu)路徑規(guī)劃問題，實(shí)現(xiàn)燃料消耗最優(yōu)化。

1 模型構(gòu)建

1.1 軌道動(dòng)力學(xué)模型

假設(shè)地球是均勻球體，忽略任何攝動(dòng)力，參考航天器為A，伴隨航天器為B，兩航天器軌道均為圓軌道。

航天器編隊(duì)飛行時(shí)，兩航天器之間的相對(duì)位置矢量δr與伴隨航天器的慣性位置矢量r0相比，相對(duì)位置矢量的模很小，如下：

編隊(duì)飛行相對(duì)參考坐標(biāo)系與地心慣性坐標(biāo)系的關(guān)系如圖1所示。O-XYZ為地心慣性坐標(biāo)系。A-xyz為參考航天器的相對(duì)運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系，其原點(diǎn)與參考航天器的質(zhì)心固連，y軸與參考航天器的地心矢量r重合，由地心指向參考航天器。x軸在參考航天器的軌道面內(nèi)垂直于y軸并指向運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檎?，z軸由右手規(guī)則確定。

圖1 編隊(duì)飛行相對(duì)參考坐標(biāo)系Fig.1 Relative frame of reference for formation flight

基于上述假設(shè)和條件，根據(jù)相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)，可以用Clohessy-Wiltshire方程［9］（C-W 方程）來描述航天器間相對(duì)運(yùn)動(dòng)。C-W 方程表示為

式中：ω為參考航天器軌道角速度的大?。粁、y、z分別為相對(duì)位置矢量在參考航天器軌道坐標(biāo)系三軸的投影。

1.2 目標(biāo)函數(shù)及約束

本文提出的航天器編隊(duì)重構(gòu)路徑規(guī)劃問題，將總?cè)剂舷淖鳛槟繕?biāo)函數(shù)，將碰撞概率視為約束條件。通過罰函數(shù)，將帶約束條件的最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束條件的最優(yōu)化問題。

罰函數(shù)是目前解決帶約束優(yōu)化問題的方法之一，其思想是：對(duì)違反約束條件的非可行點(diǎn)或者試圖穿越約束邊界逃離可行域的點(diǎn)給予懲罰，使其靠近可行域［10-11］。具體實(shí)施方法是：將約束函數(shù)組成一個(gè)懲罰項(xiàng)，與原目標(biāo)函數(shù)相加，迫使迭代點(diǎn)逼近可行域［12］。

構(gòu)造CGAPIO算法的適應(yīng)度函數(shù)S（X）為

式中：F（X）為航天器變軌過程中燃料的總消耗量；γ為懲罰因子；C（X）為碰撞概率［13］。

本文提出的CGAPIO算法將航天器軌跡離散化，計(jì)算所有相鄰離散點(diǎn)之間的相對(duì)速度變化量之和，以此來衡量燃料總消耗量。當(dāng)兩航天器之間的相對(duì)距離小于臨界安全距離時(shí)，表示碰撞風(fēng)險(xiǎn)較大，此時(shí)C（X）起到懲罰作用使航天器遠(yuǎn)離風(fēng)險(xiǎn)區(qū)域。

2 基于混沌初始化和高斯擾動(dòng)的自適應(yīng)鴿群算法

本文對(duì)基本鴿群算法提出了3點(diǎn)改進(jìn)，基于此，提出了CGAPIO算法。

2.1 基本鴿群算法

鴿群算法將每一個(gè)鴿子個(gè)體視為可能解，每個(gè)個(gè)體包含位置和速度2個(gè)參數(shù)，并且根據(jù)鴿子飛行的不同階段提出了2種算子模型。

1）地圖和指南針?biāo)阕?/p>

在距離目的地較遠(yuǎn)時(shí)，鴿群主要依靠地磁場(chǎng)的指引靠近目的地。隨著鴿群越來越接近目的地，會(huì)減少對(duì)地磁場(chǎng)的依賴。此階段，個(gè)體的速度由上一代原有速度、種群的最佳位置與上一代原有位置的差值共同決定；個(gè)體的位置由其上一代原有位置和當(dāng)前速度共同決定。地圖和指南針?biāo)阕拥臄?shù)學(xué)表達(dá)式為

式中：t為迭代次數(shù)；R為地圖和指南針因子，是一個(gè)［0，1］的常數(shù)；rand為［0，1］的隨機(jī)數(shù)；Vi（t）和Xi（t）分別為個(gè)體i在第t代的速度和位置；Xg為當(dāng)前種群最佳位置。

2）地標(biāo)算子

距離目的地較近時(shí)，鴿群會(huì)依靠地標(biāo)導(dǎo)航，跟隨熟悉地標(biāo)的個(gè)體飛行，不熟悉地標(biāo)的個(gè)體將被逐漸舍棄，鴿群的中心位置成為速度的參考方向。地標(biāo)算子的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中：Np（t）為第t次迭代的個(gè)體數(shù)目；Xc（t）為第t次迭代的剩余鴿群的中心位置；S（Xi（t））為個(gè)體i在第t次迭代時(shí)的適應(yīng)度函數(shù)。

2.2 混沌初始化改進(jìn)算法

基本鴿群算法的位置和速度矢量初值由隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生，該方法盡可能地保證了隨機(jī)性，整體上可以保證初始鴿群在整個(gè)解空間均勻分布，但是通過隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生的方法，會(huì)使某些初值遠(yuǎn)離最優(yōu)解，影響種群迭代效果。

混沌現(xiàn)象是普遍存在于非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)中的偽隨機(jī)過程?；煦邕\(yùn)動(dòng)是指在一個(gè)確定性系統(tǒng)中，存在著貌似隨機(jī)的不規(guī)則運(yùn)動(dòng)，具有遍歷性、隨機(jī)性和對(duì)初始條件敏感等特點(diǎn)［14］。Tent Map混沌模型［15］是研究動(dòng)力系統(tǒng)、混沌、分形等復(fù)雜系統(tǒng)行為的一個(gè)經(jīng)典模型，數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中：a?［0，4］為Tent Map映射參數(shù)。

初始值Y0取值影響混沌效果，Y0?（0，1）。圖2舉例說明并對(duì)比了Y0分別取0.288和0.588產(chǎn)生50個(gè)混沌隨機(jī)數(shù)的效果。

針對(duì)本文解決的問題，經(jīng)過反復(fù)測(cè)試的取值，最終選擇為0.280，可以產(chǎn)生較好的多樣性效果。本文以式（11）生成初代鴿群位置。

式中：Nmax為初代鴿群的鴿子總數(shù)。

圖2 不同初始值下的Tent Map混沌模型結(jié)果Fig.2 Results of Tent Map chaotic model with different initial values

圖3以Nmax=50，X1的模值為0.280 km 為例，對(duì)比了Tent Map混沌模型和隨機(jī)數(shù)各自產(chǎn)生初代鴿群位置的效果?？梢钥闯觯S機(jī)數(shù)在矩形框圍住的區(qū)域內(nèi)基本沒有取值，初始值多樣性效果較差；而在橢圓框圍住的區(qū)域內(nèi)，取值又比較集中，容易在迭代過程中形成局部最優(yōu)。使用Tent Map混沌模型產(chǎn)生的初值無(wú)明顯集中或者遠(yuǎn)離某區(qū)域的現(xiàn)象，比較均勻地分布在整個(gè)平面內(nèi)，比使用隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生的初值有更好的多樣性和覆蓋性。

為了在保持群體初值隨機(jī)性的前提下，提高多樣性和覆蓋性，本文使用Tent Map混沌模型代替隨機(jī)數(shù)賦予鴿群位置矢量和速度矢量初值。

圖3 隨機(jī)數(shù)與Tent Map混沌模型初始化結(jié)果對(duì)比Fig.3 Comparison of initialization results between random numbers and Tent Map chaotic model

2.3 自適應(yīng)因子改進(jìn)算法

基本鴿群算法對(duì)多維函數(shù)進(jìn)行求解時(shí)，普遍存在易陷入局部極值的缺點(diǎn)［16］。為了提高種群個(gè)體的全局搜索能力，本文在基本鴿群算法原有的地圖和指南針?biāo)阕拥交A(chǔ)上引入了自適應(yīng)權(quán)重因子和學(xué)習(xí)因子。

通過分析基本鴿群算法地圖和指南針?biāo)阕幽Ｐ偷乃俣鹊娇梢园l(fā)現(xiàn)，個(gè)體速度的更新一方面取決于上一代的速度影響，該部分影響大小主要體現(xiàn)在地圖和指南針因子；另一方面取決于上一代全局最優(yōu)的位置對(duì)個(gè)體位置的修正。

基本鴿群算法中地圖和指南針因子在迭代前期的作用是保持鴿群個(gè)體的多樣性，使種群在整個(gè)解空間內(nèi)廣泛搜索［17］。但是，在基本鴿群算法中的值是固定不變的，而且式（5）中Vi（t-1）e-Rt代表的是個(gè)體保持原來速度的大小和方向的效果，該乘積項(xiàng)包含指數(shù)函數(shù)，衰減速度太快。令R=0.4，當(dāng)t=18次時(shí)，e-Rt≈0即迭代到第18次，種群就完全放棄了個(gè)體原有的速度，只參考種群最佳位置。此時(shí)算法不再進(jìn)行全局搜索，使得種群圍繞在當(dāng)前全局最優(yōu)進(jìn)行搜索和迭代，陷入局部最優(yōu)的陷阱［18］。

為了解決基本鴿群算法中地圖和指南針因子的固有弊端，本文引入自適應(yīng)的權(quán)重因子w代替指數(shù)函數(shù)e-Rt，如式（12）所示；引入自適應(yīng)的學(xué)習(xí)因子c來控制種群最優(yōu)位置的影響，如式（13）所示。

式中：tmax為迭代總次數(shù)；wmax為權(quán)重因子最大值，取0.9；wmin為權(quán)重因子最小值，取0.6。

引入自適應(yīng)權(quán)重因子和學(xué)習(xí)因子后，地圖和指南針?biāo)阕铀俣鹊綖?/p>

圖4顯示了權(quán)重因子和學(xué)習(xí)因子隨著迭代次數(shù)的變化情況。w的初值較大，c的初值較小，體現(xiàn)了在迭代初期，多樣化的個(gè)體在全局的搜索能力比全局最優(yōu)個(gè)體的貢獻(xiàn)更重要。隨著迭代過程的進(jìn)行，權(quán)重因子線性遞減，學(xué)習(xí)因子呈三角函數(shù)非線性遞增，體現(xiàn)了在迭代后期，篩選出來的全局最優(yōu)位置更加具有指導(dǎo)性，局部搜索能力更加重要，能夠加快收斂。

圖4 自適應(yīng)權(quán)重因子和學(xué)習(xí)因子隨迭代次數(shù)的變化Fig.4 Changes of adaptive weighting factor and learning factor with number of iterations

2.4 高斯擾動(dòng)改進(jìn)算法

在地標(biāo)算子階段，鴿群整體的中心位置成為速度的參考方向，個(gè)體向中心位置靠攏。但是如果當(dāng)前鴿群中心位置是一個(gè)局部極值點(diǎn)，會(huì)更加容易導(dǎo)致鴿群陷入局部最優(yōu)。為了解決這一問題，本文將高斯擾動(dòng)項(xiàng)引入到鴿群算法的地標(biāo)算子中。

以f（x）=x為例，圖5對(duì)比了加入均值為0、方差為100的高斯擾動(dòng)前后的情況?？梢钥吹剑尤敫咚箶_動(dòng)后f（x）的值圍繞著原值進(jìn)行波動(dòng)，波動(dòng)的大小可以由方差控制。在鴿群算法的地標(biāo)算子階段，鴿群的中心位置已經(jīng)接近最優(yōu)解，加入適宜的高斯擾動(dòng)既不會(huì)過度偏離已知解，保證了算法的收斂性，又可以避免陷入局部最優(yōu)無(wú)法擺脫。

圖5 高斯擾動(dòng)示意圖Fig.5 Schematic diagram of Gaussian disturbance

CGAPIO算法在地標(biāo)算子中增加高斯擾動(dòng)項(xiàng)后，鴿群個(gè)體位置按照式（15）更新。

式中：G（μ，σ2）為高斯擾動(dòng)項(xiàng)，μ為均值，σ2為方差。

在相關(guān)的加入高斯擾動(dòng)的仿生群體智能算法研究中，通常均值取0，保證高斯分布均勻性［19-22］；而方差σ2的數(shù)值大小需要根據(jù)具體問題來確定。針對(duì)本文研究的問題，在其他條件相同的情況下，經(jīng)過對(duì)比發(fā)現(xiàn)方差取值為20時(shí)得到的效果最好。

圖6為CGAPIO算法的流程。首先根據(jù)C-W方程建立航天器編隊(duì)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，然后利用Tent Map混沌模型給位置和速度賦初值。根據(jù)初值進(jìn)行首次適應(yīng)度排序，然后引入自適應(yīng)因子到鴿群算法的地圖和指南針?biāo)阕拥^程。在經(jīng)過規(guī)定次數(shù)的迭代后，進(jìn)入地標(biāo)算子迭代過程，在此階段利用高斯擾動(dòng)跳出局部最優(yōu)。在完成設(shè)定的總迭代次數(shù)后，輸出規(guī)劃后的路徑。

圖6 CGAPIO算法流程Fig.6 Flowchart of CGAPIO

3 仿真實(shí)驗(yàn)

本文算法以4個(gè)航天器從圓形編隊(duì)變換到直線形編隊(duì)為例，軌跡離散點(diǎn)設(shè)為3個(gè)；鴿群總數(shù)為30個(gè)，路徑規(guī)劃維度為20維。迭代次數(shù)為100次，其中地圖與指南針?biāo)阕与A段迭代66次，地標(biāo)算子階段迭代34次。在C-W 坐標(biāo)系下，航天器初始位置和目標(biāo)位置如表1所示。

表1 航天器初始位置與目標(biāo)位置Table 1 Initial and target positions of spacecraft

CGAPIO、PIO、PSO三種算法規(guī)劃的路徑結(jié)果分別如圖7～圖9所示。

觀察PIO算法和PSO算法的規(guī)劃結(jié)果，規(guī)劃路徑的起始方向與目標(biāo)位置所在的方向相差甚多，這是由于使用隨機(jī)數(shù)方法賦予初始值，種群可能選取到距離最優(yōu)解較遠(yuǎn)的初值；規(guī)劃所得到的路徑比較曲折，方向改變幅度很大。這是由于種群過早喪失了全局搜索能力，所跟隨的“最優(yōu)解”是局部最優(yōu)，才導(dǎo)致規(guī)劃所得的路徑質(zhì)量不高。

相比之下，CGAPIO算法的路徑規(guī)劃結(jié)果明顯更加平滑，沒有大幅度轉(zhuǎn)折。特別是對(duì)于航天器3，CGAPIO算法規(guī)劃得到的路徑近似于連接起點(diǎn)與終點(diǎn)的直線。各航天器速度方向改變不大，保證了各航天器之間有一定安全距離余量，降低了碰撞概率；又避免了過大幅度的無(wú)效機(jī)動(dòng)。

圖7 CGAPIO算法路徑規(guī)劃結(jié)果Fig.7 Path planning results of CGAPIO

圖8 PIO算法路徑規(guī)劃結(jié)果Fig.8 Path planning results of PIO

圖9 PSO算法路徑規(guī)劃結(jié)果Fig.9 Path planning results of PSO

圖7～圖9路徑規(guī)劃結(jié)果對(duì)應(yīng)的總?cè)剂舷娜绫?所示。CGAPIO算法總?cè)剂舷呐cPIO算法相比，平均降低了12.86%；與PSO算法相比，平均降低了22.71%。

由于采用了Tent Map混沌模型進(jìn)行初始化，鴿群初始值分布比較均勻，靠近最優(yōu)解的可能性較大，在開始迭代時(shí)，CGAPIO算法的適應(yīng)度值小于50，甚至優(yōu)于用PSO算法得到的最優(yōu)解。

PIO和PSO算法分別在第10次和第16次就停止了適應(yīng)度的更新，最終的適應(yīng)度值分別是49.73和45.78，都在迭代初期陷入了局部最優(yōu)的陷阱，并且始終無(wú)法擺脫。然而CGAPIO算法在迭代初期保留了全局搜索的能力，對(duì)應(yīng)的是圖10中迭代初期適應(yīng)度變化緩慢。同時(shí)CGAPIO算法保證了種群有較快的演化速度，快速淘汰距離最優(yōu)解較遠(yuǎn)的個(gè)體，對(duì)應(yīng)的是圖10中適應(yīng)度呈折線形變化，在迭代不到30次的時(shí)候就已經(jīng)十分接近用PIO算法得到的最優(yōu)解。CGAPIO算法一直保持更新適應(yīng)度到第72次迭代，最終的適應(yīng)度值為38.06，得到了更深的種群演化深度。

表2 不同算法總?cè)剂舷膶?duì)比Table 2 Comparison of total fuel consumption among different algorithms

圖10 不同算法適應(yīng)度對(duì)比Fig.10 Comparison of fitness curves among different algorithms

4 結(jié) 論

1）引入混沌初始化模型、自適應(yīng)因子和高斯擾動(dòng)對(duì)基本鴿群算法進(jìn)行改進(jìn)，提出CGAPIO算法用于航天器編隊(duì)重構(gòu)路徑規(guī)劃。規(guī)劃結(jié)果路徑平滑，消耗燃料少，既避免了碰撞，又避免了無(wú)效機(jī)動(dòng)。

2）仿真結(jié)果表明，與PIO算法和PSO算法相比，不論是編隊(duì)的總?cè)剂舷倪€是各個(gè)航天器的燃料消耗，CGAPIO算法都是最少的。

3）CGAPIO算法有著較低的初始適應(yīng)度值，表明Tent Map混沌模型確實(shí)起到了增強(qiáng)種群的多樣性的作用；而PSO算法和PIO算法使用隨機(jī)數(shù)模型，導(dǎo)致在開始迭代時(shí)，適應(yīng)度初始值均超過了CGAPIO算法。

4）CGAPIO算法兼顧了全局搜索能力和演化深度，最終的適應(yīng)度值比PSO算法和PIO算法大大降低。