無人集群系統(tǒng)時變編隊H∞控制

康宇航，戴洪德，祁亞輝，張邦楚，劉玄冰，程俊

（1.中國科學(xué)院深圳先進技術(shù)研究院，深圳518055； 2.海軍航空大學(xué) 航空基礎(chǔ)學(xué)院，煙臺264001；3.中山大學(xué) 航空航天學(xué)院，廣州510275）

近年來，無人集群系統(tǒng)（Air Unmanned Swarm System，AUSS）的編隊控制由于其在協(xié)同搜索、協(xié)同偵察等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前景而受到國內(nèi)外眾多研發(fā)機構(gòu)的高度關(guān)注［1-4］。AUSS指由多架具有一定自主感知決策控制能力的同構(gòu)或異構(gòu)無人機組成的系統(tǒng)，相比于單架無人機，其性價比更高、生存能力更強［5-8］。一方面，AUSS并不是諸如1+1+… +1=N似的將系統(tǒng)內(nèi)的無人機個體進行簡單的數(shù)量或者性能堆疊，而是將其進行有組織、有規(guī)律的有機整合，無人機個體之間如若能夠優(yōu)勢互補，勢必能夠最大限度地發(fā)揮出系統(tǒng)的整體效能。另一方面，AUSS面臨的環(huán)境態(tài)勢瞬息萬變，其執(zhí)行的任務(wù)也可能因諸如政治、軍事等因素而轉(zhuǎn)瞬改變，單一固定的編隊隊形必然難以完成任務(wù)，未來的集群系統(tǒng)定然需要具備時變編隊控制的能力。因此，研究集群系統(tǒng)的時變編隊控制問題對發(fā)展AUSS執(zhí)行作戰(zhàn)、服務(wù)、援助等任務(wù)將大有裨益［9-12］。

自一致性理論誕生以來，因其易理解、易實現(xiàn)等優(yōu)點而被廣泛運用于AUSS的編隊控制中，至今已取得諸多研究成果。文獻［13］更是將諸如領(lǐng)航-跟隨、虛擬領(lǐng)航跟隨等傳統(tǒng)編隊控制方法歸納到基于一致性理論的編隊控制方法中。文獻［14-15］分別對不存在外部干擾與存在外部干擾條件下無人機集群的時不變編隊控制問題進行了研究。文獻［16］研究了無向通信拓撲下的AUSS的編隊控制問題，現(xiàn)實場景中對于有向通信拓撲研究往往比無向通信的研究更具實用價值。為了使無人集群實現(xiàn)預(yù)先設(shè)計的時變編隊隊形，文獻［17］基于一致性方法提出了一套時變編隊控制器的設(shè)計程序，并通過搭建真實的四旋翼集群平臺驗證該方法的可行性與可靠性。為了探索有向通信拓撲下的仿生機器魚集群系統(tǒng)編隊控制問題的解決方法，文獻［18］基于一致性協(xié)同控制理論設(shè)計了一種分布式的編隊控制協(xié)議并實現(xiàn)了集群系統(tǒng)的編隊控制。由于環(huán)境的復(fù)雜性、多變性與不可預(yù)測性，集群系統(tǒng)內(nèi)的無人機通常存在通信時滯與外部干擾以致無人機無法實現(xiàn)及時有效通信。文獻［19］基于穩(wěn)定性理論及一致性編隊控制方法解決了有向網(wǎng)絡(luò)條件下具有固定通信時滯的集群系統(tǒng)時變編隊控制問題。文獻［20］則基于一致性協(xié)同控制理論提出了一種考慮多約束條件的控制方法用以解決存在時變通信時滯與外部干擾的時變編隊控制問題。

無人集群執(zhí)行任務(wù)的過程中通常會因任務(wù)和外部環(huán)境的需要變換其編隊構(gòu)型。文獻［14-16，18］主要針對時不變的編隊形成問題進行了研究，難以應(yīng)用在需要改變編隊構(gòu)型的實際場景。另外，真實環(huán)境不可能是理想狀態(tài)，通信時滯、外部干擾的存在往往直接影響無人集群的運動性能。文獻［17，19］并沒有考慮外部干擾這一因素，文獻［20］同時考慮了通信時滯與外部干擾，但是由于引入的自由權(quán)矩陣維數(shù)較高以致該算法復(fù)雜度相對過高。

基于上述情況，本文在Lyapunov穩(wěn)定性理論、一致性方法以及矩陣分析法等研究成果的基礎(chǔ)上，針對有向通信拓撲網(wǎng)絡(luò)下具有通信時滯與外部干擾的AUSS時變編隊H∞控制問題開展研究。相比現(xiàn)有文獻研究成果，本文的貢獻主要可歸納為以下3點：①在有向通信拓撲下同時考慮通信時滯與外部干擾的條件，得到了保證無人集群實現(xiàn)時變編隊控制的充分條件；②通過變量替換并構(gòu)造相比于其他參考文獻更低維的線性矩陣不等式（LMI）而降低整個系統(tǒng)的計算復(fù)雜度；③通過引入多個待設(shè)計參數(shù)、Kronecker乘積以及構(gòu)造二重積分的Lyapunov-Krasovskii（L-K）泛函以達到降低系統(tǒng)的保守性。

1 預(yù)備知識

1.1 符號含義

1.2 圖論的基本知識

1.3 相關(guān)引理

引理1［21］圖G的Laplician矩陣L至少有一個與右特征向量1N對應(yīng)的特征值0，除0之外的其余特征值具有正實部。如果有向圖G包含一個有向生成樹，那么0就是Laplician矩陣L的單特征值。

引理2［11］如果矩陣A∈RN×N的所有行和都等于0，即A1N=0，那么一定存在滿足A=BE的矩陣B∈RN×N-1，E∈RN-1×N的定義如下：

1）S＜0。

引理4［23］對于矩陣Z、標量τ2＞τ1＞0，以下積分不等式成立：

式中：τ12=τ2-τ1；ρ（s）為函數(shù)矩陣；t為積分時間。

2 控制器的設(shè)計與分析

2.1 問題描述

考慮由N架具有外部干擾的無人機構(gòu)建的系統(tǒng)，無人機單體的動態(tài)模型如下：

定義1［17］對于任意給定的初始狀態(tài)值xi（0），如果無人集群系統(tǒng)式（1）能夠滿足以下條件：

那么可以說集群系統(tǒng)能夠完成時變編隊控制，r（t）為編隊中心軌跡函數(shù)。

2.2 時變編隊控制器設(shè)計

為了實現(xiàn)AUSS的時變編隊控制，根據(jù)集群系統(tǒng)期望編隊構(gòu)型信息、無人機實時狀態(tài)信息以及能夠通信無人機之間帶通信時滯的狀態(tài)誤差信息設(shè)計如下編隊控制器：

式中：K1∈Rp×n和K2∈Rp×n為 待 設(shè) 計 的 反 饋 矩陣；wi（t）為待設(shè)計的輔助輸入函數(shù)；c為待設(shè)計的耦合強度參數(shù)；τ為無人機之間的通信延遲。

將式（3）代入式（1）可以得到

式中：

令θi（t）=xi（t）-hi（t），i=1，2，…，N，則可以得到

當集群系統(tǒng)中的無人機受到外部干擾時，集群系統(tǒng)通常難以按照預(yù)先給定的編隊飛行，毫無疑問時變編隊進一步提高了控制的難度。基于此，本文旨在設(shè)計一款抗干擾的編隊控制器使得無人機不僅能夠在沒有受到外部干擾時完成時變編隊飛行，即使受到外部干擾時也能夠有效抵抗干擾，且能夠系統(tǒng)性能達到預(yù)先設(shè)定的性能指標。這樣可以定義時變編隊性能變量如下：

式中：C為給定的常數(shù)矩陣。

由式（5）和式（6）可得

式中：

由于矩陣H 的所有行和為0，那么由引理2可知存在滿足H=WE的列滿秩矩陣W，E的定義在引理2中可見。此外由引理1和引理2可知，L的非0特征根與EM 的特征根一致，M =LET（EET）-1。

為了后續(xù)的推導(dǎo)分析，需要將式（7）中的h（t）與˙h（t）項化簡，此時可以通過選擇合適的輔助輸入函數(shù)w（t）將h（t）與˙h（t）消除掉，即需要滿足式（8），參考文獻［24］，根據(jù)編隊中心軌跡選擇極點并求解狀態(tài)反饋矩陣K1。

這樣可以將式（7）化簡為

根據(jù)以上分析，定義系統(tǒng)式（9）的H∞一致性指標如下：

根據(jù)以上分析，可以總結(jié)得到AUSS的時變編隊H∞定義如下：

定義2對于本文設(shè)計的集群時變編隊控制器式（3）以及預(yù)先設(shè)定的擾動衰減參數(shù)γ1＞0，集群系統(tǒng)式（1）需要滿足以下條件：

1）當ωi（t）≡0時，對于任意給定的初始狀態(tài)值xi（0），AUSS能夠?qū)崿F(xiàn)時變編隊控制，即

2）當ωi（t）≠0時，對于任意初始給定條件，時變編隊性能變量z需要滿足：

那么可以說集群系統(tǒng)能夠完成時變編隊H∞控制。

令ξi（t）=θi（t）-θi+1（t），i=1，2，…，N-1，則ξ（t）=（E?In）θ（t），式（10）可以轉(zhuǎn)換為

式中：L=ME。

引理5［26］假設(shè)M =LET（EET）-1，則存在一個對稱正定矩陣Q和常數(shù)α，使得

式中：0＜α ＜2m in Re（λ（EM））。

由ξ（t）以及式（13）可以得出如下結(jié)論：當且僅當θ1（t）=θ2（t）=… =θN（t）時，ξ（t）=0。因此，如果系統(tǒng)漸近穩(wěn)定且滿足條件γω＜γ1，那么AUSS的時變編隊H∞控制問題解決。至此，通過一個變量替換，利用引理2，將AUSS的時變編隊H∞控制問題轉(zhuǎn)化為閉環(huán)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定問題。

2.3 問題分析

如下步驟用于設(shè)計合適的參數(shù)使得AUSS實現(xiàn)時變編隊H∞控制。

步驟1對于給定的某個參數(shù)c＞0，求解下列2個LMIs，得到可行解P＞0，此時為AUSS不存在通信時滯條件下的解，矩陣Q由引理5求得。

步驟2根據(jù)式（15）和式（16）解算出來的P，求解下列2個不等式，得到通信時滯最大值max（τ）。

式中：

式中：

將式（13）代入式（19），并對V1、V2求導(dǎo)，可得

式中：

當τ=0時，

當ω（t）=0時，則

根據(jù)式（15）可得

當ω（t）≠0時，考慮到β=max｛λ（WTW）｝，則

式中：I為單位矩陣。

那么

令δ1（t）=［ξT（t） ωT（t）］T，則

式中：

根據(jù)式（15）與引理3可知

因此

對兩邊積分，并重新整理可得

由已知條件可知

那么

即γω＜γ1。

當τ≠0時，由微積分基本定理和引理4分別

可得

則

當ω（t）=0時，則

當ω（t）≠0時，則

由式（18）可知，Γ2＜0，則

對兩邊積分，并重新整理可得

注1本文在文獻［26-27］的基礎(chǔ)上進一步考慮了通信時滯的影響。文中所提通信協(xié)議在無人機進行信息交互時充分考慮通信時滯，其后在步驟1中并沒有在同時考慮多個待定參數(shù)的情況下直接計算通信時滯，這樣做是為了防止此時考慮通信時滯計算出來的解未必能夠保證AUSS在不存在通信時滯時也能保證系統(tǒng)穩(wěn)定，所以本文設(shè)計的方法首先將不考慮通信時滯條件時求得其他待定參數(shù)，然后再將所求得的待定參數(shù)限定，從而得出此時最大的通信時滯，這樣做既保證了AUSS能夠在不存在通信時滯時實現(xiàn)時變編隊飛行，也能保證存在通信時滯時實現(xiàn)時變編隊飛行，如此便降低了保守性。

注2文獻［2］研究的內(nèi)容與本文相似，都是考慮通信時滯與外部干擾條件下的AUSS時變編隊控制問題，但是其待定參數(shù)太多，構(gòu)建的不等式矩陣維數(shù)相對過高，以致算法復(fù)雜度過高，與之相比，本文設(shè)計的方法待定參數(shù)更少，不等式矩陣維數(shù)更低。

3 仿真驗證

考慮包含4架無人機構(gòu)建的集群系統(tǒng)，其模型參數(shù)與通信拓撲分別如圖1所示。

圖1 通信拓撲Fig.1 Communication topology

式中：xi1、xi2、xi3、xi4分別為第i架無人機的東向位置、東向速度、北向位置、北向速度。

無人集群的初始值如下：

無人集群受到的隨機噪聲干擾與正向外部干擾分別如下：

選定集群系統(tǒng)的時變編隊如下：

由式（8）可得

選定α=1.87，γ1=9.2，c=1.11，求解不等式（14）、式（15）與式（16）可得矩陣Q與P，進一步可得到矩陣K2：

將 求 得 的 矩 陣 Q 與 P 代 入 式（17）與式（18），可得最大通信時滯τ=0.121 s。

圖2 存在通信時滯與隨機噪聲干擾條件下的運動軌跡Fig.2 Trajectories with communication delay and random noise disturbances

圖3 存在通信時滯與隨機噪聲干擾條件下的運動軌跡（對比文獻［24］方法）Fig.3 Trajectories with communication delay and random noise disturbances（compared with Ref.［24］）

圖4 存在通信時滯與正向外部干擾條件下的運動軌跡Fig.4 Trajectories with communication delay and positive external disturbances

圖5 存在通信時滯與正向外部干擾條件下的運動軌跡（對比文獻［24］方法）Fig.5 Trajectories with communication delay and positive external disturbances（compared with Ref.［24］）

圖6 存在通信時滯與正向外部干擾條件下的東向速度變化曲線Fig.6 Eastern velocity change curves with communication delay and positive external disturbances

圖2與圖3分別為本文存在通信時滯0.08 s與隨機噪聲干擾條件下采用本文方法與文獻［24］方法得到的AUSS運動軌跡；圖4與圖5分別為存在通信時滯0.08 s與正向外部干擾條件下采用本文方法與文獻［24］方法得到的AUSS運動軌跡；圖6與圖7分別為存在通信時滯0.08 s與正向外部干擾條件下采用本文方法得到的東向速度與北向速度變化曲線。能夠看出，雖然本文方法與文獻［24］的方法都能夠使得無人集群按照預(yù)先設(shè)定的時變編隊運動，但是采用本文方法得到的運動軌跡的誤差更??；當存在通信時滯（此時通信時滯并沒有超過最大允許通信時滯）與隨機噪聲時，無人集群受到的影響不是很大，而當隨機噪聲換成正向外部干擾時，無人集群在存在正向外部干擾的時間段（8～10 s）內(nèi)將會發(fā)生比較大的波動，其運動軌跡也偏離了正常的運行軌跡，但是當正向外部干擾消失時，無人集群將快速回到正常運行的軌跡；而從無人集群的東向速度、北向速度變化曲線也能清晰地看到集群的速度能夠有效地抑制外部干擾對于無人集群運動的影響，并且在干擾消失后，集群系統(tǒng)能夠迅速回到初始設(shè)定的時變編隊構(gòu)型，繼續(xù)按照時變編隊運動。所以本文方法能夠在具有通信時滯與外部干擾條件下使得無人集群實現(xiàn)時變編隊。

圖7 存在通信時滯與正向外部干擾條件下的北向速度變化曲線Fig.7 Northern velocity change curves with communication delay and positive external disturbances

4 結(jié)束語

本文在二階線性AUSS模型的基礎(chǔ)上設(shè)計了存在通信時滯與外部干擾條件下的編隊H∞控制協(xié)議。首先，通過變量替換將集群編隊控制問題轉(zhuǎn)化為閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題；其次；依據(jù)構(gòu)造的L-K泛函分別分析了不存在外部干擾與存在外部干擾AUSS的穩(wěn)定性，進一步得到了保證集群系統(tǒng)穩(wěn)定最大允許通信時滯的不等式；最后，通過仿真實驗驗證了本文所設(shè)計的方法能夠使得AUSS在具有外部干擾與通信時滯的情況下完成時變編隊飛行。相比于現(xiàn)有文獻，本文降低了集群系統(tǒng)的計算復(fù)雜度，同時能夠得到最大允許通信時滯。

后續(xù)團隊將重點在室外環(huán)境對本文所設(shè)計方法進行試驗驗證，AUSS在室外環(huán)境進行時變編隊飛行的過程中肯定還會出現(xiàn)其他問題，務(wù)必找出并克服這些問題。