初中生解決函數(shù)圖像問(wèn)題的調(diào)查研究

吳三俊

[摘 要]函數(shù)內(nèi)容是初中數(shù)學(xué)知識(shí)體系的重要組成部分，函數(shù)圖像問(wèn)題在中考數(shù)學(xué)試題中占有重要位置.要提高九年級(jí)學(xué)生解決函數(shù)問(wèn)題的能力，需要教師有針對(duì)性地訓(xùn)練. 對(duì)九年級(jí)學(xué)生解決函數(shù)圖像問(wèn)題實(shí)際情況進(jìn)行調(diào)研，是有針對(duì)性地訓(xùn)練的基礎(chǔ).

[關(guān)鍵詞]初中數(shù)學(xué);函數(shù)圖像;問(wèn)題;調(diào)查

[中圖分類號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2021）05-0029-02

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)知識(shí)體系的重要組成部分，函數(shù)圖像問(wèn)題在中考數(shù)學(xué)試題中占有重要位置. 下面筆者在調(diào)查初中生解決函數(shù)圖像問(wèn)題實(shí)際情況的基礎(chǔ)上，對(duì)如何提高學(xué)生解決函數(shù)圖像問(wèn)題的能力進(jìn)行簡(jiǎn)單論述.

一、問(wèn)題研究的背景

1.解決生活問(wèn)題需要

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出：“數(shù)學(xué)是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象.”在信息技術(shù)迅猛發(fā)展的今天，各種各樣的圖像充斥著我們的生活.例如，工廠出勤表和產(chǎn)值利潤(rùn)表、股票和期貨市場(chǎng)走勢(shì)圖、拱橋的拱形拋物線等.在不知不覺(jué)中，無(wú)數(shù)種不同形式函數(shù)圖像滲透在人們生活的每個(gè)角落，有的人們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，但有的人們還沒(méi)有發(fā)現(xiàn)，正期待著人們?nèi)ヌ剿?生活中存在著各種各樣的變量，而函數(shù)是揭示這些變量間本質(zhì)關(guān)系的重要工具，可以運(yùn)用函數(shù)圖像來(lái)解決生活中遇到的實(shí)際問(wèn)題.

2.教學(xué)策略實(shí)施的需要

“思維可視化”教學(xué)策略，是指借助各種可視化技術(shù)把本來(lái)具有個(gè)體性、內(nèi)隱性的思維過(guò)程顯化出來(lái)，使其成為清晰可見(jiàn)的顯性過(guò)程的一種教學(xué)手段或策略.被顯性化的“思維方法和思維過(guò)程”有利于知識(shí)的記憶和理解，在改變信息傳遞的方式中提高信息加工的效能.函數(shù)關(guān)系的表達(dá)形式有三種：解析法、圖像法和列表法.在這三種表達(dá)式中，函數(shù)圖像是最為直觀形象的表達(dá)方法.函數(shù)圖像能夠動(dòng)態(tài)反映函數(shù)的變量之間的相互依存關(guān)系，能較好地反映該函數(shù)的性質(zhì)，是研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具.

3.函數(shù)圖像是函數(shù)的重要組成部分

函數(shù)圖像是函數(shù)的重要組成部分.圖像法作為函數(shù)的一種常見(jiàn)表達(dá)方式，是從“形”角度描述函數(shù)，用圖像法表示函數(shù)關(guān)系，可以從整體上直觀形象地研究函數(shù)的變化情況.函數(shù)圖像的直觀性，易于幫助學(xué)生理解函數(shù)概念和基本性質(zhì).初中數(shù)學(xué)教材研究函數(shù)性質(zhì)都是先從畫(huà)函數(shù)圖像開(kāi)始的，函數(shù)在初中數(shù)學(xué)中特定的地位，函數(shù)圖像內(nèi)容自然成了中考的重點(diǎn).鑒于此，研究函數(shù)圖像很有必要.

二、主要表現(xiàn)及分析

很多優(yōu)秀教師認(rèn)為，初中生對(duì)函數(shù)圖像的認(rèn)識(shí)沒(méi)有對(duì)函數(shù)解析式的認(rèn)識(shí)深入，原因有三個(gè)：①教師過(guò)多地傾向于對(duì)函數(shù)的“數(shù)”的研究和考核，輕視“形”的重要作用;②學(xué)生重視函數(shù)“規(guī)律”的識(shí)記，輕視利用“圖像”的理解.學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)的知識(shí)時(shí)，認(rèn)為只需死記硬背概念、公式與性質(zhì)，就能完成學(xué)習(xí)任務(wù)，沒(méi)有必要花大量的時(shí)間，利用函數(shù)圖像去理解與掌握這些知識(shí);③教師重視函數(shù)“應(yīng)試”方法的傳授，輕視“函數(shù)圖像”的應(yīng)用教學(xué).

對(duì)學(xué)生進(jìn)行問(wèn)題調(diào)查與測(cè)試得到如下結(jié)論：①學(xué)生對(duì)函數(shù)圖像問(wèn)題條件中的關(guān)鍵字、詞、句不能深刻理解，同時(shí)對(duì)其之間關(guān)系不能牢固掌握;②學(xué)生對(duì)函數(shù)圖像所隱含的性質(zhì)內(nèi)容理解不透，運(yùn)用不熟練;③學(xué)生不能深刻“提取”函數(shù)圖像豐富信息隱含內(nèi)容;④學(xué)生分析函數(shù)圖像問(wèn)題中的各個(gè)量之間的變化范圍以及內(nèi)在關(guān)系具有一定困難;⑤學(xué)生綜合運(yùn)用函數(shù)圖像性質(zhì)有困難. 存在上述五個(gè)不足的主要原因：一是函數(shù)圖像性質(zhì)未能深刻理解和掌握;二是解決函數(shù)圖像問(wèn)題的能力（如數(shù)形結(jié)合）較差;三是對(duì)相關(guān)函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度較淺;四是綜合應(yīng)用、概括歸納等數(shù)學(xué)能力水平較弱.

問(wèn)題解決是一個(gè)分步的、多階段的過(guò)程.學(xué)生的已有知識(shí)對(duì)于新的學(xué)習(xí)起著至關(guān)重要的作用.在分析學(xué)生的原有知識(shí)、學(xué)習(xí)任務(wù)時(shí)，應(yīng)特別注意知識(shí)的結(jié)構(gòu)性，關(guān)注問(wèn)題圖式的形成與發(fā)展.在教育情境中討論學(xué)生的問(wèn)題解決能力，不僅需要關(guān)注學(xué)生的思維活動(dòng)，還應(yīng)該關(guān)注學(xué)生在問(wèn)題解決過(guò)程中的具體行動(dòng).

三、提高學(xué)生的解讀函數(shù)圖像能力的建議

良好的識(shí)圖能力是解決函數(shù)圖像問(wèn)題的基礎(chǔ)與先決條件.在調(diào)查問(wèn)卷和測(cè)試試卷中發(fā)現(xiàn)學(xué)生在通過(guò)函數(shù)圖像識(shí)別函數(shù)性質(zhì)和確定解析式方面能力較強(qiáng)，但在解讀與實(shí)際生活相聯(lián)系的函數(shù)圖像方面存在缺陷.學(xué)生主要表現(xiàn)在識(shí)圖順序錯(cuò)亂，無(wú)法將圖像上的特殊點(diǎn)和每段函數(shù)圖像與實(shí)際相聯(lián)系，并將這些特殊點(diǎn)和每段函數(shù)圖像的實(shí)際含義解讀出來(lái).

根據(jù)學(xué)生識(shí)圖容易出錯(cuò)和遺漏的特點(diǎn)，我們?cè)O(shè)計(jì)了讀圖三步驟，并在教學(xué)中不斷修改，發(fā)現(xiàn)效果較好.三步驟具體內(nèi)容：第一步，了解直角坐標(biāo)系中橫軸和縱軸表示兩變量的實(shí)際含義;第二步，將函數(shù)圖像中的特殊點(diǎn)所表示的實(shí)際含義翻譯成文字語(yǔ)言，翻譯時(shí)，只要將橫坐標(biāo)后面加上橫軸表示變量的含義，縱坐標(biāo)后面加上縱軸表示變量的含義，這個(gè)點(diǎn)表示的實(shí)際含義就能被翻譯出來(lái);第三步，分析每段函數(shù)表示的實(shí)際意義.通過(guò)這三個(gè)步驟，學(xué)生基本上能將函數(shù)圖像中蘊(yùn)含的條件全部解讀出來(lái).具體操作方法見(jiàn)例題.

例題： 甲、乙兩地之間有一條筆直的公路，小明從甲地出發(fā)沿公路步行前往乙地，同時(shí)小亮從乙地出發(fā)沿公路騎自行車前往甲地，小亮到達(dá)甲地停留一段時(shí)間，原路原速返回，追上小明后兩人一起步行到乙地.設(shè)小明與甲地的距離為y1米，小亮與甲地的距離為y2米，小明與小亮之間的距離為y3米，小明行走的時(shí)間為x分鐘. y1、y2與x之間的函數(shù)圖像如圖1，y3與x之間的函數(shù)圖像（部分） 如圖2.

（l）求小亮從乙地到甲地過(guò)程中y1（米）與x（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系式;

（2）求小亮從甲地返回到與小明相遇的過(guò)程中y3（米）與x（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系式;

（3）在圖2中，補(bǔ)全整個(gè)過(guò)程中y3（米）與x （分鐘）之間的函數(shù)圖像，并確定a的值.

這是中考數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的函數(shù)圖像信息題，這道題學(xué)生得分率較低，主要是因?yàn)椴粫?huì)識(shí)圖.這里主要介紹運(yùn)用“ 識(shí)圖三步驟”來(lái)識(shí)別圖1.

第一步，了解y1、y2和x的含義.x是表示小亮和小明出發(fā)的時(shí)間，y1、y2是表示小明和小亮到甲地的距離，y3表示小明與小亮之間的距離.

第二步，理解特殊點(diǎn)的含義.小明：（0，0）是表示小明出發(fā)0分鐘時(shí)，離甲地0米，（40，2000）是表示小明出發(fā)40分鐘時(shí)，離甲地2000米.小亮：（0，2000） 是表示小亮出發(fā)0分鐘時(shí)，離甲地2000米，（10，0）是表示小亮出發(fā)10分鐘時(shí)，離甲地0米.

第三步，整體了解每段函數(shù)的含義.小明：圖像是一條線段，說(shuō)明小明在勻速運(yùn)動(dòng)，勻速運(yùn)動(dòng)的速度是 2000÷40 = 50米/分鐘.小亮：第一段函數(shù)圖像是線段，說(shuō)明小亮在勻速運(yùn)動(dòng)，勻速運(yùn)動(dòng)的速度是2000÷10 = 200米/分鐘;第二段函數(shù)圖像是水平線段，說(shuō)明小明沒(méi)有運(yùn)動(dòng);第三段函數(shù)圖像是線段，說(shuō)明小明在按原速運(yùn)動(dòng);第四段函數(shù)圖像是線段，表示小亮和小明同速度一同勻速行駛.

通過(guò)上面的三步驟讀圖，可以將圖像中的條件都提取出來(lái)，接下來(lái)是運(yùn)用這些信息和結(jié)合圖像解題.

對(duì)于函數(shù)圖像信息題，如果學(xué)生會(huì)讀圖，能夠?qū)D像中的信息讀出來(lái)，并充分運(yùn)用這些信息，就基本可以解決問(wèn)題了.比如上面的例題，我們調(diào)查發(fā)現(xiàn)會(huì)讀圖的學(xué)生中，第一小問(wèn)幾乎全對(duì)，第二小問(wèn)雖然很難，也有一部分的學(xué)生做出來(lái).因?yàn)闀?huì)讀圖的學(xué)生能夠?qū)D中的信息提取出來(lái)，運(yùn)用這些信息求解就不會(huì)太難.

教給學(xué)生一套行之有效的識(shí)圖方法，多加練習(xí)，能很快地提高學(xué)生的識(shí)圖能力.實(shí)踐證明，發(fā)現(xiàn)“識(shí)圖三步驟”在解決函數(shù)圖像信息題時(shí)效果很好.

生活的豐富多彩，是我們學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)的源泉.函數(shù)知識(shí)的取得也是從生活中來(lái)的.原本函數(shù)知識(shí)因生活的需要而產(chǎn)生，又因?qū)W習(xí)而加深了對(duì)函數(shù)圖像的認(rèn)識(shí).函數(shù)圖像問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)問(wèn)題教學(xué)的重點(diǎn)，也是教師貫徹落實(shí)新課改要求的有效載體.教師應(yīng)根據(jù)年級(jí)階段特殊實(shí)際，注重函數(shù)圖像知識(shí)的系統(tǒng)講解，強(qiáng)化函數(shù)圖像問(wèn)題的專題訓(xùn)練，傳授有效解決方法，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

[? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?]

[1]? 杜國(guó)平.圖形推理及其社會(huì)文化功能[J].徐州師范大學(xué)學(xué)報(bào)（哲學(xué)社會(huì)科學(xué)版），2011（1）：123-126.

[2]? 吳涌泉.淺談運(yùn)用反比例函數(shù)圖像解決實(shí)際問(wèn)題[J]. 課外閱讀（中學(xué)版），2010（6）：112-114.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）