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    巧妙構(gòu)造圖形證明常見公式

    2021-03-24 11:35:36李富國
    關(guān)鍵詞:構(gòu)造證明公式

    李富國

    [摘 要]有些公式的證明比較簡單,有些公式的證明有難度.如果換個方法,構(gòu)造數(shù)學(xué)圖形來證明,可以化繁為簡.學(xué)習(xí)這種證明方法,可以開闊學(xué)生的視野.

    [關(guān)鍵詞]公式;構(gòu)造;圖形;證明

    [中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058(2021)05-0003-02

    從小學(xué)到中學(xué),我們學(xué)過各種數(shù)學(xué)公式,有些公式記憶和推導(dǎo)起來比較容易,比如等差數(shù)列的通項公式,而有些公式的記憶和推導(dǎo)卻比較困難,比如點到直線的距離公式.如果我們采用數(shù)形結(jié)合的方法,就可以比較直觀地證明一些常見的數(shù)學(xué)公式.

    先看一道小學(xué)競賽題:

    某日師父對他的徒弟說:我在你現(xiàn)在的這個年齡時,你只有2歲,等你到我的這個年齡時,我就41歲了,求師父與徒弟現(xiàn)在各多少歲.

    這個問題可以利用一元一次方程來解,或者利用二元一次方程組來解,也可以不使用任何未知數(shù),直接使用算術(shù)的方法來解,但是都沒有下列圖解法來得簡單、巧妙.

    如圖1,AB是一條線段,C、D是徒弟與師父現(xiàn)在的年齡的位置,當(dāng)師父移到C時,徒弟移到A(2歲);當(dāng)徒弟移至D時,師父移至B(41歲).可見,C、D是AB的三等分點,三段距離均為13.因此,師父現(xiàn)在為41-13=28歲,徒弟現(xiàn)在的年齡是2+13=15歲.

    這真是妙解?。 皥D解”的方便在于能直觀、快速地看出問題的突破點所在,從而巧妙地解決問題.下面筆者利用圖解法來證明常見公式.

    一、證明均值不等式

    兩正數(shù)的算術(shù)平均值大于或等于其幾何平均值,且取“=”的充要條件是兩數(shù)相等.

    從以上常見公式的證明可以看出,通過構(gòu)造合理的圖形能夠把一些較復(fù)雜的公式化繁為簡,起到事半功倍的效果.

    (責(zé)任編輯 黃桂堅)

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