基于相場模型的一維拉桿脆性斷裂分析

袁集海 陳昌萍

摘? ?要：基于相場模型分析了受拉結(jié)構(gòu)脆性斷裂破壞，介紹了裂縫分布函數(shù)和能量耗散函數(shù)的構(gòu)造，根據(jù)能量守恒定律推導(dǎo)了相場損傷模型控制方程，并采用交錯(cuò)數(shù)值計(jì)算方法對(duì)方程進(jìn)行求解.通過對(duì)比一維無缺陷受拉桿數(shù)值解和解析解論證了數(shù)值解的正確性.隨后模擬了含幾何缺陷受拉結(jié)構(gòu)和含損傷受拉結(jié)構(gòu)斷裂破壞，數(shù)值結(jié)果表明有限元數(shù)值模擬相場分析方法能夠較準(zhǔn)確地模擬破壞區(qū)應(yīng)變局部化行為和脆性斷裂.

關(guān)鍵詞：一維拉桿;相場模型;脆性斷裂;數(shù)值模擬

Abstract：Based on phase-field model，brittle fracture of the structures under tension is studied numerically. An introduction for construction of crack distribution function and energy dissipation function is presented. The governing equations for the phase field model are derived according to the conservation of energy and further solved by alternating minimization （staggered） algorithm. Good agreements between analytical solutions and numerical solutions of one-dimensional bar under tension validate the accuracy of analytical solutions. Numerical simulations of structures with geometric imperfection and predefined damage under tension are also presented. The numerical results show that deformation localization and brittle fracture in failure areas can be modeled accurately.

Key words：one-dimensional pull rod;phase-field model;brittle fracture;numerical simulation

上世紀(jì)末，F(xiàn)rancfort和Marigo[1]基于能量最小化原理，提出了解決固體結(jié)構(gòu)斷裂損傷的變分方法. 該方法認(rèn)為裂紋的出現(xiàn)和演化使總勢(shì)能最小，其實(shí)質(zhì)是從能量變分的角度對(duì)Griffith[2]脆性斷裂理論的發(fā)展和推廣，然而在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)框架下求解過程中仍然存在位移不連續(xù)帶來的求解困難，該工作為二階相場模型的建立奠定了理論基礎(chǔ). Bourdin[3]等在斷裂變分方法的基礎(chǔ)上，通過引入在0到1之間連續(xù)變化的相場變量來表征裂縫的起裂和延伸，同時(shí)引入裂縫寬度參數(shù)l來控制裂縫的彌散程度.隨后，Miehe[4]等建立了與熱力學(xué)自洽的二階相場損傷模型.二階相場模型的完善迅速吸引了一大批國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注，為后續(xù)相場損傷模型的發(fā)展做出了重要的貢獻(xiàn). Borden[5]等提出了四階相場損傷模型并采用等幾何法對(duì)耦合方程進(jìn)行求解，另外，還研究了動(dòng)態(tài)脆性斷裂[6]和塑性材料[7]斷裂問題. 鄧俊俊[8]采用無網(wǎng)格相場模型研究了復(fù)雜邊坡破壞問題. 張飛[9]基于自適應(yīng)移動(dòng)網(wǎng)格方法優(yōu)化了相場模型并模擬了水力裂縫延伸過程. 付禹銘[10]針對(duì)各向異性損傷相場模型提出了新的投影算子算法. 仇杰峰[11]和莊洛嘉[12]采用相場損傷模型研究了混凝土破壞問題.

相場損傷模型采用連續(xù)方法來描述不連續(xù)問題，與傳統(tǒng)求解斷裂問題方法相比具有一定的優(yōu)勢(shì)[13-14]. 本文以受拉結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象，采用相場損傷模型數(shù)值模擬了無缺陷桿、含幾何缺陷桿以及含損傷桿應(yīng)變局部化行為和脆性斷裂行為.

1? ?相場損傷模型

2? ?結(jié)果與討論

考慮如圖2所示一維受拉桿，其長度L = 100 mm，截面面積A = 4 mm × 4 mm，左端固定，右端施加位移荷載u（L），不計(jì)體力. 若無特別說明，彈性模量E = 210 GPa;泊松比υ = 0.3;正則化參數(shù)l = 0.2 mm;斷裂能釋放率Gc = 2.7 × 10-3 kN/mm.本節(jié)通過三個(gè)數(shù)值算例分析一維受拉桿結(jié)構(gòu)脆性破壞.

2.1? ?無缺陷受拉桿

對(duì)于如圖2所示無缺陷受拉桿，由于應(yīng)變和相場均勻分布，故可忽略控制方程中相場變量梯度項(xiàng)，即可得到解析解.圖3給出了荷載位移曲線有限元解和解析解，其中，虛線為解析解，實(shí)線為有限元解. 對(duì)于有限元解，當(dāng)位移荷載超過臨界荷載后，曲線垂直下降到0，這是因?yàn)闂U發(fā)生了脆性斷裂，開裂后，內(nèi)力立即減小為0. 而對(duì)于解析解，曲線上升階段與有限元解保持一致. 另外，值得指出的是解析解曲線只有上升階段才有意義，脆性斷裂無軟化階段.

2.2? ?含幾何缺陷受拉桿

本節(jié)第二個(gè)數(shù)值算例為含缺陷受拉桿，其長度為L = 10 mm，截面面積為A = 1 mm × 1 mm;中間部分為弱化區(qū)，長度為l0 = 1 mm，截面積為A′ = 0.9A，如圖4所示. 由解析解可以得到臨界位移荷載uc = 0.032 7 mm;加載過程荷載步長Δu = uc /2 000.

圖5給出了含缺陷桿（實(shí)線）和無缺陷桿（虛線）荷載位移曲線，從圖中可以看出曲線上升階段二者保持一致，下降階段無缺陷桿最大內(nèi)力和臨界位移荷載均大于含缺陷桿最大內(nèi)力和臨界位移荷載. 圖6給出了不同荷載步n相場、應(yīng)變和位移分布，其對(duì)應(yīng)荷載位移點(diǎn)如圖5所示. 當(dāng)位移荷載較?。╪ = 500）時(shí)，相場和應(yīng)變均勻分布，位移線性分布;當(dāng)位移荷載接近臨界位移荷載時(shí)，相場和應(yīng)變開始局部化，

其分布集中在弱化區(qū)，且在該區(qū)位移不再線性分布.當(dāng)位移荷載超過臨界荷載（n = 1 889）時(shí)，在桿中點(diǎn)處發(fā)生斷裂（相場在該點(diǎn)達(dá)到1，應(yīng)變趨于無窮大，位移均勻分布：左側(cè)位移為0，右側(cè)位移為所施加位移荷載）.

2.3? ?損傷受拉桿

類似損傷力學(xué)中損傷變量的概念，可以將相場變量視作量化結(jié)構(gòu)損傷指標(biāo).本節(jié)最后一個(gè)算例在桿中點(diǎn)預(yù)設(shè)相場變量，如圖7所示. 其他材料參數(shù)和幾何參數(shù)同算例2，荷載步Δu = uc /4 000.

圖8給出了損傷受拉桿荷載位移曲線，由于桿在中點(diǎn)處發(fā)生了嚴(yán)重的損傷，損傷桿臨界位移荷載和最大內(nèi)力明顯遠(yuǎn)小于無損傷桿臨界位移荷載和最大內(nèi)力. 圖9給出了不同荷載步n相場、應(yīng)變和位移分布，其對(duì)應(yīng)荷載位移點(diǎn)如圖8所示. 與含幾何缺陷桿不同的是，位移荷載較小時(shí)，預(yù)設(shè)損傷變量會(huì)導(dǎo)致桿結(jié)構(gòu)發(fā)生局部化現(xiàn)象，如圖9所示.

3? ?結(jié)? ?論

基于相場模型，本文采用有限元數(shù)值方法通過三個(gè)數(shù)值算例分析了一維受拉桿在位移荷載下脆性斷裂破壞.算例一模擬了無缺陷桿受拉斷裂破壞，并將數(shù)值解與解析解對(duì)比，論證了數(shù)值解的正確性.算例二和算例三分別分析了含幾何缺陷桿和損傷桿受拉破壞.計(jì)算結(jié)果表明有限元相場分析方法能夠較準(zhǔn)確地模擬破壞區(qū)應(yīng)變局部化行為和破壞演化過程.

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