∞點(diǎn)的性質(zhì)在復(fù)積分計(jì)算中的應(yīng)用研究

楊勇 劉思含 黃玲艷 楊學(xué)鳳 趙艷輝

摘要：本文根據(jù)留數(shù)定理和相關(guān)結(jié)論，主要討論以下沿閉曲線的積分問題：當(dāng)閉曲線圍成的區(qū)域內(nèi)被積函數(shù)的孤立奇點(diǎn)個(gè)數(shù)較多或者極點(diǎn)的階數(shù)較高時(shí)，通過無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)簡化計(jì)算。并簡化了文獻(xiàn)[5]—[6]中的相應(yīng)結(jié)論，使其更方便于理解和應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：復(fù)積分;無窮遠(yuǎn)點(diǎn);孤立奇點(diǎn);留數(shù)定理

解析函數(shù)是《復(fù)變函數(shù)論》研究的中心問題，而與函數(shù)解析相對立的概念是函數(shù)的奇點(diǎn)，其中的孤立奇點(diǎn)是解析函數(shù)的奇點(diǎn)中最簡單也最重要的一種類型，在孤立奇點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)，以解析函數(shù)的洛朗展式為工具可以很好地研究該解析函數(shù)的性質(zhì)。由于函數(shù)f（z）在點(diǎn)∞總是無意義的，所以點(diǎn)∞總是f（z）的奇點(diǎn)。若點(diǎn)∞是f（z）的孤立奇點(diǎn)，則通過其在去心鄰域內(nèi)的洛朗展式可以討論函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處的性質(zhì)，其中一個(gè)重要的結(jié)論是函數(shù)f（z）在點(diǎn)∞的留數(shù)是其洛朗展式中負(fù)一次冪的系數(shù)的相反數(shù)。根據(jù)留數(shù)定義可以把沿閉曲線的曲線積分問題轉(zhuǎn)化為求孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)問題。

關(guān)于留數(shù)的計(jì)算，一般的《復(fù)變函數(shù)論》教材都有詳細(xì)的討論。在文獻(xiàn)[1]—[3]中對一些特殊函數(shù)的留數(shù)問題進(jìn)行了討論，得到了相應(yīng)的計(jì)算方法;在文獻(xiàn)[4]中介紹了沿閉曲線的積分可用柯西積分公式、高階導(dǎo)數(shù)公式、留數(shù)定理等方法計(jì)算;而在文獻(xiàn)[5]—[6]則討論了含點(diǎn)∞的區(qū)域的柯西積分公式和留數(shù)定理。

本文根據(jù)留數(shù)定理和相關(guān)結(jié)論，主要討論以下沿閉曲線的積分問題：當(dāng)閉曲線圍成的區(qū)域內(nèi)被積函數(shù)的孤立奇點(diǎn)個(gè)數(shù)較多或者極點(diǎn)的階數(shù)較高時(shí)，通過無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)簡化計(jì)算。并簡化了文獻(xiàn)[5]-[6]中的相應(yīng)結(jié)論，使其更方便于理解和應(yīng)用。

1 有關(guān)引理和定義

4 結(jié)論

根據(jù)復(fù)合閉路定理，定理1-3的區(qū)域D和邊界C可以有更一般的形式：即區(qū)域D是擴(kuò)充復(fù)平面上含點(diǎn)∞的區(qū)域，其邊界C由有限條互不包含且互不相交的周線C1，C2，…，Cn組成，即C=C1+C2+…+Cn，結(jié)論也成立。

∞處的函數(shù)性質(zhì)能夠?qū)?fù)雜的復(fù)積分計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為求某個(gè)函數(shù)值的問題，從而大大精簡了運(yùn)算的過程和減輕了計(jì)算積分的難度。

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