魯棒多目標(biāo)規(guī)劃近似擬弱有效解的最優(yōu)性條件和鞍點(diǎn)定理

張亞萌,余國(guó)林

(北方民族大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所,銀川 750021)

多目標(biāo)規(guī)劃問題在經(jīng)濟(jì)、金融、工程設(shè)計(jì)、生態(tài)保護(hù)、醫(yī)療衛(wèi)生和交通運(yùn)輸?shù)阮I(lǐng)域應(yīng)用廣泛. 在實(shí)際問題中,由于受各種因素的影響,優(yōu)化模型的目標(biāo)和約束函數(shù)中通常含有不確定性數(shù)據(jù),因此研究不確定優(yōu)化問題有一定的理論意義. 魯棒優(yōu)化法[1]是處理不確定優(yōu)化問題的有效方法之一,該方法致力于保證最壞的解不受不確定性數(shù)據(jù)的干擾. 由于多目標(biāo)規(guī)劃問題的(弱)有效解在非緊的情況下通常不存在,但近似解在很弱的條件下都可能存在,此外,在實(shí)際應(yīng)用中利用數(shù)值算法所得的解多是近似解,因此,研究多目標(biāo)規(guī)劃問題的近似解有一定的價(jià)值. 本文利用魯棒優(yōu)化法討論一類不確定多目標(biāo)規(guī)劃(uncertain multi-objective programming,UMP)問題近似解的最優(yōu)性理論.

函數(shù)的凸性及其推廣在數(shù)學(xué)規(guī)劃中,尤其在建立優(yōu)化問題最優(yōu)性充分條件中具有重要作用. 文獻(xiàn)[2]針對(duì)一類不確定多目標(biāo)規(guī)劃問題的目標(biāo)和約束函數(shù)(f,g),引入了兩類廣義凸性的概念. 本文基于Clarke次微分對(duì)文獻(xiàn)[2]中的廣義凸性進(jìn)行推廣,并引入兩類新的(f,g)廣義凸函數(shù)的定義：(f,g)-Ⅰ型函數(shù)和(f,g)(嚴(yán)格)-偽擬Ⅰ型函數(shù).

最優(yōu)性條件和鞍點(diǎn)定理是多目標(biāo)規(guī)劃理論研究的兩個(gè)重要內(nèi)容. 文獻(xiàn)[3-4]利用擇一定理研究了魯棒弱有效解的標(biāo)量化定理和最優(yōu)性條件; Lee等[5]在一種閉凸錐約束品性條件下,討論了魯棒擬近似有效解的最優(yōu)性條件; 文獻(xiàn)[6]綜合Clarke次微分、Michel-Penot次微分、Dini次微分和Mordukhovich次微分,引入了一種非光滑次微分約束品性,并在其假設(shè)下研究了魯棒擬近似弱有效解的最優(yōu)性條件和鞍點(diǎn)定理. 由于近似解是擬近似解的一種特殊形式,因此,在更弱的廣義凸性下,研究多目標(biāo)規(guī)劃問題的魯棒擬近似解的最優(yōu)性條件和鞍點(diǎn)定理有一定的理論意義. 本文基于Clarke次微分,在(f,g)-偽擬Ⅰ型函數(shù)條件下,建立問題(UMP)魯棒擬近似解的最優(yōu)性充分條件和鞍點(diǎn)定理.

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)A?n為一非空子集. 集合A的極錐[6]定義為

A°={x*∈n:〈x*,x〉≤0,?x∈A}.

若對(duì)任意x,y∈n,λ∈[0,1],有

φ(λx+(1-λ)y)≤λφ(x)+(1-λ)φ(y),

則稱φ:n→為凸函數(shù). 若-φ是凸函數(shù),則稱φ是凹函數(shù). 對(duì)任意的x∈n,若

則稱φ是上半連續(xù)函數(shù).

如果存在常數(shù)L>0和r>0,滿足

|φ(y)-φ(z)|≤L‖y-z‖, ?y,z∈ B(x,r),

則稱函數(shù)φ:n→在x∈n處為局部Lipschitz的,其中‖·‖表示n中的范數(shù). 如果對(duì)任意的x∈n,函數(shù)φ在x處均為局部Lipschitz的,則稱φ為局部Lipschitz函數(shù). 設(shè)d∈n,φ在n處沿方向d的方向?qū)?shù)[7]定義為

令f=(f1,f2,…,fp)T:n→p,在n上是局部Lipschitz的,則f在x∈n的廣義次微分為

?f(x)∶={(ξ1,…,ξp)T:ξi∈?fi(x),i=1,2,…,p},

其中 ?fi(x)為fi(i=1,2,…,p)在x∈n處的Clarke廣義次微分.

引理1[7-8]令A(yù)∈n為非空子集,設(shè)函數(shù)φ:n→在處是局部Lipschitz的,且是φ在A的最小值點(diǎn),則有

本文總假設(shè)Vj是nj(j=1,2,…,q)中的非空凸緊集,且滿足令f=(f1,…,fp)T:n→p,g=(g1,…,gq)T:n×m→q是向量值函數(shù),其中fi:n→,gj:n×nj→.

考慮如下不確定多目標(biāo)規(guī)劃問題(UMP):

其中:C?n為一非空子集;v=(v1,…,vq)T∈m為不確定參數(shù),且vj∈Vj,j=1,2,…,q. 記注意到Vj(j=1,2,…,q)為非空凸緊集,所以V也是m中的非空凸緊集.

本文用魯棒優(yōu)化法研究問題(UMP)的最優(yōu)性理論,先考慮問題(UMP)的魯棒對(duì)應(yīng)問題(RUMP)[8]：

魯棒對(duì)應(yīng)問題(RUMP)稱為魯棒不確定多目標(biāo)規(guī)劃問題,問題(RUMP)的魯棒可行集記為

F∶={x∈C,g(x,v)0,?v∈V }.

下面針對(duì)問題(UMP)的目標(biāo)和約束函數(shù)(f,g),引入兩類廣義凸性的概念,并給出相應(yīng)的實(shí)例證明其存在性.

定義2假設(shè)f:n→p,g:n×V →q均為局部Lipschitz的,稱函數(shù)對(duì)(f,g)在處為Ⅰ型函數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的存在使得

(1)

例1令f:→2,且定義f(x)=(f1(x),f2(x))T,這里

g:×V →定義如下:

g(x,v)=vx2,x∈,

其中V =[0,1]，C=. 令因此有N(0;C)={0},N(0;C)°=. 易知于是對(duì)任意的其中存在d=|x|∈N(0;C)°,使得當(dāng)x≥0時(shí),有

當(dāng)x<0時(shí),有

并且總有

(2)

若式(2)右半部分嚴(yán)格不等號(hào)成立,即

例2假設(shè)f:→2,且定義f(x)=(f1(x),f2(x))T,這里

g:×V →,定義如下：

g(x,v)=-vx2,x∈,

其中V=[0,1],C=. 令因此有N(0;C)={0},N(0;C)°=. 易知令于是對(duì)任意的其中存在d=|x|∈N(0;C)°,使得

當(dāng)x≥0時(shí),有

當(dāng)x<0時(shí),有

并且有

2 魯棒最優(yōu)性充分條件

(3)

(4)

即

〈λTξ+μTγ+λTεy*,d〉≥0.

(5)

2) 類似1)的證明可得結(jié)論.

3 近似弱鞍點(diǎn)定理

首先,利用問題(RUMP)的Lagrange函數(shù)給出ε-弱鞍點(diǎn)的概念; 其次,在函數(shù)對(duì)(f,g)為Ⅰ型凸性的假設(shè)下,建立問題(RUMP)關(guān)于ε-弱有效解的鞍點(diǎn)定理.

L(λ,x,v,μ)=λTf(x)+μTg(x,v).

定義4令v=(v1,…,vq)T∈V,如果有

(6)

(7)

注2若在定義4中,取ε=(ε1,…,εp)T=(0,…,0),則退化為文獻(xiàn)[9]中的魯棒弱鞍點(diǎn)概念.

(8)

從而有

即

故式(6)成立.

因此由式(8)可得

從而有

(9)

即

故結(jié)論成立.

從而