黏彈性地基上變截面Timoshenko梁穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)分析

熊海超，葛仁余，張佳宸，夏 雨，盧港偉

(安徽工程大學(xué) 建筑工程學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

振動(dòng)通常由兩部分組成，一是按結(jié)構(gòu)自振頻率振動(dòng)，二是按荷載頻率振動(dòng)。由于在實(shí)際振動(dòng)過(guò)程中存在著阻尼力，故按自振頻率振動(dòng)的部分將逐漸消失，只剩下按荷載頻率振動(dòng)的部分。一般兩種振動(dòng)同時(shí)存在的階段為“過(guò)渡階段”，后來(lái)只按荷載頻率振動(dòng)的階段為“平穩(wěn)階段”，而實(shí)際問(wèn)題中“平穩(wěn)階段”的振動(dòng)較為重要。

Hasheminejad等基于線彈性理論研究了簡(jiǎn)支梁在移動(dòng)荷載作用下的瞬態(tài)彈性動(dòng)力響應(yīng)的半解析解；Fan等提出了基于復(fù)正態(tài)模態(tài)分析的粘彈性邊界支座梁受迫振動(dòng)的分析方法，分析了粘彈性支座對(duì)梁受迫振動(dòng)響應(yīng)的影響；Wielentejczyk等研究了簡(jiǎn)諧荷載作用下粘彈性梁的幾何非線性穩(wěn)態(tài)振動(dòng)問(wèn)題以及其穩(wěn)態(tài)解的穩(wěn)定性；Simsek等研究了功能梯度簡(jiǎn)支梁在集中移動(dòng)諧波荷載作用下的自由振動(dòng)和強(qiáng)迫振動(dòng)，分析了梁的材料分布、移動(dòng)諧波荷載速度和激勵(lì)頻率對(duì)梁動(dòng)力響應(yīng)的影響；Khalili等運(yùn)用瑞利-里茲(Rayleigh-Ritz)法和微分求積(DQM)法研究了功能梯度梁在移動(dòng)荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)，以及材料特性和運(yùn)動(dòng)荷載慣量對(duì)動(dòng)力響應(yīng)的影響；Yang等運(yùn)用無(wú)網(wǎng)格邊界積分方程法研究了功能梯度梁在諧波荷載和瞬態(tài)荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)問(wèn)題；Han等運(yùn)用格林函數(shù)單元法研究了具有阻尼效應(yīng)的簡(jiǎn)諧荷載作用下軸向功能梯度非均勻梁穩(wěn)態(tài)動(dòng)力響應(yīng)的解析解，分析了解的阻尼效應(yīng)和對(duì)稱(chēng)性質(zhì)。

在工程實(shí)際中，當(dāng)遇到受彎構(gòu)件承受諧振荷載的情況，這時(shí)一般總是將結(jié)構(gòu)及其構(gòu)件的設(shè)計(jì)避開(kāi)共振區(qū)。當(dāng)避開(kāi)共振區(qū)時(shí)，在穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)過(guò)程中即簡(jiǎn)諧振動(dòng)進(jìn)入”平穩(wěn)階段”，所有的荷載、變形、內(nèi)力、支反力和慣性力均按同一簡(jiǎn)諧規(guī)律變化，即同時(shí)達(dá)到各自的最大值。此時(shí)，受彎構(gòu)件的穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)的位移和內(nèi)力幅值可以直接得出，而不必將振型分解，這樣的計(jì)算偏于安全，并大大簡(jiǎn)化了問(wèn)題的求解。Sun采用積分變換法研究了彈性地基梁在簡(jiǎn)諧線荷載作用下的閉合撓度響應(yīng)，得到其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的顯示表達(dá)式，給出了不同載荷頻率和速度組合時(shí)的閉合撓度；Luo等研究了彈性支承的Timoshenko梁在簡(jiǎn)諧線荷載作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，給出了其相應(yīng)的閉合解；Kargarnovin等研究了非線性黏彈性地基支承的無(wú)限長(zhǎng)梁在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)荷載作用下的響應(yīng)，參數(shù)化分析了加載速度和激勵(lì)頻率對(duì)梁響應(yīng)的影響；Seong等研究了彈性地基上受簡(jiǎn)諧荷載作用的剪力梁柱的振動(dòng)和屈曲，分析了梁的剪切變形和軸向壓縮對(duì)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響，給出了預(yù)測(cè)臨界速度、臨界頻率和軸向屈曲力的表達(dá)式。

文章運(yùn)用微分求積法研究了有限長(zhǎng)變截面Timoshenko梁上作用簡(jiǎn)諧線動(dòng)荷載的梁橫向穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)響應(yīng)問(wèn)題?；赥imoshenko梁理論建立了變截面梁橫向穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)控制方程組，將變截面梁橫向穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)響應(yīng)的計(jì)算轉(zhuǎn)化為一組含有復(fù)變系數(shù)線性常微分方程組的兩點(diǎn)邊值問(wèn)題，運(yùn)用微分求積法求解，可獲得梁橫向穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)的位移與內(nèi)力幅值，同時(shí)可以獲得相應(yīng)梁的時(shí)程曲線。針對(duì)地基梁復(fù)變系數(shù)微分方程所得的復(fù)數(shù)解，能夠很好地反映地基阻尼對(duì)梁橫向穩(wěn)態(tài)振動(dòng)時(shí)梁位移與內(nèi)力的衰減，且文中方法對(duì)梁截面的幾何輪廓形狀無(wú)需任何限制條件，便于工程應(yīng)用。

1 Timoshenko梁基本理論

黏彈性地基變截面Timoshenko梁的力學(xué)模型如圖1所示。為研究(黏)彈性地基梁的橫向穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)，建立(黏)彈性地基上一長(zhǎng)度為

l

的彈性變截面Timoshenko梁模型，其截面面積沿軸向任意連續(xù)變化，

x

是從梁的左端起點(diǎn)沿軸線方向的坐標(biāo)。梁橫向穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)時(shí)，假設(shè)梁僅在

x

-

w

平面內(nèi)變形，且梁的截面位移屬于小變形范疇，忽略梁軸向變形的影響。設(shè)任意

x

處截面中性軸上的位移，撓度為

w

(

x

,

t

)，截面轉(zhuǎn)角為

φ

(

x

,

t

)；材料的彈性模量為

E

、質(zhì)量密度為

ρ

、剪切模量為

G

、泊松比為

ν

、梁截面的剪切修正系數(shù)為

κ

，均為常量；梁截面面積為

A

(

x

)，截面轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

I

(

x

)，均為關(guān)于

x

的函數(shù)，設(shè)

A

(

x

)=

A

h

(

x

)，

I

(

x

)=

I

h

(

x

)，其中

h

(

x

)、

h

(

x

)為關(guān)于

x

的連續(xù)可微函數(shù)，

A

、

I

分別對(duì)應(yīng)于左端邊界

x

=0位置處梁截面面積與截面慣性矩。由圖1可知，

M

(

x

,

t

)、

V

(

x

,

t

)、

P

分別為

x

處梁橫截面上的彎矩、豎向力與水平向恒定力，

P

>0表示

P

為軸向壓力，

P

<0表示

P

為軸向拉力；

φ

、

γ

、

α

分別表示梁微元橫截面轉(zhuǎn)角(由純彎矩引起的中性軸的轉(zhuǎn)角)、由純剪力引起的中性軸的剪切角、由彎矩和剪力共同作用引起的中性軸的實(shí)際轉(zhuǎn)角，均為關(guān)于

x

、

t

的函數(shù)；

f

(

x

,

t

)表示由橫向振動(dòng)引起的單位長(zhǎng)度梁上的橫向慣性力，

m

(

x

,

t

)表示由橫向振動(dòng)引起的單位長(zhǎng)度梁上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣性力矩，均為關(guān)于

x

、

t

的函數(shù)；

q

(

x

,

t

)=

F

(

x

)

e

為梁承受的諧振線荷載，其中

F

(

x

)為激振力幅值，

ω

為激振荷載頻率；

kw

、

cw

、

gw

分別表示黏彈性地基的彈性系數(shù)、阻尼系數(shù)與剪切系數(shù)。

圖1 黏彈性地基變截面Timoshenko梁的力學(xué)模型

由圖1b可知，Timoshenko梁微元段變形存在幾何關(guān)系：

(1)

Q

(

x

,

t

)為梁在

x

位置處橫截面上的剪力，梁微元變形后，橫截面上的豎向力

V

(

x

,

t

)與剪力

Q

(

x

,

t

)及水平力

P

存在以下關(guān)系：

(2)

圖1a中，

P

(

x

,

t

)表示三參數(shù)Pasternak黏彈性地基對(duì)單位長(zhǎng)度梁段的地基反力，其方程可表示為：

(3)

由圖1a、圖1b、圖1c可知，根據(jù)梁微元變形的平衡條件，結(jié)合式(1)、式(2)、式(3)得到Timoshenko梁穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)控制微分方程組如下：

(4)

考慮梁橫向穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)時(shí)，所有荷載、變形、內(nèi)力、支反力和慣性力等均按荷載激勵(lì)頻率振動(dòng)的規(guī)律變化，并同時(shí)達(dá)到各自的最大值。可設(shè)：

w

(

x

,

t

)=

W

(

x

)

e

,

φ

(

x

,

t

)=

Φ

(

x

)

e

,

q

(

x

,

t

)=

Q

e

,

(5)

將式(5)代入式(4)，并引入下列無(wú)量綱參數(shù)，得到梁穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)控制方程組的無(wú)量綱形式如式(6)所示。

(6)

式中，

r

是影響梁橫截面轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的無(wú)量綱回轉(zhuǎn)半徑，當(dāng)左端截面一定時(shí)，其值可反映梁長(zhǎng)細(xì)比的大??；

s

是反映梁剪切變形的無(wú)量綱參數(shù)；

Ω

是外部激勵(lì)荷載的無(wú)量綱角頻率。

為方便方法的描述，引入下列系數(shù)參量代入式(6)，得到式(7)。

(7)

將區(qū)間

ξ

∈[0,1]離散為

n

段，0=

ξ

,

ξ

,

ξ

,

ξ

-1,

ξ

=1，共

n

+1個(gè)節(jié)點(diǎn)。采用標(biāo)記C、H和F分別表示固支、簡(jiǎn)支和自由三種梁的端部支承形式，如C-H表示梁兩端的支承形式為左端固支、右端簡(jiǎn)支。因此梁穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)的各類(lèi)邊界條件為：

(8a)

(8b)

(8c)

(8d)

至此，變截面Timoshenko梁橫向穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)響應(yīng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解滿(mǎn)足相應(yīng)邊界條件式(8)的復(fù)變系數(shù)常微分方程組式(7)的兩點(diǎn)邊值問(wèn)題，文中采用微分求積法。

2 微分求積法基本原理

研究采用非均勻等比數(shù)列節(jié)點(diǎn)離散模型對(duì)區(qū)間

ξ

∈[0,1]進(jìn)行節(jié)點(diǎn)間距變步長(zhǎng)設(shè)置，如圖2所示，具體節(jié)點(diǎn)離散公式為：

(9)

式中，

q

和

q

為調(diào)整非均勻等比數(shù)列節(jié)點(diǎn)劃分密度的公比，可根據(jù)計(jì)算精度需要進(jìn)行調(diào)整。這種在梁兩端支座附近區(qū)域布置較多的細(xì)密非均勻節(jié)點(diǎn)，無(wú)論從數(shù)學(xué)角度還是力學(xué)角度，對(duì)于微分求積法的計(jì)算精度都非常有利。

圖2 變截面梁的節(jié)點(diǎn)離散模型

考慮一維函數(shù)

U

(

ξ

)、Ф(

ξ

)在區(qū)間

ξ

∈[0,1]上可微，區(qū)間離散為

n

段，0=

ξ

,

ξ

,

ξ

,

ξ

-1,

ξ

=1，共

n

+1個(gè)節(jié)點(diǎn)，即

n

+1個(gè)節(jié)點(diǎn)上函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)值可用

n

+1個(gè)節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)函數(shù)值的加權(quán)線性求和來(lái)近似表示。將函數(shù)

U

(

ξ

)、Ф(

ξ

)及其相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值用其各節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行拉格朗日(Lagrange)插值表示，即

(10)

式中，

l

(

ξ

)為拉格朗日插值多項(xiàng)式，其具體形式為：

(11)

由式(10)，分別對(duì)函數(shù)

U

(

ξ

)、Ф(

ξ

)求一階導(dǎo)數(shù)，得到：

(12)

將式(12)中的

ξ

離散化，從而有：

(13)

依此類(lèi)推，可得：

(14)

(15)

將式(13)用向量形式表達(dá)，得到：

(16)

()(

ξ

)={

U

()(

ξ

),

U

()(

ξ

),…,

U

()(

ξ

)},(

ξ

)={

U

(

ξ

),

U

(

ξ

),…,

U

(

ξ

)},()(

ξ

)={

Φ

()(

ξ

),

Φ

()(

ξ

),…,

Φ

()(

ξ

)},(

ξ

)={

Φ

(

ξ

),

Φ

(

ξ

),…,

Φ

(

ξ

)},

由于微分關(guān)系

(17)

因此，各階導(dǎo)數(shù)的加權(quán)系數(shù)矩陣之間的關(guān)系為：

(18)

將式(7)離散，并用向量形式表示，其中微分方程組中的變系數(shù)寫(xiě)成對(duì)角陣形式，即

=

diag

{

g

(

ξ

),

g

(

ξ

),…,

g

(

ξ

)},=

diag

{

g

(

ξ

),

g

(

ξ

),…,

g

(

ξ

)},=

diag

{

g

(

ξ

),

g

(

ξ

),…,

g

(

ξ

)},=

diag

{

g

(

ξ

),

g

(

ξ

),…,

g

(

ξ

)},=

diag

{

g

(

ξ

),

g

(

ξ

),…,

g

(

ξ

)},=

diag

{

g

(

ξ

),

g

(

ξ

),…,

g

(

ξ

)},=

diag

{

g

(

ξ

),

g

(

ξ

),…,

g

(

ξ

)},=

diag

{

g

(

ξ

),

g

(

ξ

),…,

g

(

ξ

)},=

diag

{

g

(

ξ

),

g

(

ξ

),…,

g

(

ξ

)},=

diag

{

g

(

ξ

),

g

(

ξ

),…,

g

(

ξ

)}。

從而得到梁橫向穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)控制方程組的向量矩陣形式：

(19)

根據(jù)復(fù)系數(shù)代數(shù)方程組的表達(dá)形式，將式(19)分解為：

(20)

式中，矩陣、分別表示矩陣的實(shí)部與虛部，矩陣、、的實(shí)部與虛部均同理表示；向量、分別表示向量的實(shí)部與虛部；由此可知，兩未知向量解的形式為：=+

i

、=+

i

。

不失一般性，以懸臂梁(C-F)情況為例進(jìn)行邊界條件討論，則其相應(yīng)的邊界條件的向量形式為：

(21)

將邊界條件式(21)代入式(20)中，并替換相應(yīng)的第0行和

n

行，獲得梁穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)控制方程的復(fù)系數(shù)代數(shù)方程組的向量矩陣形式。

(22)

為便于編程計(jì)算，式(22)進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：

(+

i

)=+

i

,

(23)

解向量形式為：

至此，式(23)為含有2

n

+2個(gè)未知復(fù)數(shù)向量(,)的復(fù)系數(shù)線性代數(shù)方程組，通過(guò)復(fù)系數(shù)方程組的全選主元高斯(Gauss)消去法可直接求出復(fù)數(shù)解向量(,)，即為相應(yīng)梁穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)離散化后各點(diǎn)的無(wú)量綱撓度

U

(

ξ

)和截面轉(zhuǎn)角Ф(

ξ

)的幅值。根據(jù)Timoshenko梁理論，結(jié)合基本參量單位，可進(jìn)一步計(jì)算獲得梁各節(jié)點(diǎn)的內(nèi)力幅值。

3 數(shù)值算例與討論

表1 一端固支、一端簡(jiǎn)支Euler梁穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)的位移與內(nèi)力

算例

2

黏彈性地基上Timoshenko梁的穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)響應(yīng)。考慮黏彈性地基約束的影響，梁段區(qū)間劃分點(diǎn)數(shù)

n

=30，公比

q

=1.2時(shí)，運(yùn)用微分求積法求解式(7)和式(8d)，對(duì)黏彈性地基上Timoshenko懸臂梁(C-F)橫向穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行研究，這里取均布荷載幅值

Q

=100 kN/m，軸向荷載

P

=-40×40 MN，其他具體參數(shù)參照文獻(xiàn)[17]確定取值范圍。算例主要分析了無(wú)量綱地基彈性系數(shù)

k

、無(wú)量綱地基剪切系數(shù)

g

及無(wú)量綱地基阻尼系數(shù)

b

對(duì)梁位移和內(nèi)力幅值的影響。地基彈性系數(shù)對(duì)Timoshenko懸臂梁(C-F)位移和內(nèi)力幅值的影響如圖3所示。由圖3可知，無(wú)量綱地基彈性系數(shù)

k

對(duì)C-F梁橫向穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)時(shí)地基梁位移與內(nèi)力的影響。由圖3a、圖3b、圖3c、圖3d計(jì)算結(jié)果可知，地基梁的撓度、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力幅值隨著無(wú)量綱地基彈性系數(shù)

k

的增大而減小。剪切系數(shù)對(duì)Timoshenko懸臂梁(C-F)位移和內(nèi)力幅值的影響如圖4所示。由圖4可知，無(wú)量綱地基剪切系數(shù)

g

對(duì)C-F地基梁橫向穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)時(shí)梁位移與內(nèi)力的影響。由圖4a、圖4b、圖4c、圖4d計(jì)算結(jié)果可知，地基梁的撓度、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力幅值隨著無(wú)量綱地基剪切系數(shù)

g

的增大而增大。

圖3 地基彈性系數(shù)對(duì)Timoshenko懸臂梁(C-F)位移和內(nèi)力幅值的影響

圖4 剪切系數(shù)對(duì)Timoshenko懸臂梁(C-F)位移和內(nèi)力幅值的影響

阻尼系數(shù)對(duì)Timoshenko懸臂梁(C-F)位移和內(nèi)力幅值的影響如圖5所示。由圖5可知，無(wú)量綱地基阻尼系數(shù)

b

對(duì)C-F地基梁橫向穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)時(shí)梁位移與內(nèi)力的影響。由圖5a、圖5b、圖5c、圖5d、圖5e、圖5f、圖5g、圖5h計(jì)算結(jié)果可知，地基梁的撓度、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力幅值實(shí)數(shù)部分隨著無(wú)量綱地基阻尼系數(shù)

b

的增大而減小，撓度、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力幅值的虛數(shù)部分隨著無(wú)量綱地基阻尼系數(shù)

b

的增大而增大。綜上，地基彈性系數(shù)

k

、剪切系數(shù)

g

及阻尼系數(shù)

b

對(duì)黏彈性地基上Timoshenko梁位移和內(nèi)力幅值的影響比較明顯，不可忽略。

圖5 阻尼系數(shù)對(duì)Timoshenko懸臂梁(C-F)位移和內(nèi)力幅值的影響

4 結(jié)論

研究基于Timoshenko梁理論，將有限長(zhǎng)變截面梁橫向穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)響應(yīng)的計(jì)算轉(zhuǎn)化為求解一組含有復(fù)變系數(shù)常微分方程組的兩點(diǎn)邊值問(wèn)題，運(yùn)用微分求積法求解該復(fù)變系數(shù)常微分方程組，從而獲得梁橫向穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)時(shí)的位移與內(nèi)力。研究主要結(jié)論如下：由微分求積法獲得的Euler梁穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)的位移及內(nèi)力計(jì)算值與精確解、已有文獻(xiàn)的計(jì)算結(jié)果吻合，說(shuō)明了微分求積法分析梁穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)問(wèn)題的有效性和精確性。數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明，地基彈性系數(shù)

k

、剪切系數(shù)

g

及阻尼系數(shù)

b

對(duì)黏彈性地基上Timoshenko梁位移和內(nèi)力幅值的影響比較明顯。具體表現(xiàn)為：梁的位移和內(nèi)力隨地基彈性系數(shù)

k

的增大而減小、隨地基剪切系數(shù)

g

的增大而增大、隨地基阻尼系數(shù)

b

的增大而減小。研究方法具有通用性和適應(yīng)性強(qiáng)的特點(diǎn)，可以推廣到抗彎剛度和單位長(zhǎng)度質(zhì)量連續(xù)變化的功能梯度材料Timoshenko梁的穩(wěn)態(tài)諧振動(dòng)的研究中，具有一定的工程應(yīng)用價(jià)值。