含參向量優(yōu)化問題的Lipschitz連續(xù)性

孟 旭 東

(南昌航空大學(xué)科技學(xué)院，江西 共青城 332020)

0 引 言

最優(yōu)化問題的各種最優(yōu)值映射和最優(yōu)解映射的定量分析是最優(yōu)化理論和應(yīng)用中的一個(gè)有趣而重要的課題.最優(yōu)值映射或最優(yōu)解映射往往具有一些幾何性質(zhì)，如H?lder連續(xù)性、Lipschitz連續(xù)性、平靜性、可微性和次可微性等.它在模型表述、最優(yōu)性描述、逼近理論，特別是對于無限維問題及數(shù)值程序中都有重要影響.因此，有必要從定量的角度對各種最優(yōu)值映射或最優(yōu)化問題的各種最優(yōu)解映射得到一些結(jié)果.到目前為止，諸多文獻(xiàn)討論了擾動變分不等式、擾動平衡問題及擾動優(yōu)化問題的連續(xù)性[1-11].研究各種問題解映射的連續(xù)性，可以豐富和發(fā)展運(yùn)籌學(xué)的相關(guān)理論研究與算法設(shè)計(jì)，并能應(yīng)用于資源分配、交通均衡、運(yùn)籌管理及工程技術(shù)等眾多領(lǐng)域.

然而，僅有少量文獻(xiàn)研究了擾動優(yōu)化問題的H?lder連續(xù)性和Lipschitz連續(xù)性[12-16].Li等在文獻(xiàn)[12]中引入了目標(biāo)函數(shù)的強(qiáng)凸性來分析擾動向量優(yōu)化問題最優(yōu)解映射的H?lder連續(xù)性.然而，有許多例子表明，擾動優(yōu)化問題目標(biāo)函數(shù)的強(qiáng)凸性是非常嚴(yán)格的.在文獻(xiàn)[13]中，Li等得到了含參向量均衡問題近似解映射的Lipschitz連續(xù)性定理.Sadeqi等在文獻(xiàn)[14]中分析了含參廣義向量均衡問題近似有效解映射的Lipschitz連續(xù)性.在不具單調(diào)性的適當(dāng)條件下，Han在文獻(xiàn)[15]中討論了含參廣義向量均衡問題弱近似有效解映射和強(qiáng)近似有效解映射的Lipschitz連續(xù)性.在文獻(xiàn)[16]中，孟旭東等在賦范線性空間中借助標(biāo)量化方法研究了含參集值向量均衡問題近似解映射的Lipschitz連續(xù)性定理，作為應(yīng)用，給出了向量問題近似解映射的Lipschitz連續(xù)的充分性條件.受以上諸多文獻(xiàn)思想的啟發(fā)，本文研究含參向量優(yōu)化問題(弱)解映射和(弱)最優(yōu)值映射的上(下)Lipschitz連續(xù)性.

1 準(zhǔn)備工作

本文設(shè)X、Y、Λ、Ω為賦范空間，‖·‖和d(·，·)分別表示賦范空間中的范數(shù)和距離，BX、BY、BΛ、BΩ分別為X、Y、Λ、Ω中的閉單位球，C為Y中的閉凸點(diǎn)錐且C的拓?fù)鋬?nèi)部int(C)≠?.設(shè)D為Y中的非空子集，點(diǎn)y∈D，假若(D-y)∩(-int(C))=?，則點(diǎn)y為D的弱有效點(diǎn)，假若(D-y)∩(-C)={0}，則點(diǎn)y為D的有效點(diǎn)，記集合D的所有弱有效點(diǎn)和有效點(diǎn)的全體分別為Ew(D)和E(D).

設(shè)f：X×Λ→Y為向量值映射，F(xiàn)：Ω→2X{?}為非空集值映射，對每個(gè)點(diǎn)(λ，μ)∈Λ×Ω，討論含參向量優(yōu)化問題，簡稱為問題(PVOP).

(PVOP)minf(x，λ)，使得x∈F(μ)

(1)

設(shè)點(diǎn)(λ0，μ0)∈Λ×Ω給定，記f(·)=f(·，λ0)，F(xiàn)=F(μ0)，研究向量優(yōu)化問題，簡稱為問題(VOP).

(VOP)minf(x)，使得x∈F

(2)

對任何的點(diǎn)(λ，μ)∈Λ×Ω，問題(PVOP)的弱最優(yōu)值映射和最優(yōu)值映射分別定義為

Vw(λ，μ)∶=Ew(f(F(μ)，λ))V(λ，μ)∶=E(f(F(μ)，λ))

對任何的點(diǎn)(λ，μ)∈Λ×Ω，問題(PVOP)的弱解映射和解映射分別定義為

Sw(λ，μ)∶={x∈F(μ)：f(x，λ)∈Vw(λ，μ)}S(λ，μ)∶={x∈F(μ)：f(x，λ)∈V(λ，μ)}

為研究方便起見，問題(VOP)的弱最優(yōu)值映射、最優(yōu)值映射、弱解映射及解映射分別記為Vw、V、Sw、S.

Graph(F)∶={(μ，x)∈Ω×X：x∈F(μ)}Dom(F)∶={μ∈Ω：F(μ)≠?}

定義1設(shè)F：Ω→2X{?}為非空集值映射，則

(1)映射F在點(diǎn)μ0∈Dom(F)周圍關(guān)于常數(shù)hF>0，tF>0為Lipschitz連續(xù)的當(dāng)且僅當(dāng)對任何的點(diǎn)μ1，μ2∈μ0+tFBΩ，有

ρ(F(μ1)，F(xiàn)(μ2))≤hF‖μ1-μ2‖

(2)映射F在點(diǎn)μ0∈Dom(F)周圍關(guān)于常數(shù)hF>0，tF>0為上Lipschitz連續(xù)的當(dāng)且僅當(dāng)對任何的點(diǎn)μ∈μ0+tFBΩ，有

ρ(F(μ)，F(xiàn)(μ0))≤hF‖μ-μ0‖

(3)映射F在點(diǎn)μ0∈Dom(F)周圍關(guān)于常數(shù)hF>0，tF>0為下Lipschitz連續(xù)的當(dāng)且僅當(dāng)對任何的點(diǎn)μ∈μ0+tFBΩ，有

ρ(F(μ0)，F(xiàn)(μ))≤hF‖μ-μ0‖

(4)映射F在點(diǎn)(μ0，x0)∈Graph(F)周圍關(guān)于常數(shù)hF>0，tF>0為偽Lipschitz連續(xù)的當(dāng)且僅當(dāng)存在點(diǎn)0∈X的鄰域W0?X，使得對任何的點(diǎn)μ1，μ2∈μ0+tFBΩ，有

ρ(F(μ1)∩(x0+W0)，F(xiàn)(μ2))≤hF‖μ1-μ2‖

(5)映射F在點(diǎn)(μ0，x0)∈Graph(F)周圍關(guān)于常數(shù)hF>0，tF>0為上偽Lipschitz連續(xù)的當(dāng)且僅當(dāng)存在點(diǎn)0∈X的鄰域W0?X，使得對任何的點(diǎn)μ∈μ0+tFBΩ，有

ρ(F(μ)∩(x0+W0)，F(xiàn)(μ0))≤hF‖μ-μ0‖

(6)映射F在點(diǎn)(μ0，x0)∈Graph(F)周圍關(guān)于常數(shù)hF>0，tF>0為下偽Lipschitz連續(xù)的當(dāng)且僅當(dāng)存在點(diǎn)0∈X的鄰域W0?X，使得對任何的點(diǎn)μ∈μ0+tFBΩ，有

ρ(F(μ0)∩(x0+W0)，F(xiàn)(μ))≤hF‖μ-μ0‖

注1據(jù)定義1易知以下結(jié)論成立：

定義2設(shè)φ：Ω→X為向量值映射，則映射φ在點(diǎn)μ0∈Ω周圍關(guān)于常數(shù)hφ>0，tφ>0為Lipschitz 連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)對任何的點(diǎn)μ1，μ2∈μ0+tφBΩ，有

‖φ(μ1)-φ(μ2)‖≤hφ‖μ1-μ2‖

定義3設(shè)f：X×Λ→Y為向量值映射，則

(1)問題(VOP)在Sw(或S)上關(guān)于常數(shù)hf>0具有錐全局控制性當(dāng)且僅當(dāng)對每個(gè)點(diǎn)x∈F，存在點(diǎn)x0∈Sw(或x0∈S)，使得

f(x)-f(x0)+hf‖x-x0‖BY?C

(3)

(2)問題(VOP)在Sw(或S)上關(guān)于常數(shù)hf>0具有內(nèi)部錐全局控制性當(dāng)且僅當(dāng)對每個(gè)點(diǎn)x∈F，存在點(diǎn)x0∈Sw(或x0∈S)，使得

f(x)-f(x0)+hf‖x-x0‖BY?int(C)

(3)問題(VOP)在點(diǎn)x0∈Sw(或x0∈S)周圍關(guān)于常數(shù)hf>0具有錐局部控制性當(dāng)且僅當(dāng)存在點(diǎn)x0的鄰域U0?X，對每個(gè)點(diǎn)x∈F∩U0，存在點(diǎn)x0∈Sw∩U0(或x0∈S∩U0)，使得

f(x)-f(x0)+hf‖x-x0‖BY?C

(4)問題(VOP)在點(diǎn)x0∈Sw(或x0∈S)周圍關(guān)于常數(shù)hf>0具有內(nèi)部錐局部控制性當(dāng)且僅當(dāng)存在點(diǎn)x0的鄰域U0?X，對每個(gè)點(diǎn)x∈F∩U0，存在點(diǎn)x0∈Sw∩U0(或x0∈S∩U0)，使得

以上筆者對文章開頭、主體和結(jié)尾的分析，只是側(cè)重于一點(diǎn)而言，其實(shí)不少文章的開頭、主體和結(jié)尾所表現(xiàn)的特點(diǎn)是多方面的，學(xué)習(xí)時(shí)不能孤立和割裂。初中階段課文閱讀和作文練習(xí)的重點(diǎn)是記敘文，寫記敘文有個(gè)好的開頭和結(jié)尾，會使文章增色不少。所以上面就初中課本中部分記敘文的開頭和結(jié)尾進(jìn)行了重點(diǎn)分析，也順便簡單提到了文章的主體部分，供同學(xué)們寫作時(shí)參考。

f(x)-f(x0)+hf‖x-x0‖BY?int(C)

注2(1)據(jù)定義3易知，(2)?(1)且(4)?(3).

(2)對任何的點(diǎn)y∈Y，定義‖y‖+∶=d(y，YC)，則式(3)可化為

hf‖x-x0‖≤‖f(x)-f(x0)‖+

(4)

2 問題(PVOP)的(弱)解映射的Lipschitz連續(xù)性

設(shè)f：X×Λ→Y為向量值映射，F(xiàn)：Ω→2X{?}為非空集值映射，為研究問題敘述方便起見，給出以下基本假設(shè)(A).

(A1)問題(PVOP)的弱解集在給定點(diǎn)(λ0，μ0)∈Dom(Sw)的某鄰域內(nèi)；

(A2)問題(PVOP)的解集在給定點(diǎn)(λ0，μ0)∈Dom(S)的某鄰域內(nèi)；

(A3)映射F在點(diǎn)μ0∈Dom(F)周圍關(guān)于常數(shù)hF>0，tF>0具有Lipschitz連續(xù)性；

(A4)問題(VOP)在Sw上關(guān)于常數(shù)hf>0具有錐全局控制性；

(A4′)問題(VOP)在Sw上關(guān)于常數(shù)hf>0具有內(nèi)部錐全局控制性；

(A5)問題(VOP)在S上關(guān)于常數(shù)hf>0具有錐全局控制性；

(A5′)問題(VOP)在S上關(guān)于常數(shù)hf>0具有內(nèi)部錐全局控制性；

(A6)對任何的點(diǎn)λ∈Λ，f(·，λ)在X上關(guān)于常數(shù)mf>0具有Lipschitz連續(xù)性，且對任何的點(diǎn)x∈X，f(x，·)在點(diǎn)λ0∈Λ周圍關(guān)于常數(shù)nf>0，tf>0具有Lipschitz連續(xù)性；

(A7)映射F在點(diǎn)(μ0，x0)∈Graph(F)周圍關(guān)于點(diǎn)0∈X的鄰域U0?X及常數(shù)hF>0，tF>0具有上偽Lipschitz連續(xù)性和下偽Lipschitz連續(xù)性；

(A8)對假設(shè)(A7)中的鄰域U0?X，問題(VOP)在點(diǎn)x0∈Sw周圍關(guān)于點(diǎn)0∈X的鄰域Q0?X，滿足Q0+Q0?U0及hf>0具有錐局部控制性；

(A8′)對假設(shè)(A7)中的鄰域U0?X，問題(VOP)在點(diǎn)x0∈Sw周圍關(guān)于點(diǎn)0∈X的鄰域Q0?X，滿足Q0+Q0?U0及hf>0具有內(nèi)部錐局部控制性；

(A9)對假設(shè)(A7)中的鄰域U0?X，問題(VOP)在點(diǎn)x0∈S周圍關(guān)于點(diǎn)0∈X的鄰域Q0?X，滿足Q0+Q0?U0及hf>0具有錐局部控制性；

(A9′)對假設(shè)(A7)中的鄰域U0?X，問題(VOP)在點(diǎn)x0∈S周圍關(guān)于點(diǎn)0∈X的鄰域Q0?X，滿足Q0+Q0?U0及hf>0具有內(nèi)部錐局部控制性；

(A10)對假設(shè)(A7)中的鄰域U0?X，對任何的點(diǎn)x∈x0+U0，f(x，·)在點(diǎn)λ0∈Λ周圍關(guān)于常數(shù)tf>0，nf>0具有Lipschitz連續(xù)性，且對任何的點(diǎn)λ∈λ0+tfBΛ，f(·，λ)在U0上關(guān)于常數(shù)mf>0具有Lipschitz連續(xù)性.

定理1對問題(PVOP)而言，若假設(shè)(A1)、(A3)、(A4)與(A6)成立，則問題(PVOP)的弱解映射Sw：Λ×Ω→2X{?}在點(diǎn)(λ0，μ0)∈Dom(Sw)周圍關(guān)于常數(shù)tf>0，tF>0為上Lipschitz 連續(xù)的，即對任何的點(diǎn)λ∈λ0+tfBΛ，μ∈μ0+tFBΩ，有

ρ(Sw(λ，μ)，Sw)≤lf‖λ-λ0‖+lf，F(xiàn)‖μ-μ0‖

(5)

證明任取點(diǎn)x(λ，μ)∈Sw(λ，μ)，其中λ∈λ0+tfBΛ，μ∈μ0+tFBΩ.據(jù)Sw(λ，μ)的定義知

x(λ，μ)∈F(μ)且f(x，λ)-f(x(λ，μ)，λ)?-int(C)，?x∈F(μ)

(6)

據(jù)假設(shè)(A3)知，存在點(diǎn)x(μ0)∈F(μ0)，使得

‖x(λ，μ)-x(μ0)‖≤hF‖μ-μ0‖

(7)

據(jù)假設(shè)(A4)知，對以上的點(diǎn)x(μ0)，存在點(diǎn)x(λ0，μ0)∈Sw，使得

f(x(μ0)，λ0)-f(x(λ0，μ0)，λ0)+

hf‖x(μ0)-x(λ0，μ0)‖BY?C

(8)

不失一般性，不妨假設(shè)x(μ0)≠x(λ0，μ0)，f(x(μ0)，λ0)≠f(x(λ0，μ0)，λ0).易見點(diǎn)x(λ0，μ0)∈F(μ0)，結(jié)合假設(shè)(A3)知，存在點(diǎn)x(μ)∈F(μ)，使得

‖x(λ0，μ0)-x(μ)‖≤hF‖μ-μ0‖

(9)

則有

f(x(μ)，λ)-f(x(λ，μ)，λ)=f(x(λ0，μ0)，λ0)-

f(x(μ0)，λ0)+

w(λ，μ)

(10)

其中

w(λ，μ)=f(x(μ)，λ)-f(x(λ0，μ0)，λ)+

f(x(λ0，μ0)，λ)-f(x(λ0，μ0)，λ0)+

f(x(μ0)，λ0)-f(x(μ0)，λ)+

f(x(μ0)，λ)-f(x(λ，μ)，λ)

由假設(shè)(A6)，知

‖w(λ，μ)‖≤mf‖x(μ)-x(λ0，μ0)‖+

mf‖x(μ0)-x(λ，μ)‖+

2nf‖λ-λ0‖

結(jié)合式(7)、(9)，得

‖w(λ，μ)‖≤2mfhF‖μ-μ0‖+2nf‖λ-λ0‖

(11)

則必有

‖f(x(μ0)，λ0)-f(x(λ0，μ0)，λ0)‖+≤‖w(λ，μ)‖

(12)

事實(shí)上，假若‖f(x(μ0)，λ0)-f(x(λ0，μ0)，λ0)‖+>‖w(λ，μ)‖，據(jù)‖·‖+的定義知

f(x(μ0)，λ0)-f(x(λ0，μ0)，λ0)+

‖w(λ，μ)‖BY?int(C)

(13)

(1)若‖w(λ，μ)‖=0，則w(λ，μ)=0，由式(8)、(10)，知

f(x(μ)，λ)-f(x(λ，μ)，λ)∈-int(C)

這與式(6)矛盾.

f(x(λ，μ)，λ)-f(x(μ)，λ)=f(x(μ0)，λ0)-

f(x(λ0，μ0)，λ0)+

‖w(λ，μ)‖·

并結(jié)合式(13)，得

f(x(λ，μ)，λ)-f(x(μ)，λ)∈int(C)

這與式(6)矛盾.由式(8)、(11)～(13)，有

hf‖x(μ0)-x(λ0，μ0)‖≤‖f(x(μ0)，λ0)-

f(x(λ0，μ0)，λ0)‖+≤

2mfhF‖μ-μ0‖+

2nf‖λ-λ0‖

故

(14)

結(jié)合式(6)、(14)，得

d(x(λ，μ)，Sw)≤‖x(λ，μ)-x(λ0，μ0)‖≤

‖x(λ，μ)-x(μ0)‖+

‖x(μ0)-x(λ0，μ0)‖≤

lf‖μ-μ0‖+lf，F(xiàn)‖λ-λ0‖

注意到點(diǎn)x(λ，μ)∈Sw(λ，μ)的任意性知式(5)成立.

據(jù)定理1，結(jié)合注2的(1)知

推論1對問題(PVOP)而言，假若假設(shè)(A1)、(A3)、(A4′)與(A6)成立，則問題(PVOP)的弱解映射Sw：Λ×Ω→2X{?}在點(diǎn)(λ0，μ0)∈Dom(Sw)周圍關(guān)于常數(shù)tf>0，tF>0為上Lipschitz 連續(xù)的，即對任何的點(diǎn)λ∈λ0+tfBΛ，μ∈μ0+tFBΩ，有

ρ(Sw(λ，μ)，Sw)≤lf‖λ-λ0‖+lf，F(xiàn)‖μ-μ0‖

類似定理1的論證過程可知

定理2對問題(PVOP)而言，假若假設(shè)(A2)、(A3)、(A5)與(A6)成立，則問題(PVOP)的解映射S：Λ×Ω→2X{?}在點(diǎn)(λ0，μ0)∈Dom(S)周圍關(guān)于常數(shù)tf>0，tF>0為上Lipschitz連續(xù)的，即對任何的點(diǎn)λ∈λ0+tfBΛ，μ∈μ0+tFBΩ，有

ρ(S(λ，μ)，S)≤lf‖λ-λ0‖+lf，F(xiàn)‖μ-μ0‖

據(jù)定理2，結(jié)合注2的(1)知

推論2對問題(PVOP)而言，假若假設(shè)(A2)、(A3)、(A5′)與(A6)成立，則問題(PVOP)的解映射S：Λ×Ω→2X{?}在點(diǎn)(λ0，μ0)∈Dom(S)周圍關(guān)于常數(shù)tf>0，tF>0為上Lipschitz連續(xù)的，即對任何的點(diǎn)λ∈λ0+tfBΛ，μ∈μ0+tFBΩ，有

ρ(S(λ，μ)，S)≤lf‖λ-λ0‖+lf，F(xiàn)‖μ-μ0‖

定理3對問題(PVOP)而言，假若假設(shè)(A1)、(A7)、(A8)與(A10)成立，則問題(PVOP)的弱解映射Sw：Λ×Ω→2X{?}在點(diǎn)((λ0，μ0)，x0)∈Graph(Sw)周圍關(guān)于常數(shù)tf>0，tF>0為上Lipschitz 連續(xù)的，即存在點(diǎn)0∈X的鄰域W0?X，對任何的點(diǎn)λ∈λ0+tfBΛ，μ∈μ0+tFBΩ，有

ρ(Sw(λ，μ)∩(x0+W0)，Sw)≤lf‖λ-λ0‖+

lf，F(xiàn)‖μ-μ0‖

(15)

證明設(shè)W0?X為點(diǎn)0∈X的任何鄰域，滿足W0+hFtFBX?Q0，則W0為點(diǎn)0∈X在X中的理想鄰域.事實(shí)上，對任何的點(diǎn)x(λ，μ)∈Sw(λ，μ)∩(x0+W0)，λ∈λ0+tfBΛ，μ∈μ0+tFBΩ，據(jù)映射F的上偽Lipschitz連續(xù)性知，存在點(diǎn)x(μ0)∈F(μ0)，使得

‖x(λ，μ)-x(μ0)‖≤hF‖μ-μ0‖≤hFtF

(16)

則有

x(μ0)-x0=(x(μ0)-x(λ，μ))+(x(λ，μ)-x0)∈

hFtFBX+W0?Q0

故點(diǎn)x(μ0)∈F(μ0)∩(x0+Q0)，據(jù)假設(shè)(A8)知存在點(diǎn)x(λ0，μ0)∈Sw∩(x0+Q0)，使得

f(x(μ0)，λ0)-f(x(λ0，μ0)，λ0)+

hf‖x(μ0)-x(λ0，μ0)‖BY?C

(17)

不失一般性，不妨假設(shè)x(μ0)≠x(λ0，μ0)，f(x(μ0)，λ0)≠f(x(λ0，μ0)，λ0).易見點(diǎn)x(λ0，μ0)∈F(μ0)∩(x0+Q0)，由F的下偽Lipschitz連續(xù)性知存在點(diǎn)x(μ)∈F(μ)，使得

‖x(λ0，μ0)-x(μ)‖≤hF‖μ-μ0‖≤hFtF

(18)

則有

x(μ0)-x0=(x(μ0)-x(λ0，μ0))+(x(λ0，μ0)-

x0)∈hFtFBX+W0?Q0?U0

且

f(x(μ)，λ)-f(x(λ，μ)，λ)=f(x(λ0，μ0)，λ0)-

f(x(μ0)，λ0)+

w(λ，μ)

其中

w(λ，μ)=f(x(μ)，λ)-f(x(λ0，μ0)，λ)+

f(x(λ0，μ0)，λ)-f(x(λ0，μ0)，λ0)+

f(x(μ0)，λ0)-f(x(μ0)，λ)+

f(x(μ0)，λ)-f(x(λ，μ)，λ)

由假設(shè)(A10)，知

‖w(λ，μ)‖≤mf‖x(μ)-x(λ0，μ0)‖+

mf‖x(μ0)-x(λ，μ)‖+

2nf‖λ-λ0‖

結(jié)合式(16)、(18)，得

‖w(λ，μ)‖≤2mfhF‖μ-μ0‖+2nf‖λ-λ0‖

(19)

類似于定理1的論證過程有

‖f(x(μ0)，λ0)-f(x(λ0，μ0)，λ0)‖+≤‖w(λ，μ)‖

(20)

由式(17)、(19)、(20)，知

hf‖x(μ0)-x(λ0，μ0)‖≤2mfhF‖μ-μ0‖+

2nf‖λ-λ0‖

故

(21)

結(jié)合式(16)、(21)，得

lf‖μ-μ0‖+lf，F(xiàn)‖λ-λ0‖

再據(jù)點(diǎn)x(λ，μ)∈Sw(λ，μ)的任意性知式(15)成立.

據(jù)定理3，結(jié)合注2的(1)知

推論3對問題(PVOP)而言，假若假設(shè)(A1)、(A7)、(A8′)與(A10)成立，則問題(PVOP)的弱解映射Sw：Λ×Ω→2X{?}在點(diǎn)((λ0，μ0)，x0)∈Graph(Sw)周圍關(guān)于常數(shù)tf>0，tF>0為上Lipschitz連續(xù)的，即存在點(diǎn)0∈X的鄰域W0?X，對任何的點(diǎn)λ∈λ0+tfBΛ，μ∈μ0+tFBΩ，有

ρ(Sw(λ，μ)∩(x0+W0)，Sw)≤lf‖λ-λ0‖+

lf，F(xiàn)‖μ-μ0‖

類似定理3的證明過程易知

定理4對問題(PVOP)而言，假若假設(shè)(A2)、(A7)、(A9)與(A10)成立，則問題(PVOP)的解映射S：Λ×Ω→2X{?}在點(diǎn)((λ0，μ0)，x0)∈Graph(S)周圍關(guān)于常數(shù)tf>0，tF>0為上Lipschitz 連續(xù)的，即存在點(diǎn)0∈X的鄰域W0?X，對任何的點(diǎn)λ∈λ0+tfBΛ，μ∈μ0+tFBΩ，有

ρ(S(λ，μ)∩(x0+W0)，S)≤lf‖λ-λ0‖+

lf，F(xiàn)‖μ-μ0‖

據(jù)定理4，結(jié)合注2的(1)知

推論4對問題(PVOP)而言，假若假設(shè)(A2)、(A7)、(A9′)與(A10)成立，則問題(PVOP)的解映射S：Λ×Ω→2X{?}在點(diǎn)((λ0，μ0)，x0)∈Graph(S)周圍關(guān)于常數(shù)tf>0，tF>0為上Lipschitz連續(xù)的，即存在點(diǎn)0∈X的鄰域W0?X，對任何的點(diǎn)λ∈λ0+tfBΛ，μ∈μ0+tFBΩ，有

ρ(S(λ，μ)∩(x0+W0)，S)≤lf‖λ-λ0‖+

lf，F(xiàn)‖μ-μ0‖

類似于問題(PVOP)的弱解映射和解映射的上Lipschitz連續(xù)性的充分性條件，結(jié)合注2的(1)易得問題(PVOP)的弱解映射和解映射的下Lipschitz連續(xù)性定理.

定理5對問題(PVOP)而言，假若假設(shè)(A1)、(A3)、(A4)與(A6)成立，則問題(PVOP)的弱解映射Sw：Λ×Ω→2X{?}在點(diǎn)(λ0，μ0)∈Dom(Sw)周圍關(guān)于常數(shù)tf>0，tF>0為下Lipschitz 連續(xù)的，即對任何的點(diǎn)λ∈λ0+tfBΛ，μ∈μ0+tFBΩ，有

ρ(Sw，Sw(λ，μ))≤lf‖λ-λ0‖+lf，F(xiàn)‖μ-μ0‖

推論5對問題(PVOP)而言，假若假設(shè)(A1)、(A3)、(A4′)與(A6)成立，則問題(PVOP)的弱解映射Sw：Λ×Ω→2X{?}在點(diǎn)(λ0，μ0)∈Dom(Sw)周圍關(guān)于常數(shù)tf>0，tF>0為下Lipschitz 連續(xù)的，即對任何的點(diǎn)λ∈λ0+tfBΛ，μ∈μ0+tFBΩ，有

ρ(Sw，Sw(λ，μ))≤lf‖λ-λ0‖+lf，F(xiàn)‖μ-μ0‖

定理6對問題(PVOP)而言，假若假設(shè)(A2)、(A3)、(A5)與(A6)成立，則問題(PVOP)的解映射S：Λ×Ω→2X{?}在點(diǎn)(λ0，μ0)∈Dom(S)周圍關(guān)于常數(shù)tf>0，tF>0為下Lipschitz連續(xù)的，即對任何的點(diǎn)λ∈λ0+tfBΛ，μ∈μ0+tFBΩ，有

ρ(S，S(λ，μ))≤lf‖λ-λ0‖+lf，F(xiàn)‖μ-μ0‖

推論6對問題(PVOP)而言，假若假設(shè)(A2)、(A3)、(A5′)與(A6)成立，則問題(PVOP)的解映射S：Λ×Ω→2X{?}在點(diǎn)(λ0，μ0)∈Dom(S)周圍關(guān)于常數(shù)tf>0，tF>0為下Lipschitz連續(xù)的，即對任何的點(diǎn)λ∈λ0+tfBΛ，μ∈μ0+tFBΩ，有

ρ(S，S(λ，μ))≤lf‖λ-λ0‖+lf，F(xiàn)‖μ-μ0‖

定理7對問題(PVOP)而言，假若假設(shè)(A1)、(A7)、(A8)與(A10)成立，則問題(PVOP)的弱解映射Sw：Λ×Ω→2X{?}在點(diǎn)((λ0，μ0)，x0)∈Graph(Sw)周圍關(guān)于常數(shù)tf>0，tF>0為下Lipschitz連續(xù)的，即存在點(diǎn)0∈X的鄰域W0?X，對任何的點(diǎn)λ∈λ0+tfBΛ，μ∈μ0+tFBΩ，有

ρ(Sw，Sw(λ，μ)∩(x0+W0))≤lf‖λ-λ0‖+

lf，F(xiàn)‖μ-μ0‖

推論7對問題(PVOP)而言，假若假設(shè)(A1)、(A7)、(A8′)與(A10)成立，則問題(PVOP)的弱解映射Sw：Λ×Ω→2X{?}在點(diǎn)((λ0，μ0)，x0)∈Graph(Sw)周圍關(guān)于常數(shù)tf>0，tF>0為下Lipschitz連續(xù)的，即存在點(diǎn)0∈X的鄰域W0?X，對任何的點(diǎn)λ∈λ0+tfBΛ，μ∈μ0+tFBΩ，有

ρ(Sw，Sw(λ，μ)∩(x0+W0))≤lf‖λ-λ0‖+

lf，F(xiàn)‖μ-μ0‖

定理8對問題(PVOP)而言，假若假設(shè)(A2)、(A7)、(A9)與(A10)成立，則問題(PVOP)的解映射S：Λ×Ω→2X{?}在點(diǎn)((λ0，μ0)，x0)∈Graph(S)周圍關(guān)于常數(shù)tf>0，tF>0為下Lipschitz連續(xù)的，即存在點(diǎn)0∈X的鄰域W0?X，對任何的點(diǎn)λ∈λ0+tfBΛ，μ∈μ0+tFBΩ，有

ρ(S，S(λ，μ)∩(x0+W0))≤lf‖λ-λ0‖+

lf，F(xiàn)‖μ-μ0‖

推論8對問題(PVOP)而言，假若假設(shè)(A2)、(A7)、(A9′)與(A10)成立，則問題(PVOP)的解映射S：Λ×Ω→2X{?}在點(diǎn)((λ0，μ0)，x0)∈Graph(S)周圍關(guān)于常數(shù)tf>0，tF>0為下Lipschitz連續(xù)的，即存在點(diǎn)0∈X的鄰域W0?X，對任何的點(diǎn)λ∈λ0+tfBΛ，μ∈μ0+tFBΩ，有

ρ(S，S(λ，μ)∩(x0+W0))≤lf‖λ-λ0‖+

lf，F(xiàn)‖μ-μ0‖

3 問題(PVOP)的(弱)最優(yōu)值映射的Lipschitz連續(xù)性

定理9對問題(PVOP)而言，假若假設(shè)(A1)、(A3)、(A4)與(A6)成立，則問題(PVOP)的弱最優(yōu)值映射Vw：Λ×Ω→2X{?}在點(diǎn)(λ0，μ0)∈Dom(Sw)周圍關(guān)于常數(shù)tf>0，tF>0為上Lipschitz連續(xù)的，即對任何的點(diǎn)λ∈λ0+tfBΛ，μ∈μ0+tFBΩ，有

ρ(Vw(λ，μ)，Vw)≤Lf‖λ-λ0‖+Lf，F(xiàn)‖μ-μ0‖

(22)

證明任取點(diǎn)f(x(λ，μ)，λ)∈Vw(λ，μ)，其中λ∈λ0+tfBΛ，μ∈μ0+tFBΩ，則點(diǎn)x(λ，μ)∈F(μ)，且存在點(diǎn)x(μ0)∈F(μ0)，使得

‖x(λ，μ)-x(μ0)‖≤hF‖μ-μ0‖

(23)

據(jù)假設(shè)(A4)知，對以上的點(diǎn)x(μ0)，存在點(diǎn)x(λ0，μ0)∈Sw，使得

f(x(μ0)，λ0)-f(x(λ0，μ0)，λ0)+

hf‖x(μ0)-x(λ0，μ0)‖BY?C

據(jù)f(·，λ0)的Lipschitz連續(xù)性知

f(x(μ0)，λ0)-f(x(λ0，μ0)，λ0)+

(24)

又x(λ0，μ0)∈F(μ0)，結(jié)合假設(shè)(A3)知，存在點(diǎn)x(μ)∈F(μ)，使得

‖x(λ0，μ0)-x(μ)‖≤hF‖μ-μ0‖

(25)

顯然

f(x(μ)，λ)-f(x(λ，μ)，λ)=f(x(λ0，μ0)，λ0)-

f(x(μ0)，λ0)+

w(λ，μ)

其中

w(λ，μ)=f(x(μ)，λ)-f(x(λ0，μ0)，λ)+

f(x(λ0，μ0)，λ)-f(x(λ0，μ0)，λ0)+

f(x(μ0)，λ0)-f(x(μ0)，λ)+

f(x(μ0)，λ)-f(x(λ，μ)，λ)

由假設(shè)(A6)，知

‖w(λ，μ)‖≤mf‖x(μ)-x(λ0，μ0)‖+

mf‖x(μ0)-x(λ，μ)‖+

2nf‖λ-λ0‖

結(jié)合式(23)、(25)，得

‖w(λ，μ)‖≤2mfhF‖μ-μ0‖+2nf‖λ-λ0‖

(26)

類似定理1的證明過程有

‖f(x(μ0)，λ0)-f(x(λ0，μ0)，λ0)‖+≤‖w(λ，μ)‖

(27)

由式(24)、(26)、(27)，知

2mfhF‖μ-μ0‖+2nf‖λ-λ0‖

故

‖f(x(μ0)，λ0)-f(x(λ0，μ0)，λ0)‖≤

(28)

結(jié)合式(23)、(28)，有

d(f(x(λ，μ)，λ)，Vw)≤‖f(x(λ，μ)，λ)-

f(x(λ0，μ0)，λ0)‖≤

‖f(x(λ，μ)，λ)-

f(x(μ0)，λ)‖+

‖f(x(μ0)，λ)-

f(x(λ0，μ0)，λ0)‖+

‖f(x(μ0)，λ0)-

f(x(λ0，μ0)，λ0)‖≤

Lf‖μ-μ0‖+

Lf，F(xiàn)‖λ-λ0‖

再由點(diǎn)x(λ，μ)∈Sw(λ，μ)的任意性知式(22)成立.

據(jù)定理9，結(jié)合注2的(1)知

推論9對問題(PVOP)而言，假若假設(shè)(A1)、(A3)、(A4′)與(A6)成立，則問題(PVOP)的弱最優(yōu)值映射Vw：Λ×Ω→2X{?}在點(diǎn)(λ0，μ0)∈Dom(Sw)周圍關(guān)于常數(shù)tf>0，tF>0為上Lipschitz連續(xù)的，即對任何的點(diǎn)λ∈λ0+tfBΛ，μ∈μ0+tFBΩ，有

ρ(Vw(λ，μ)，Vw)≤Lf‖λ-λ0‖+Lf，F(xiàn)‖μ-μ0‖

類似定理9的論證過程易得

定理10對問題(PVOP)而言，假若假設(shè)(A2)、(A3)、(A5)與(A6)成立，則問題(PVOP)的最優(yōu)值映射V：Λ×Ω→2X{?}在點(diǎn)(λ0，μ0)∈Dom(S)周圍關(guān)于常數(shù)tf>0，tF>0為上Lipschitz連續(xù)的，即對任何的點(diǎn)λ∈λ0+tfBΛ，μ∈μ0+tFBΩ，有

ρ(V(λ，μ)，V)≤Lf‖λ-λ0‖+Lf，F(xiàn)‖μ-μ0‖

據(jù)定理10，結(jié)合注2的(1)知

推論10對問題(PVOP)而言，假若假設(shè)(A2)、(A3)、(A5′)與(A6)成立，則問題(PVOP)的最優(yōu)值映射V：Λ×Ω→2X{?}在點(diǎn)(λ0，μ0)∈Dom(S)周圍關(guān)于常數(shù)tf>0，tF>0為上Lipschitz連續(xù)的，即對任何的點(diǎn)λ∈λ0+tfBΛ，μ∈μ0+tFBΩ，有

ρ(V(λ，μ)，V)≤Lf‖λ-λ0‖+Lf，F(xiàn)‖μ-μ0‖

類似于問題(PVOP)的弱最優(yōu)值映射和最優(yōu)值映射的上Lipschitz連續(xù)性定理的討論過程，結(jié)合注2的(1)可得問題(PVOP)的弱最優(yōu)值映射和最優(yōu)值映射的下Lipschitz連續(xù)性基本定理.

定理11對問題(PVOP)而言，假若假設(shè)(A1)、(A3)、(A4)與(A6)成立，則問題(PVOP)的弱最優(yōu)值映射Vw：Λ×Ω→2X{?}在點(diǎn)(λ0，μ0)∈Dom(Sw)周圍關(guān)于常數(shù)tf>0，tF>0為下Lipschitz連續(xù)的，即對任何的點(diǎn)λ∈λ0+tfBΛ，μ∈μ0+tFBΩ，有

ρ(Vw，Vw(λ，μ))≤Lf‖λ-λ0‖+Lf，F(xiàn)‖μ-μ0‖

推論11對問題(PVOP)而言，假若假設(shè)(A1)、(A3)、(A4′)與(A6)成立，則問題(PVOP)的弱最優(yōu)值映射Vw：Λ×Ω→2X{?}在點(diǎn)(λ0，μ0)∈Dom(Sw)周圍關(guān)于常數(shù)tf>0，tF>0為下Lipschitz連續(xù)的，即對任何的點(diǎn)λ∈λ0+tfBΛ，μ∈μ0+tFBΩ，有

ρ(Vw，Vw(λ，μ))≤Lf‖λ-λ0‖+Lf，F(xiàn)‖μ-μ0‖

定理12對問題(PVOP)而言，假若假設(shè)(A2)、(A3)、(A5)與(A6)成立，則問題(PVOP)的最優(yōu)值映射V：Λ×Ω→2X{?}在點(diǎn)(λ0，μ0)∈Dom(S)周圍關(guān)于常數(shù)tf>0，tF>0為下Lipschitz連續(xù)的，即對任何的點(diǎn)λ∈λ0+tfBΛ，μ∈μ0+tFBΩ，有

ρ(V，V(λ，μ))≤Lf‖λ-λ0‖+Lf，F(xiàn)‖μ-μ0‖

推論12對問題(PVOP)而言，假若假設(shè)(A2)、(A3)、(A5′)與(A6)成立，則問題(PVOP)的最優(yōu)值映射V：Λ×Ω→2X{?}在點(diǎn)(λ0，μ0)∈Dom(S)周圍關(guān)于常數(shù)tf>0，tF>0為下Lipschitz連續(xù)的，即對任何的點(diǎn)λ∈λ0+tfBΛ，μ∈μ0+tFBΩ，有

ρ(V，V(λ，μ))≤Lf‖λ-λ0‖+Lf，F(xiàn)‖μ-μ0‖

4 結(jié) 語

在目標(biāo)函數(shù)和可行集分別受參數(shù)擾動的情況下，在適當(dāng)假設(shè)條件下，在賦范空間中建立了含參向量優(yōu)化問題(弱)解映射和(弱)最優(yōu)值映射的上(下)Lipschitz連續(xù)性充分性基本定理.研究表明，(弱)解映射和(弱)最優(yōu)值映射的上(下)Lipschitz 連續(xù)的充分性條件均具有統(tǒng)一性規(guī)律，有利于建立含參向量優(yōu)化問題解映射的H?lder連續(xù)性的統(tǒng)一規(guī)律，有利于分析各類含參向量優(yōu)化問題解映射的H?lder連續(xù)性和Lipschitz連續(xù)性的統(tǒng)一框架結(jié)構(gòu)，并為研究含參向量優(yōu)化問題解映射的穩(wěn)定性奠定基礎(chǔ).