準(zhǔn)星象函數(shù)的若干系數(shù)估計

何良苗，王麒翰，龍波涌

（安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥230601）

準(zhǔn)星象函數(shù)有許多有趣的幾何性質(zhì)。當(dāng)參數(shù)α=1 時，準(zhǔn)星象函數(shù)是將單位圓滿射到一個凸域的凸函數(shù)。當(dāng)參數(shù)α=1/2 時，準(zhǔn)星象函數(shù)又是階為1/2 的星象函數(shù)。目前，數(shù)學(xué)工作者只研究了準(zhǔn)星象函數(shù)的部分性質(zhì)。例如，準(zhǔn)星象函數(shù)的包含關(guān)系，廣義的準(zhǔn)星象函數(shù)，以及準(zhǔn)星象函數(shù)復(fù)合一個莫比烏斯變換后仍然是準(zhǔn)星象函數(shù)等。有關(guān)準(zhǔn)星象函數(shù)的系數(shù)估計也備受關(guān)注。

1 預(yù)備知識

設(shè)H(Ω)表示在區(qū)域Ω 內(nèi)的解析函數(shù)全體。記H1(Ω)={zf ∶f ∈H0(Ω)} 其 中H0(Ω)={f:f(0)=1,且f ∈H(Ω)}，則H1(Ω)中的函數(shù)有表達式

設(shè)f ∈H1。 f 為a 階星象函數(shù)與a 階凸函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)

其中n,q ∈N。

本文首先建立了關(guān)于函數(shù)類P 系數(shù)的一個最佳估計式。再通過建立起Ra與P 相互之間的系數(shù)關(guān)系，分別估計了Ra的Hankel 行列式H2(2)和H2(3)的上界，以及Fekete-Szeg? 泛函和Zalcman泛函的上界，得到了相應(yīng)的結(jié)果。其中Fekete-Szeg o?泛函上界的估計是最佳。

2 主要結(jié)果

從而定理得證。

根據(jù)(3)式，不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)α=1/2 時，R1/2=S1/2；當(dāng)α=0 時，R0=C0。

3 小結(jié)

首先建立了關(guān)于函數(shù)類P 系數(shù)的一個最佳估計式。再建立起Ra與P 相互之間的系數(shù)關(guān)系，分別估計了Ra的Hankel 行列式H2（2）和H2（3）的上界，以及Fekete-Szeg? 泛函和Zalcman 泛函的上界，得到了相應(yīng)的結(jié)果。其中Fekete-Szeg? 泛函上界的估計是最佳。