一類(lèi)帶有時(shí)滯脈沖的分?jǐn)?shù)階微分方程解的存在唯一性

周東鵬，周 霞

（桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣西 桂林541004）

分?jǐn)?shù)階微分方程在藥物動(dòng)力學(xué)、電磁學(xué)、控制論、多孔介質(zhì)等[1-6]科學(xué)領(lǐng)域能更好地對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行建模。因此分?jǐn)?shù)階動(dòng)力系統(tǒng)的研究在最近的幾十年里受到了廣泛地關(guān)注[7-15]。一般而言，需要對(duì)系統(tǒng)的解的研究，首先研究的問(wèn)題是解的存在唯一性問(wèn)題。關(guān)于分?jǐn)?shù)階脈沖微分方程解的存在唯一性問(wèn)題已有報(bào)道：Wang 等[16]利用Banach 不動(dòng)點(diǎn)定理得到了Hadamard 型導(dǎo)數(shù)的脈沖微分方程解存在性條件；Chalishajar 等[17]研究了一類(lèi)分?jǐn)?shù)階脈沖積分微分方程解的存在性問(wèn)題；Liu[18]利用迭代方法得到了脈沖分?jǐn)?shù)階柯西問(wèn)題解的存在唯一性條件；Wu 等[19]通過(guò)分段函數(shù)給出了一類(lèi)脈沖分?jǐn)?shù)階微分方程的精確解；李耀紅等[20]利用Leray-Schauder 不動(dòng)點(diǎn)研究了一類(lèi)Caputo分?jǐn)?shù)階脈沖微分方程柯西問(wèn)題解的存在性。已有文獻(xiàn)所研究系統(tǒng)的脈沖是不含時(shí)滯的，然而在實(shí)際應(yīng)用中，發(fā)生突變時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)不僅與當(dāng)前時(shí)刻有關(guān)還與過(guò)去時(shí)刻有關(guān)。因此，本文考慮脈沖時(shí)刻含有時(shí)滯的情況，研究帶有時(shí)滯脈沖的分?jǐn)?shù)階微分方程解的存在唯一性。

考慮帶有時(shí)滯脈沖分?jǐn)?shù)階非線(xiàn)性微分方程：

1 預(yù)備知識(shí)

符號(hào)說(shuō)明：Z+表示一切正整數(shù)的集合，N 表示一切自然數(shù)的集合，Rn表示n 維實(shí)數(shù)空間。

定義1[21]函數(shù) f:[0,T]×Rn→Rn的a＞0 階Riemann-Liouville 分?jǐn)?shù)階積分定義為

其中算子Ja是滿(mǎn)足半群性質(zhì)的，即存在a，b＞0 使得JaJbf(t,x(t))=Ja+bf(t,x(t))。

定義2[21]函數(shù)x(t) 的0 ＜a ＜1 階Caputo 階分?jǐn)?shù)階積分為

為了得到方程(1)解的存在唯一性條件，假設(shè)如下條件成立。

(H1)函數(shù)f:[0,T]×Rn→Rn和I:Rn→Rn滿(mǎn)足Lipschitz 條件，即存在非負(fù)常數(shù)L1和L2使得如下不等式成立:

(H2)脈沖函數(shù)I:Rn→Rn是線(xiàn)性映射，即存在常數(shù)a 和b 使得

定理1 若(H1)，(H2)成立，并且存在非負(fù)常數(shù)L1,L2,T,τ 使得

成立，則方程(1)的解存在且唯一。

顯然π 在每個(gè)t ∈(tk，tk+1]，k ∈N 區(qū)間上都是連續(xù)算子。下面分區(qū)間來(lái)討論。由上式和(H1)可得，當(dāng)t ∈(0，t1]時(shí)，

同理可得

結(jié)合不等式(5)，(6)，(8)以及Banach 不動(dòng)點(diǎn)定理可知，對(duì)任意的k ∈N，方程(1)的解存在且唯一。

當(dāng)方程(1)中的時(shí)滯項(xiàng)τ=0 時(shí)，方程(1)退化為如下不含時(shí)滯的脈沖分?jǐn)?shù)階微分方程：

推論1 假設(shè)(H1)，(H2)成立，若存在非負(fù)常數(shù)L1,L2,T 使得

成立，則方程(9)的解存在且唯一。

注1 在文獻(xiàn)[20]中，李耀紅等利用Leray-Schauder 不動(dòng)點(diǎn)研究系統(tǒng)(9)解的存在性問(wèn)題，注意到該系統(tǒng)是本文τ=0 時(shí)的一種特殊情形，因此從這一方面而言，本文的結(jié)果更具有一般性。

2 數(shù)值實(shí)例

圖1 系統(tǒng)(10)的數(shù)值解

3 小結(jié)

本文利用Banach 不動(dòng)點(diǎn)定理，研究了一類(lèi)帶有時(shí)滯脈沖的分?jǐn)?shù)階微分方程解的存在唯一性問(wèn)題，得到了對(duì)應(yīng)柯西問(wèn)題解存在唯一性的充分條件。與文獻(xiàn)[16-20]相比，本文考慮的脈沖是帶有時(shí)滯的，并本文結(jié)果可以推廣到脈沖時(shí)滯為0 的情形或者脈沖項(xiàng)為0 的情形。同時(shí)，本文條件更具有一般性，因此應(yīng)用范圍也更加廣泛。