預(yù)測水驅(qū)油田含水率的麥克斯韋模型及應(yīng)用

雷宇田，邢 楊，周大霖，盧怡帆，劉 峰

（1.中國石油長慶油田分公司第十二采油廠，甘肅合水 745400；2.西安石油大學(xué)石油工程學(xué)院，陜西西安 710065）

隨著我國注水開發(fā)油田逐漸進(jìn)入中高含水期，準(zhǔn)確預(yù)測含水率對(duì)水驅(qū)油田開發(fā)方案的制定，開發(fā)措施的調(diào)整具有重要意義。為此，國內(nèi)外學(xué)者對(duì)含水率預(yù)測做了大量的研究和現(xiàn)場實(shí)際應(yīng)用工作[1-3]。

自從20 世紀(jì)50 年代，蘇聯(lián)學(xué)者根據(jù)水驅(qū)油田開發(fā)規(guī)律，統(tǒng)計(jì)得到甲型、乙型、丙型和丁型4 種水驅(qū)曲線以來，水驅(qū)曲線在我國注水開發(fā)油田得到了廣泛的應(yīng)用[4]。截止目前，我國學(xué)者已研究出多種預(yù)測含水率的方法，主要有水驅(qū)特征曲線法和數(shù)學(xué)模型法。陳國飛等[5]根據(jù)預(yù)測生物生長的Von Bertalanffy 模型，建立了基于Von Bertalanffy 模型的含水率預(yù)測方法，可對(duì)水驅(qū)開發(fā)全過程進(jìn)行預(yù)測，且不需考慮開發(fā)過程的影響；周鵬等[6]結(jié)合多參數(shù)的增產(chǎn)曲線，建立了新的隨開發(fā)時(shí)間變化的含水率模型；朱圣舉等[7]根據(jù)甲型水驅(qū)特征曲線和油田產(chǎn)量預(yù)測模型，提出了一種新的含水率預(yù)測模型，指出該模型的適用條件為油藏必須為穩(wěn)定水驅(qū)；劉鵬等[8]將MMF 生長模型與水驅(qū)特征曲線相聯(lián)合，建立了預(yù)測水驅(qū)油田含水率的聯(lián)解模型，克服了水驅(qū)曲線和聯(lián)解模型的不足，可對(duì)不同時(shí)間的含水率進(jìn)行預(yù)測；張居增等[9]根據(jù)描述增長信息隨時(shí)間變化的數(shù)學(xué)模型，建立了預(yù)測含水率的Usher 模型，并指出目前用于含水率預(yù)測的Logisitic 模型和Gompertz 模型均為Usher 模型的特例。以上水驅(qū)曲線法和水驅(qū)模型在水驅(qū)油田預(yù)測含水率中得到了廣泛的應(yīng)用，但存在模型參數(shù)多，模型計(jì)算過程復(fù)雜等特征。本研究基于概率統(tǒng)計(jì)中的麥克斯韋分布，建立了只含有1 個(gè)參數(shù)的含水率隨開發(fā)時(shí)間變化的新預(yù)測模型，新模型可對(duì)不同類型，不同開發(fā)階段的油藏進(jìn)行預(yù)測，通過實(shí)例數(shù)據(jù)，與新模型計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，以驗(yàn)證新模型的可靠性和實(shí)用性。

1 模型的建立及參數(shù)求解

麥克斯韋分布的概率密度函數(shù)可表示為[10]：

式中：t-油田開發(fā)時(shí)間，a；b-控制分布形態(tài)的常數(shù)。

由式（1）得：

油田從時(shí)間t 投入開發(fā)到∞的累積產(chǎn)油量為：

式中：NR-油田可采儲(chǔ)量，t；Q（t）-第t 年的年產(chǎn)油量，t。

式（3）兩端同除以NR，得：

由式（2）和式（4），得：

結(jié)合式（5）和式（1），得油田年產(chǎn)油量為：

式（6）兩邊對(duì)時(shí)間從0 到t 積分，可得油田累積產(chǎn)油量為：

當(dāng)t=0 時(shí)，根據(jù)：

凡是能滿足t=0，fw=0；t=∞，fw=fwmax=1 的模型，均可以用于含水率的預(yù)測。對(duì)于式（7），當(dāng)t=0 時(shí)Np=0；t=∞時(shí)Np=NRmax、fw=fwmax，因此，式（7）可改寫為：

式中：fw-含水率，%。

式（8）即為新建的預(yù)測水驅(qū)油田含水率的麥克斯韋模型。從該模型中可以看出，模型中僅有一個(gè)未知參數(shù)b，根據(jù)油田實(shí)際含水率隨時(shí)間的變化數(shù)據(jù)，應(yīng)用一元多項(xiàng)式線性回歸法，通過MATLAB 軟件編程，當(dāng)相關(guān)性最佳時(shí)，所計(jì)算出的b 即為所求得的值，該模型形式簡單，且求解方便。

2 模型特征

當(dāng)參數(shù)b 取不同的值時(shí)，新模型可以得到“一簇水驅(qū)曲線”，含水率隨開發(fā)時(shí)間呈現(xiàn)出不同的上升規(guī)律，說明新模型能較好的描述不同類型油藏含水率隨時(shí)間的變化關(guān)系（見圖1）。曲線形狀從“凹型”過渡到“S 型”再過渡到“凸型”，表明新含水率曲線呈現(xiàn)出多樣性的特征，可以較好的預(yù)測含水率上升情況。對(duì)于存在無水采油期和較長時(shí)間低含水采油期的油田，新模型也能較好的進(jìn)行描述。在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)油田措施方案調(diào)整導(dǎo)致含水上升率發(fā)生變化時(shí)，可選取不同的參數(shù)值b進(jìn)行預(yù)測，b 的取值范圍為（0，+∞）。

3 實(shí)例應(yīng)用

為了驗(yàn)證新模型對(duì)含水率的預(yù)測效果及實(shí)用性，以大慶油田南二三開發(fā)區(qū)葡Ⅰ組和平湖油氣田M 油藏的實(shí)際開發(fā)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，應(yīng)用式（8）對(duì)含水率進(jìn)行預(yù)測，以驗(yàn)證新模型的可靠性。

3.1 大慶油田南二三開發(fā)區(qū)

大慶油田南二三開發(fā)區(qū)葡Ⅰ組1965-1987 年的實(shí)際開發(fā)數(shù)據(jù)（見表1、圖2）[11]。將含水率和生產(chǎn)時(shí)間數(shù)據(jù)代入式（8），應(yīng)用一元多項(xiàng)式線性回歸法，通過MATLAB 編程計(jì)算，最佳擬合參數(shù)b=166.389 8，相關(guān)系數(shù)為0.987 2，得到大慶油田南二三開發(fā)區(qū)葡Ⅰ組新模型預(yù)測含水率的表達(dá)式為：

圖1 不同參數(shù)b 取值下含水率與時(shí)間的關(guān)系

表1 大慶油田南二三開發(fā)區(qū)葡Ⅰ組含水率實(shí)際值與預(yù)測值對(duì)比

圖2 大慶油田南二三開發(fā)區(qū)葡Ⅰ組實(shí)際含水率與預(yù)測含水率對(duì)比圖

3.2 平湖油氣田M 油藏

平湖油氣田M 油藏1998-2010 年的實(shí)際開發(fā)數(shù)據(jù)（見表2、圖3）[12]。將含水率和生產(chǎn)時(shí)間數(shù)據(jù)代入式（8），應(yīng)用一元多項(xiàng)式線性回歸法，通過MATLAB 編程計(jì)算，最佳擬合參數(shù)b=15.848 2，相關(guān)系數(shù)為0.991 7，得到平湖油氣田M 油藏新模型預(yù)測含水率表達(dá)式為：

圖3 平湖油氣田M 油藏實(shí)際含水率與預(yù)測含水率對(duì)比圖

3.3 大慶油田薩北過渡帶區(qū)塊

大慶油田薩北過渡帶區(qū)塊1969-1990 年的實(shí)際開發(fā)數(shù)據(jù)（見表3、圖4）[13]。將含水率和生產(chǎn)時(shí)間數(shù)據(jù)代入式（8），應(yīng)用一元多項(xiàng)式線性回歸法，通過MATLAB編程計(jì)算，最佳擬合參數(shù)b=183.822 6，相關(guān)系數(shù)為0.993 5，得到大慶油田薩北過渡帶區(qū)塊新模型預(yù)測含水率的表達(dá)式為：

表2 平湖油氣田M 油藏含水率實(shí)際值與預(yù)測值對(duì)比

表3 大慶油田薩北過渡帶區(qū)塊含水率實(shí)際值與預(yù)測值對(duì)比

圖4 大慶油田薩北過渡帶區(qū)塊實(shí)際含水率與預(yù)測含水率對(duì)比圖

從以上三個(gè)實(shí)例可以看出，隨著水驅(qū)開發(fā)的進(jìn)行，新模型預(yù)測含水率結(jié)果與實(shí)際含水率變化趨勢相似（見圖2～圖4），預(yù)測精度較高，新模型預(yù)測以上三油田最后10 年絕對(duì)誤差的平均值分別為2.88%、8.41%和7.29%。

4 結(jié)論

（1）將麥克斯韋模型用于水驅(qū)油田的含水率預(yù)測，與其他含水率預(yù)測模型不同的是，該模型中只有1 個(gè)參數(shù)，模型表達(dá)形式簡單，參數(shù)計(jì)算方便，可為水驅(qū)開發(fā)油田生產(chǎn)動(dòng)態(tài)分析和開發(fā)方案制定提供指導(dǎo)。

（2）通過選擇不同的參數(shù)值b，可得到“一簇水驅(qū)曲線”，曲線形狀從“凹型”過渡到“S 型”再過渡到“凸型”。當(dāng)油藏類型不同，油田開發(fā)方案發(fā)生變化時(shí)，可靈活選取不同的參數(shù)值，對(duì)含水率隨開發(fā)時(shí)間的上升進(jìn)行預(yù)測。

（3）結(jié)合三個(gè)礦場應(yīng)用實(shí)例證明了該模型的實(shí)用性和有效性，新型含水率預(yù)測模型趨勢與實(shí)際趨勢相近似，且預(yù)測數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)較接近，預(yù)測誤差較小。

（4）所建模型反映了含水率隨開發(fā)時(shí)間的變化，不需考慮開發(fā)過程的影響。但新模型是否適用于其他水驅(qū)開發(fā)油田，尚需更多油藏實(shí)例驗(yàn)證。