基于仿真可信度評估的變壓器模型參數(shù)優(yōu)化

應 婷，李江紅

（中車株洲所電氣技術與材料工程研究院，湖南 株洲 412001）

0 引言

仿真可信度指仿真系統(tǒng)與被模擬系統(tǒng)在功能上的相似程度[1-2]，其是合理利用仿真結果的基本前提。隨著仿真技術的發(fā)展及其應用領域的拓寬，對仿真結果的正確性和可信度要求越來越高，如何提升系統(tǒng)仿真的可信度已成為系統(tǒng)仿真目前迫切需要解決的一個問題[3-4]。影響仿真可信度的因素主要包括模型結構、模型參數(shù)、不確定性數(shù)據(jù)、評估方法及誤差累計等，其中模型結構和模型參數(shù)的影響最大。模型結構通常根據(jù)理論原理進行設計。對于電氣系統(tǒng)而言，數(shù)學模型建?；谖⒎址匠探?，大部分公式為公知的且結構相對固定；而模型參數(shù)卻因測量方法、工藝設計、使用環(huán)境、老化等因素，其數(shù)值可能與理論值存在偏差，這將對仿真結果產(chǎn)生較大影響，甚至可能導致可信度大大降低。建模人員往往對參數(shù)的輸入范圍、對結果的影響程度、仿真結果的偏離程度缺乏直觀和量化的認知，調整參數(shù)主觀性、隨意性強，致使結果正確性不能得到保障。

仿真系統(tǒng)的校核、驗證與確認（verification,validation and accreditation, VV&A） 是仿真系統(tǒng)可信度評估的重要手段之一，通過對仿真系統(tǒng)成果的正確性進行評估，從而保證仿真系統(tǒng)達到足夠高的可信度水平以滿足應用的需要[5]。仿真可信度評估過程包括校核、驗證與驗收3部分內容。其中，驗證側重于對仿真結果的檢驗，即將試驗結果與理論結果進行比較從而驗證數(shù)學模型的有效性，即獲得仿真的可信度。國外自20世紀50年代末開始對仿真可信度評估進行研究，至今取得了較多成果。如，文獻[6]提出了一套開發(fā)和驗證多智能體仿真系統(tǒng)的方法，文獻[7]提出了基于向量自回歸模型的多智能體模型驗證方法。國內相關研究起步于20世紀80年代，在評估理論方法方面主要以跟蹤國外研究為主，如對基于相似度的方法、基于層次分析方法等進行改進以滿足實際應用需求。文獻[8]從離散狀態(tài)一致性的角度對仿真可信度進行評估；文獻[9]提出了基于可信度評估網(wǎng)(CESN)的網(wǎng)絡化指標體系構建方法和缺陷追溯方法；文獻[10]給出了半實物仿真系統(tǒng)的可信度評估思路與方法。

近年來，軌道交通領域對于仿真可信度的要求也越來越高，但目前該項研究工作還處于起步階段，主要進行定性分析，沒有給出具體的量化指標。研究如何對仿真結果與實際數(shù)據(jù)的誤差進行數(shù)值分析，以此提高仿真可信度，具有重要的價值和應用意義。因此，本文以牽引變壓器為研究對象，根據(jù)其數(shù)學原理構建仿真模型，以仿真數(shù)據(jù)與試驗數(shù)據(jù)對比計算的可信度為優(yōu)化目標；結合最優(yōu)化問題的求解需求選擇輸入信號，通過敏感性分析選擇優(yōu)化參數(shù)，建立優(yōu)化模型進行關鍵參數(shù)優(yōu)化，通過減小參數(shù)偏差達到縮小仿真結果與試驗結果誤差的目的，提升變壓器仿真模型準確度。

1 牽引變壓器原理及仿真模型

牽引變壓器又稱機車主變壓器，主要用于電壓變換、隔離、濾波及保護。根據(jù)繞組接線方式可推導出變壓器主從側之間的關系，搭建牽引變壓器數(shù)學模型。忽略變壓器二次側繞組間的互感，針對變壓器的勵磁阻抗，建立勵磁電路模型[11]。用一個電感-電阻回路等效變壓器一次側繞組與任意一個二次側繞組之間的短路阻抗，并將參數(shù)折算到變壓器二次側。雖然精細化的T型等效電路能更精準地模擬各變量物理情況，但模型需包括多個串聯(lián)、并聯(lián)回路，解算較為復雜。因此，將勵磁支路前移，使之與電源并聯(lián)，得到只有勵磁支路和負載支路并聯(lián)的Γ型等效電路，不僅大大簡化了計算，而且精度同樣能得以保障。圖1示出某交流電力機車的三繞組牽引變壓器二次側的簡化等效電路，其中Un和In為變壓器一次側額定電壓和額定電流；US為變壓器一次側折算電壓；K為理想變壓器變比；US1,US2,US3為變壓器二次側電壓；IS1,IS2,IS3為變壓器二次側電流；Im為勵磁電流；Rm為勵磁電阻；Lm為勵磁電感；R1,R2,R3為變壓器繞組電阻；L1,L2,L3為變壓器繞組漏感。

圖1 牽引變壓器簡化等效電路Fig.1 Simplified equivalent circuit of traction transformer

根據(jù)牽引變壓器等效電路（圖1），按照基爾霍夫定律計算變壓器繞組漏感、網(wǎng)側電流以及二次側電壓：

根據(jù)式(1)～式(4)搭建變壓器仿真模型（圖2），其輸入信號為一、二次側電壓，輸出信號是為一、二次側電流。由于主電路后端電路可能出現(xiàn)斷路狀態(tài)，因此在變壓器仿真模型中需要設置使狀態(tài)量置零的功能。其通過接收充電電路接觸器關斷狀態(tài)信號和整流器橋臂截止信號，判斷充電電路接觸器是否均關斷或整流器橋臂是否截止，若是，則將輸出電流直接置零。

圖2 變壓器仿真模型Fig.2 Simulation model of transformer

2 牽引變壓器模型參數(shù)優(yōu)化設計

仿真模型輸出結果與實際結果的差異越小，模型的價值則越大,以此為模型優(yōu)化的目標。仿真可信度是評估該誤差的定量指標，即選擇仿真可信度作為參數(shù)優(yōu)化的目標函數(shù)，獲得目標函數(shù)極小值。常用方法包括有基于相似度的可信度定量分析和殘差分析兩種，下面分別進行介紹。

2.1 優(yōu)化目標函數(shù)

2.1.1 基于相似度的可信度分析

相似度是基于仿真系統(tǒng)和實際系統(tǒng)的比較[12]，強調了仿真可信度的客觀性，其決定性因素主要包括系統(tǒng)間相似單元數(shù)目、單元數(shù)值及單元權重。

根據(jù)可信度層次性的特點，將大系統(tǒng)分解成若干個子系統(tǒng)或模塊，分別進行可信度評估；然后再根據(jù)這些對象的可信度結果、層次及耦合關系，確定仿真系統(tǒng)整體的可信度。首先假設在單項試驗獲取了實際測試的數(shù)據(jù)，由k個要素組成；參照該單項試驗獲取仿真數(shù)據(jù)，由l個要素組成；假設這些要素之間存在n個相似元，則第j個單項試驗（或曲線）的可信度定義為

式中：βi——相似元對系統(tǒng)相似程度影響的權重，；q(μi)——第i個相似元的相似度。

對于q(μi)，其計算式如下：

式中：θAi——實測數(shù)據(jù)；θSi——仿真數(shù)據(jù)。

加入每個單項試驗仿真的可信度權重系數(shù)，可計算出某項試驗仿真的可信度：

式中：M——試驗項目總數(shù)；λj——第j項試驗的仿真可信度權重系數(shù)，。

λj根據(jù)單項試驗對整個試驗的重要程度決定，與相似元權重系數(shù)的確定原則一致。

2.1.2 殘差分析法

殘差分析法是先將仿真信號序列減去實測信號序列，得到殘差序列，然后再對殘差序列建立適當?shù)臄?shù)學模型，并給出相應的數(shù)值指標[13]。具體表達式如下：

式中：{yi,i=1, 2, …,n}——實測序列；——仿真序列；xi——第i點信號的可信度；γi——第i點的權重系數(shù)；φ——仿真信號與實測信號的殘差指標。

2.1.3 相似度和殘差分析的一致性

綜上可知，殘差分析的核心是

對式(11)進行如式(12)所示變換，則可得知殘差分析的本質和基于相似度的計算原理是相同的，這也說明了兩種方法對可信度描述的一致性。

因此，可以選擇其中一個作為最優(yōu)化目標函數(shù)：

2.2 選擇輸入信號

變壓器理想工況為輸入的電壓和電流波形均為單一頻率的光滑正弦波，但由于理想輸入信號單一，變壓器模態(tài)不能被完全激勵，因此參數(shù)辨識和優(yōu)化將存在盲區(qū)。為簡化分析，下面以單相單繞組變壓器為例進行說明。假設其一次側電流表達如下：

式中：An,AS1——變壓器一、二次側電流幅值。

對電流求導，可得：

將式(16)、式(17)、式(1)和式(2)代入式(3)和式(4)，得：

根據(jù)數(shù)學原理，僅憑式(18)和式(19)無法求解出K，Rm，Lm，R1，L1這5個未知數(shù)，也就是說該系統(tǒng)模態(tài)未被完全激勵。如果變量中包含豐富的諧波成分或非周期分量，如2，3，5，7次諧波等，具體見式(20)，則利用式(18)和式(19)，模態(tài)可以被完全激勵，上述5個未知數(shù)就可以完全被辨識和優(yōu)化。

式中：A——電流幅值；ω1——基波角頻率；ω2——2次諧波角頻率；λ——非周期分量時間常數(shù)。

根據(jù)上述分析，參數(shù)優(yōu)化所需的輸入信號必須包含充足的過程特性信息，不能任意選擇。為了使所有參數(shù)均被優(yōu)化，輸入信號必須滿足能夠激勵所有參數(shù)的基本要求。在最優(yōu)化問題中，輸入信號的頻譜要求必須包括過程的全部頻譜[14]。例如參數(shù)辨識時，若目標參數(shù)是N個，則要求輸入的激勵信號必須包含超過N/2個不同頻率的成分。因為每個頻率響應存在著虛部和實部，兩個對應關系只能解出兩個未知數(shù)。參數(shù)優(yōu)化時,對輸入信號同樣有著優(yōu)良性的要求，即輸入信號的選擇能使參數(shù)優(yōu)化后的模型精度最高。由于軌道交通牽引變壓器的二次側輸入電壓為開關脈沖信號（圖3），其含有豐富的諧波分量，且便于工程測量，因此本文分別選用變壓器一次側和二次側電壓的試驗數(shù)據(jù)作為輸入，來進行參數(shù)優(yōu)化。

圖3 輸入信號示例Fig.3 Examples of input signal

2.3 優(yōu)化方法及參數(shù)選擇

本文選用梯度下降法進行參數(shù)優(yōu)化。梯度下降（gradient descent）是迭代法中的一種，優(yōu)化思想是用當前位置負梯度方向作為搜索方向，因為該方向為當前位置的最快下降方向，所以也稱之為“最速下降法”。最速下降法越接近目標值，步長越小，前進越慢。在求解機器學習算法的模型參數(shù)時，梯度下降是最常采用的方法。在求解損失的最小值時，可以通過梯度下降法來一步步地迭代求解，得到最小化的函數(shù)和模型參數(shù)值。

變壓器Γ形等效電路涉及的關鍵參數(shù)包括：一、二次側繞組變比K；勵磁電抗Lm；勵磁電阻Rm；變壓器繞組電阻R1,R2,R3；變壓器繞組漏感L1,L2,L3。

一般而言，變壓器漏感由其繞組的尺寸、形狀、匝數(shù)等結構參數(shù)和布置方式等決定，而勵磁電感則與鐵心飽和特性及狀態(tài)強相關。為提高優(yōu)化效率，判斷參數(shù)對結果的影響程度，需要尋找高敏感性參數(shù)。首先設置變壓器參數(shù)及范圍，然后按隨機分布方法生成分析數(shù)據(jù)。由于在一次側繞組電壓一定的情況下，變比可以通過二次側繞組體現(xiàn)，因此選擇一次側繞組電壓拆算到二次側的額定值V2作為參數(shù)。對分析數(shù)據(jù)中的參數(shù)進行多次計算，根據(jù)參數(shù)對結果的影響程度，得出敏感性排序。對上述變壓器模型及參數(shù)進行敏感性分析，結果如圖4所示?？梢钥闯?，V2,L2和R1為敏感性最強的參數(shù)，因此后續(xù)主要針對這3個參數(shù)開展優(yōu)化工作。

圖4 敏感性分析結果Fig.4 Sensitivity analysis results

3 以仿真可信度為目標的變壓器模型參數(shù)優(yōu)化

根據(jù)第2節(jié)所述模型參數(shù)優(yōu)化設計方法，以變壓器為對象，開展以仿真可信度為目標的模型參數(shù)優(yōu)化。首先，以實測試驗數(shù)據(jù)驅動仿真模型，即分別將變壓器一、二次側輸入電壓試驗數(shù)據(jù)作為受控電壓，觀測模型二次側輸出電流仿真數(shù)據(jù)。然后，比較模型所計算的仿真數(shù)據(jù)與試驗數(shù)據(jù)的偏差，通過對可信度指標的計算，定量分析仿真數(shù)據(jù)和試驗數(shù)據(jù)之間的差別，以此判斷可信度是否達到最優(yōu)。如果可信度最優(yōu)為“否”，則進行參數(shù)優(yōu)化計算，并將優(yōu)化后的參數(shù)輸入到模型中進行對比判定，經(jīng)過多次迭代，直至可信度最優(yōu)為“是”，輸出最優(yōu)參數(shù)。

圖5 變壓器模型測試流程Fig.5 Process of transformer model optimization

變壓器默認參數(shù)為一次側折算電壓25 kV/50 Hz，二次側折算后電壓970 V，二次側電阻R2為0.36 Ω，短路阻抗百分比36%。現(xiàn)有仿真通常采用默認參數(shù)計算仿真模型，輸出仿真數(shù)據(jù)。選取10次真實的試驗數(shù)據(jù)，與仿真數(shù)據(jù)對比，經(jīng)過定量仿真相似度分析，結果如表1所示。經(jīng)計算，其可信度為

表1 參數(shù)優(yōu)化前，試驗數(shù)據(jù)與仿真數(shù)據(jù)相似度分析Tab.1 Similarity evaluation of measured data and simulation data before parameter optimization

選取其中一次仿真數(shù)據(jù)與試驗數(shù)據(jù)進行對比（圖6），可以看出，已知的默認參數(shù)仿真可信度較低，定量分析與定性分析結論一致。

圖6 參數(shù)優(yōu)化前，試驗數(shù)據(jù)及仿真數(shù)據(jù)對比Fig.6 Comparison between measured data and simulation data before parameter optimization

選取整個10段試驗數(shù)據(jù)進行變壓器模型參數(shù)優(yōu)化，設置參數(shù)初始值為默認參數(shù)，變比參數(shù)優(yōu)化范圍設置為±10%，短路電阻電感參數(shù)范圍設為0～50%（標幺值）。使用梯度下降法尋找最優(yōu)參數(shù)，以滿足可信度最小的優(yōu)化目標函數(shù)，優(yōu)化過程曲線如圖7所示。

圖7 參數(shù)優(yōu)化過程曲線Fig.7 Parameter optimization process curves

最優(yōu)參數(shù)結果如下：二次側電壓V2為950.6 V，二次側電阻R2為0.3 Ω，二次側電感L2標幺值為0.518 5。采用優(yōu)化后的變壓器模型參數(shù)，選取同樣10次試驗數(shù)據(jù)，與仿真數(shù)據(jù)對比，經(jīng)過定量仿真可信度分析，結果如表2所示。其可信度為

表2 參數(shù)優(yōu)化后，試驗數(shù)據(jù)與仿真數(shù)據(jù)相似度分析Tab.2 Similarity evaluation of test data and simulation data after parameter optimization

選取圖6中的試驗數(shù)據(jù)與由優(yōu)化后的參數(shù)計算出的仿真結果進行對比（圖8）?？梢钥闯?，優(yōu)化后的仿真數(shù)據(jù)明顯與試驗數(shù)據(jù)更加吻合，可信度大幅提升，定量分析與定性分析結論一致。

圖8 參數(shù)優(yōu)化后，試驗數(shù)據(jù)及仿真數(shù)據(jù)對比Fig.8 Comparison between measured data and simulated data after parameter optimization

4 結語

本文搭建了牽引變壓器仿真模型，通過選擇仿真可信度作為優(yōu)化目標函數(shù)、選擇輸入信號及高敏感關鍵參數(shù)，進行了參數(shù)優(yōu)化計算。無論是定量分析還是定性分析結果均顯示，模型參數(shù)優(yōu)化后，仿真系統(tǒng)可信度都大幅提高。本文所設計的優(yōu)化過程為通用方法，其同樣可移植至其他模型用于參數(shù)優(yōu)化，由此實現(xiàn)使整個仿真系統(tǒng)可信度提升的最終目標。本文中參數(shù)優(yōu)化的約束條件是根據(jù)經(jīng)驗設置的，后續(xù)將根據(jù)應用情況選擇實際的約束范圍開展參數(shù)優(yōu)化研究。