基于極小值原理的AM T車輛起步最優(yōu)協(xié)調(diào)控制策略

趙克剛，寧武林，葉 杰

（華南理工大學(xué) 汽車零部件技術(shù)國家地方聯(lián)合工程實(shí)驗(yàn)室，廣州 510640）

近年來，通過對(duì)車輛起步過程中發(fā)動(dòng)機(jī)與離合器間的協(xié)調(diào)控制策略的優(yōu)化以改善起步動(dòng)力性、經(jīng)濟(jì)性和乘坐舒適性，并延長傳動(dòng)系統(tǒng)關(guān)鍵零部件的使用壽命等，逐漸成為機(jī)械傳動(dòng)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)［1］。

孫冬野等［2］針對(duì)機(jī)械式自動(dòng)變速器（automatic mechanical transmission，簡稱AMT）車輛起步過程，提出了發(fā)動(dòng)機(jī)的局部恒轉(zhuǎn)速控制策略，反映了駕駛員的起步意圖并有效地抑制了起步過程中發(fā)動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速抖動(dòng)。在孫冬野等研究［2］的基礎(chǔ)上，部分學(xué)者將模糊控制策略［3］、滑模變結(jié)構(gòu)控制策略［4］及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制策略［5］等應(yīng)用于AMT、DCT（dual-clutch transmission）車輛的起步控制過程中，以獲得良好的車輛起步性能。

部分專家學(xué)者提出將最優(yōu)控制理論應(yīng)用于車輛起步控制策略的優(yōu)化中。秦大同等［6］通過選取不同的控制、狀態(tài)變量及二次型優(yōu)化目標(biāo)的形式，基于線性二次型最優(yōu)控制算法（linear quadratic gaussian，簡稱LQG）確定了AMT或DCT起步過程中離合器的最優(yōu)接合規(guī)律。趙治國等［7］針對(duì)DCT車輛的起步過程，在發(fā)動(dòng)機(jī)側(cè)采用局部恒轉(zhuǎn)速控制策略，在離合器從動(dòng)側(cè)基于極小值原理獲得離合器的最優(yōu)接合規(guī)律。高炳釗等［8］基于模型預(yù)測控制算法在線優(yōu)化發(fā)動(dòng)機(jī)和離合器的轉(zhuǎn)矩及轉(zhuǎn)速軌跡曲線，以平衡起步過程的滑摩功和沖擊度等性能指標(biāo)。上述文獻(xiàn)［6-8］均采用數(shù)值求解方法獲得AMT或DCT車輛起步過程的最優(yōu)控制規(guī)律，但數(shù)值求解計(jì)算耗時(shí)較多，不便于將其直接移植應(yīng)用于車輛起步的實(shí)時(shí)控制器中。

針對(duì)AMT車輛起步的動(dòng)力學(xué)過程，以滑摩功、沖擊度和控制能量等的加權(quán)和作為優(yōu)化目標(biāo)，在滿足駕駛員起步意圖的終端約束條件下，構(gòu)建了發(fā)動(dòng)機(jī)與離合器間的最優(yōu)協(xié)調(diào)控制問題。并基于極小值原理將其轉(zhuǎn)化為等價(jià)的微分方程組的邊值問題，經(jīng)數(shù)學(xué)推理演算可得到最優(yōu)控制和狀態(tài)變量軌跡曲線的解析表達(dá)式。分析和比較基于解析求解方法和數(shù)值求解方法所得到的最優(yōu)控制、狀態(tài)變量的軌跡曲線，驗(yàn)證了解析求解方法更適用于實(shí)時(shí)控制系統(tǒng)中?；诳焖僭涂刂破鱎apid-ECU-UIM和Simulink/RTW 編譯環(huán)境，搭建了車輛起步控制的硬件在環(huán)仿真試驗(yàn)平臺(tái)，提出了基于解析求解方法的車輛起步最優(yōu)協(xié)調(diào)控制策略，開展了不同加權(quán)系數(shù)組合和不同節(jié)氣門開度條件下的硬件在環(huán)仿真試驗(yàn)以驗(yàn)證其有效性和實(shí)時(shí)性。

1 AMT車輛起步動(dòng)力學(xué)過程分析

1.1 AM T車輛起步過程分析

參照文獻(xiàn)［9］，AMT車輛起步過程可分為準(zhǔn)備期、半接合點(diǎn)前的滑摩期Ⅰ、半接合點(diǎn)后的滑摩期Ⅱ和轉(zhuǎn)速同步期4個(gè)階段。

1）準(zhǔn)備期：離合器逐漸接合以消除其主、從動(dòng)部分間的間隙直至開始接觸的過程；

2）半接合點(diǎn)前的滑摩期Ⅰ：隨著離合器壓力逐漸增大，其傳遞的摩擦轉(zhuǎn)矩也逐漸增大，但傳遞至驅(qū)動(dòng)輪的驅(qū)動(dòng)力矩仍小于車輛靜止阻力矩，車輛保持靜止不動(dòng)；

3）半接合點(diǎn)后的滑摩期Ⅱ：隨著離合器傳遞的摩擦轉(zhuǎn)矩逐漸增大并克服車輛靜止阻力矩，車輛開始移動(dòng)，離合器從動(dòng)部分的轉(zhuǎn)速也逐漸升高至與主動(dòng)部分同步；

4）轉(zhuǎn)速同步期：當(dāng)離合器主、從動(dòng)部分轉(zhuǎn)速完全同步之后，離合器由動(dòng)摩擦狀態(tài)切換至靜摩擦狀態(tài)，且離合器壓力繼續(xù)增加直至完全接合。

在準(zhǔn)備期和滑摩期Ⅰ這2個(gè)階段中，離合器的接合快慢并不會(huì)引起車輛的縱向沖擊，為滿足快速起步的要求，應(yīng)在發(fā)動(dòng)機(jī)不熄火的前提下盡快地接合離合器。在滑摩期Ⅱ，離合器接合速度較大，會(huì)引起發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速波動(dòng)較大且造成較大的車輛沖擊，影響起步平順性；離合器接合速度較慢，則會(huì)造成起步緩慢且延長離合器滑摩時(shí)間，增大離合器的滑摩功從而降低離合器使用壽命。在轉(zhuǎn)速同步期，離合器主、從動(dòng)部分轉(zhuǎn)速同步且離合器完全接合，故并不會(huì)因離合器的滑摩產(chǎn)生滑摩功，則可在滿足沖擊度的約束條件下盡快地將車速提升至目標(biāo)車速，完成整個(gè)起步過程。

基于AMT起步過程4個(gè)階段的機(jī)理分析可知，半接合點(diǎn)后的滑摩期Ⅱ中發(fā)動(dòng)機(jī)與離合器間的協(xié)調(diào)控制是影響車輛動(dòng)力性、經(jīng)濟(jì)性等起步品質(zhì)的關(guān)鍵。

1.2 AMT車輛起步動(dòng)力學(xué)模型

為便于AMT車輛起步控制策略的研究，采用集中參數(shù)建模，簡化后所建立的AMT起步動(dòng)力學(xué)模型如圖1所示［10］。

圖1 AMT車輛起步動(dòng)力學(xué)模型示意圖

圖1中符號(hào)定義如下：Ie為發(fā)動(dòng)機(jī)、離合器主動(dòng)部分等部件等效至發(fā)動(dòng)機(jī)端的當(dāng)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Ic為離合器從動(dòng)部分、變速器、主減速器、車輪及車身等部件等效至離合器從動(dòng)端的當(dāng)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Te為發(fā)動(dòng)機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩；Tc為離合器傳遞轉(zhuǎn)矩；Tf為等效至離合器從動(dòng)端的車輛行駛阻力矩；ωe為發(fā)動(dòng)機(jī)端轉(zhuǎn)速；ωc為離合器從動(dòng)端轉(zhuǎn)速。

AMT車輛起步過程半接合點(diǎn)后的滑摩期Ⅱ中傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為：

離合器的傳遞轉(zhuǎn)矩Tc可表示為［11］：

式中：μ為離合器摩擦片間的摩擦系數(shù)；z為摩擦片個(gè)數(shù)；R和r為摩擦片的外徑和內(nèi)徑；q為執(zhí)行機(jī)構(gòu)作用于摩擦片的單位面積壓力；TLc為離合器完全接合時(shí)所傳遞的慣性力矩。

等效至離合器從動(dòng)端的車輛行駛阻力矩為：

其中，滾動(dòng)阻力、空氣阻力和坡度阻力為：

式中：rw為車輪滾動(dòng)半徑；in為變速器起動(dòng)擋位的傳動(dòng)比；i0為主減速器的傳動(dòng)比；m為車質(zhì)量；g為重力加速度；f為滾動(dòng)阻力系數(shù)；θ為坡度角；CD為空氣阻力系數(shù)；A為車輛的迎風(fēng)面積；v為車速。

2 起步最優(yōu)協(xié)調(diào)控制問題

2.1 起步最優(yōu)協(xié)調(diào)控制問題的描述

選取發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速、離合器從動(dòng)端轉(zhuǎn)速和離合器傳遞轉(zhuǎn)矩等作為狀態(tài)變量，則狀態(tài)變量X可表示為：

選取發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)矩和離合器轉(zhuǎn)矩變化率作為控制變量，則控制變量U可表示為：

則可將起步動(dòng)力學(xué)方程（1）轉(zhuǎn)換成狀態(tài)方程的形式：

其中，

為適應(yīng)駕駛員的起步意圖，以駕駛員目標(biāo)節(jié)氣門開度下發(fā)動(dòng)機(jī)輸出最大轉(zhuǎn)矩時(shí)所對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)速為發(fā)動(dòng)機(jī)目標(biāo)轉(zhuǎn)速。因此，在離合器主、從動(dòng)部分的轉(zhuǎn)速同步時(shí)刻（即滑摩期Ⅱ的結(jié)束時(shí)刻），狀態(tài)變量x1需滿足如下邊界條件：

由離合器傳遞轉(zhuǎn)矩連續(xù)變化所引起的車輛沖擊度j可表示為：

由離合器摩擦片摩擦所產(chǎn)生的滑摩功W可表示為：

式中：t0和tf分別為滑摩期Ⅱ的開始和結(jié)束時(shí)刻。

為改善起步過程中離合器的使用壽命、起步平順性及控制器能耗等起步性能，選取滑摩功、沖擊度平方和控制能量消耗等的加權(quán)和作為優(yōu)化目標(biāo)J，其表達(dá)式為：

式中：Q1、Q2、Q3、Q4分別為優(yōu)化目標(biāo)中滑摩功、沖擊度平方項(xiàng)、控制變量u1和u2的平方項(xiàng)的加權(quán)系數(shù)。

2.2 起步最優(yōu)協(xié)調(diào)控制問題的求解

針對(duì)起步最優(yōu)協(xié)調(diào)控制問題，引入拉格朗日乘子向量λ=［λ1，λ2，λ3］T，并構(gòu)造廣義目標(biāo)泛函：

則Hamilton函數(shù)H（X，U，λ，t）為：

基于極小值原理可確定最優(yōu)控制、狀態(tài)及協(xié)狀態(tài)變量需滿足的最優(yōu)性一階必要條件，即狀態(tài)方程（8）～（10）、協(xié)狀態(tài)方程（17）～（19）和控制方程（20）～（21）。

協(xié)狀態(tài)方程：

控制方程：

在初始時(shí)刻t0引入初始邊值條件：

式中，we（t0）為發(fā)動(dòng)機(jī)怠速工況下的初始轉(zhuǎn)速；wc（t0）為零；Tc（t0）為等效至離合器從動(dòng)端的車輛靜止行駛阻力矩。

在結(jié)束時(shí)刻tf引入終了邊值條件：

同時(shí)，引入?yún)f(xié)狀態(tài)變量的橫截條件：

2.2.1 邊值問題的解析求解方法

針對(duì)基于極小值原理轉(zhuǎn)化而來的微分方程組邊值問題（即式（8）～（10））和式（17）～（24））進(jìn)行數(shù)學(xué)推導(dǎo)求解，以獲得最優(yōu)控制、狀態(tài)變量軌跡的解析表達(dá)式。

對(duì)式（19）進(jìn)行一階求導(dǎo)，并將式（8）（9）（17）（18）代入可得：

對(duì)式（25）進(jìn)行一階求導(dǎo)，并代入式（17）可得：

對(duì)式（26）進(jìn)行一階求導(dǎo)，并將式（10）和（21）代入可得：

式（27）是關(guān)于λ3的4階微分方程，可得其解析解為：

式中：C1、C2、C3、C4為待定常系數(shù)；k1的表達(dá)式如式（29）所示。

式中，k2的表達(dá)式為：

以式（28）所示的最優(yōu)協(xié)狀態(tài)變量λ*3的解析表達(dá)式為突破口，可逐一求解得到最優(yōu)控制變量u*1、u*2，最優(yōu)狀態(tài)變量x*1、x*2、x*3和最優(yōu)協(xié)狀態(tài)變量λ1*和λ*2的解析表達(dá)式。具體推導(dǎo)過程如式（31）～（40）所示。

將式（28）代入式（21）可得u2*的解析表達(dá)式：

根據(jù)式（20）即可得u*1的解析表達(dá)式：

聯(lián)合式（18）和式（32）可得λ*2的解析表達(dá)式：

式中，C5為待定系數(shù)。

將式（32）代入式（9）可得x*2的解析表達(dá)式：

式中，

聯(lián)合式（19）（28）（35）和（36）可解得x*1的解析表達(dá)式：

式中，

通過將邊值條件（22）～（23）、橫截條件（24）代入即可得到待定系數(shù)C1、C2、C3、C4、C5的值。

2.2.2 邊值問題的數(shù)值求解方法

打靶法是求解微分方程組邊值問題的一種有效數(shù)值求解方法，其實(shí)質(zhì)是將微分方程組的邊值問題轉(zhuǎn)化為初值問題進(jìn)行求解，并且通過不斷迭代調(diào)整未知的初始條件，使迭代后的計(jì)算末值滿足給定的終了時(shí)刻邊值條件。基于打靶法對(duì)前文中的微分方程組邊值問題開展數(shù)值求解的過程如圖2所示。結(jié)合已有的狀態(tài)變量初值條件和協(xié)狀態(tài)變量未知初始條件的猜測值，通過狀態(tài)方程、協(xié)狀態(tài)方程和控制方程等進(jìn)行數(shù)值積分計(jì)算得到狀態(tài)變量與協(xié)狀態(tài)變量的末值，并將計(jì)算末值代入終了時(shí)刻的邊界條件及橫截條件中計(jì)算比較，若偏差Δ在允許誤差ε的范圍內(nèi)，則結(jié)束迭代過程；若偏差Δ超出允許誤差ε的范圍，則通過偏微商矩陣更新協(xié)狀態(tài)變量初始條件的猜測值并重復(fù)上述過程。

圖2 打靶法求解過程框圖

2.3 解析解與數(shù)值解比較

以某款配備了5速AMT的中型轎車為研究對(duì)象對(duì)其起步過程進(jìn)行研究，其傳動(dòng)系統(tǒng)的主要參數(shù)見表1。

表1 傳動(dòng)系統(tǒng)的主要參數(shù)

在其起步過程中最優(yōu)控制和狀態(tài)變量軌跡曲線的求解過程中，優(yōu)化目標(biāo)中各項(xiàng)加權(quán)系數(shù)的選取是一個(gè)工程性很強(qiáng)的問題，一般依賴于專家經(jīng)驗(yàn)及實(shí)車標(biāo)定試驗(yàn)后的結(jié)果進(jìn)行調(diào)整選取?；诮?jīng)驗(yàn)，在節(jié)氣門開度為20%下，選取各加權(quán)系數(shù)為Q1=1、Q2=1、Q3=8和Q4=6。

在Matlab R2013b的編譯環(huán)境下分別采用解析和數(shù)值求解方法求得20%節(jié)氣門開度下的起步過程半接合點(diǎn)后的滑摩期Ⅱ中的最優(yōu)軌跡曲線，如圖3所示。

圖3 最優(yōu)控制軌跡解析解與數(shù)值解

離合器傳遞轉(zhuǎn)矩隨著接合壓力的逐漸增加而逐漸增大，離合器從動(dòng)端的轉(zhuǎn)速也由零開始逐漸增大至與發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速同步（即車速由零開始逐漸增大至起步完成）。在前半部分，因發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)矩仍大于離合器傳遞轉(zhuǎn)矩，故發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速仍保持上升趨勢；而在后半部分，為減小離合器的滑摩功，離合器傳遞轉(zhuǎn)矩迅速超過發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)矩，使發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速逐漸減小至與離合器從動(dòng)端轉(zhuǎn)速同步。對(duì)比圖3中2種求解方法得到的最優(yōu)軌跡曲線可知，兩者的最大相對(duì)誤差不超過0.2%?；诮馕龇ê蛿?shù)值法求解計(jì)算最優(yōu)軌跡曲線的時(shí)長分別為0.006 4 s和0.314 s，前者是后者的1/49，因此基于解析法的最優(yōu)軌跡曲線更適于實(shí)時(shí)控制系統(tǒng)的應(yīng)用。

3 AMT車輛起步硬件在環(huán)仿真試驗(yàn)

基于快速原型控制器Rapid-ECU-UIM 和Matlab/Simulink/RTW 平臺(tái)搭建了AMT車輛起步的硬件在環(huán)仿真試驗(yàn)平臺(tái)，并開展了不同加權(quán)系數(shù)組合及不同節(jié)氣門開度下的AMT起步仿真試驗(yàn)以驗(yàn)證基于解析解的起步最優(yōu)協(xié)調(diào)控制策略的有效性和實(shí)時(shí)性。

3.1 AMT起步的硬件在環(huán)仿真系統(tǒng)

基于快速原型控制器Rapid-ECU-UIM 和Matlab/Simulink/RTW 平臺(tái)所搭建的AMT起步硬件在環(huán)仿真平臺(tái)包括硬件和軟件兩部分。其中，硬件部分主要由快速原型控制器Rapid-ECUU1M、PC機(jī)、數(shù)據(jù)采集卡PCI-6024E等組成；軟件部分主要包括AMT車輛起步的整車實(shí)時(shí)仿真模型、快速原型控制器中的起步最優(yōu)協(xié)調(diào)控制模型及RTW 目標(biāo)環(huán)境等。AMT車輛起步的硬件在環(huán)仿真系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)框圖及實(shí)物圖如圖4、5。

圖4 硬件在環(huán)仿真試驗(yàn)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖

圖5 硬件在環(huán)仿真試驗(yàn)系統(tǒng)的實(shí)物圖

在AMT起步的硬件在環(huán)仿真試驗(yàn)中，PC2將基于解析求解方法的AMT起步最優(yōu)控制模型編譯成C文件并通過CAN總線下載至快速原型控制器Rapid-ECU-UIM中，將節(jié)氣門開度和加權(quán)系數(shù)等作為起步控制器的輸入?yún)?shù)；Rapid-ECU-UIM將求解得到的最優(yōu)控制和狀態(tài)變量的軌跡曲線通過PCI-6024E采集卡輸入至PC1中所構(gòu)建AMT車輛起步動(dòng)力學(xué)模型作為控制輸入；最后將仿真計(jì)算得到的數(shù)據(jù)反饋至控制器。

3.2 不同加權(quán)系數(shù)下的硬件在環(huán)仿真

在AMT車輛起步最優(yōu)協(xié)調(diào)控制策略的設(shè)計(jì)中，優(yōu)化目標(biāo)中滑摩功、沖擊度及控制能量等項(xiàng)的加權(quán)系數(shù)的不同體現(xiàn)了控制策略優(yōu)化的側(cè)重方向，會(huì)引起起步性能的變化。本小節(jié)通過保持優(yōu)化目標(biāo)中的加權(quán)系數(shù)Q2、Q3、Q4（即沖擊度平方和控制能量等項(xiàng)的加權(quán)系數(shù)）恒定且為1、8及6，通過改變Q1（滑摩功的加權(quán)系數(shù)）以分析優(yōu)化目標(biāo)中加權(quán)系數(shù)的選取對(duì)起步性能的影響。Q1分別取0.6、0.8和1的硬件在環(huán)仿真試驗(yàn)結(jié)果如圖6所示。

如圖6（a）和（b）所示，不同加權(quán)系數(shù)下，發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)矩、離合器傳遞轉(zhuǎn)矩變化平穩(wěn)，無明顯突變。且在前半階段發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)矩明顯大于離合器傳遞轉(zhuǎn)矩，發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速迅速上升；在后半階段離合器傳遞轉(zhuǎn)矩逐漸上升至超過發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)矩，則發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速迅速降低直至與離合器從動(dòng)端轉(zhuǎn)速同步以有效地減小滑摩功。如圖6（c）和（d）所示，隨著Q1的逐漸增大，即優(yōu)化目標(biāo)中滑摩功權(quán)重的逐漸增大，沖擊度的最大幅值逐漸增大，而總滑摩功則逐漸減小，具體數(shù)據(jù)見表2。

表2 不同加權(quán)系數(shù)下的沖擊度最大幅值與滑摩功

3.3 不同節(jié)氣門開度下的硬件在環(huán)仿真

在節(jié)氣門開度分別為20%和40%下進(jìn)行緩起步與快起步的硬件在環(huán)仿真，結(jié)果如圖7所示。

圖6 不同加權(quán)系數(shù)下的AMT起步仿真試驗(yàn)曲線

圖7 不同節(jié)氣門開度下的AMT起步仿真試驗(yàn)曲線

如圖7（a）和（b）所示，相比于20%節(jié)氣門開度，40%節(jié)氣門開度下起步要求更快，則發(fā)動(dòng)機(jī)需求轉(zhuǎn)矩更大，且目標(biāo)角速度也隨之增大。在節(jié)氣門開度20%和40%下發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速與離合器從動(dòng)端轉(zhuǎn)速分別在2 s和1.55 s完成同步，此時(shí)發(fā)動(dòng)機(jī)目標(biāo)角速度分別為104.7、146.5 rad/s。如圖7（c）和（d）所示，節(jié)氣門開度20%和40%下沖擊度均維持在較低水平，沖擊度最大幅值分別為1.89、3.23 m/s3，均小于10 m/s3；起步過程的滑摩功分別為5.78、10.49 kJ。

4 結(jié)論

1）針對(duì)AMT車輛起步的應(yīng)用要求，基于極小值原理推導(dǎo)了起步過程中最優(yōu)控制和狀態(tài)變量的解析表達(dá)式，提出了基于解析求解方法的發(fā)動(dòng)機(jī)與離合器的起步最優(yōu)協(xié)調(diào)控制策略并應(yīng)用于實(shí)時(shí)控制中，對(duì)于進(jìn)一步探索起步優(yōu)化方法有重要參考價(jià)值。

2）基于快速原型控制器Rapid-ECU-U1M和Matlab/Simulink/RTW 軟件平臺(tái)構(gòu)建了AMT起步的硬件在環(huán)仿真試驗(yàn)平臺(tái)，并在不同加權(quán)系數(shù)組合和不同節(jié)氣門開度下開展了AMT起步仿真，驗(yàn)證了所提出的最優(yōu)協(xié)調(diào)控制策略能滿足實(shí)時(shí)性要求。