一種貨運列車節(jié)能優(yōu)化方法研究*

柴 楊，劉 成，王青元，白寶雪，張桂南

（1 西南交通大學(xué) 電氣工程學(xué)院，成都 611756；2 中國鐵道科學(xué)研究院集團(tuán)有限公司 機(jī)車車輛研究所，北京 100081）

隨著我國鐵路運輸規(guī)模的不斷擴(kuò)大，如何削減鐵路系統(tǒng)的能源消耗成為重要問題。因此，研究如何實現(xiàn)貨運列車的節(jié)能運行，對降低鐵路運輸成本具有關(guān)鍵意義。1970年，F(xiàn)iguera[1]提出列車在以平緩坡道為主的短途區(qū)間運行時，列車優(yōu)化操縱應(yīng)包括牽引、惰行以及制動3個階段。后來，Milroy[2]以最優(yōu)控制理論為基礎(chǔ)，利用Pontrayagin極大值原理推導(dǎo)列車最優(yōu)的操縱工況序列為全力牽引、惰行和最大制動3種不同的工況組合而成。丁勇[3]提出了基于目標(biāo)速度的列車控制策略，改善了定時約束下的列車節(jié)能操縱。王青元[4]等將再生制動與空氣制動相分離，提出了考慮再生制動能量利用和牽引系統(tǒng)效率的高速列車節(jié)能最優(yōu)操縱優(yōu)化算法。Lee[5]發(fā)現(xiàn)在長距離運行時，還會存在區(qū)間恒速工況。Liu R F[6]發(fā)現(xiàn)在準(zhǔn)點和限速約束下，還存在部分制動工況，并討論了5種最優(yōu)工況的切換時機(jī)。

基于極值原理推導(dǎo)，以伴隨變量尋優(yōu)間接求解列車節(jié)能最優(yōu)控制問題，優(yōu)勢在于，解釋了有限種操縱工況的最優(yōu)性及應(yīng)用時機(jī)，這與優(yōu)秀司機(jī)操縱經(jīng)驗高度一致。但基于極大值原理的速度軌跡最優(yōu)化間接求解法涉及大量的微分計算及迭代求解，算法復(fù)雜，且計算量較大[7]。因此，一類數(shù)學(xué)規(guī)劃方法被應(yīng)用到列車運行優(yōu)化控制，其特點在于將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)規(guī)劃問題進(jìn)行求解，可避免復(fù)雜的理論推導(dǎo)，計算量在一定程度上可根據(jù)求解精度需求進(jìn)行調(diào)整。荷蘭代爾夫特理工大學(xué)的Wang Y[8-9]等將高斯偽譜法、混合整數(shù)規(guī)劃等方法引入列車節(jié)能優(yōu)化操縱中，并應(yīng)用于地鐵線路。唐海川[10]將列車車速離散化，將線路劃分成子區(qū)間，應(yīng)用動態(tài)規(guī)劃算法進(jìn)行在線求解。Zhang[11]以減小貨運列車車鉤間作用力、牽引能耗、提高速度跟蹤性能為目標(biāo)，將列車節(jié)能優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為二次規(guī)劃問題進(jìn)行求解。但這類數(shù)學(xué)規(guī)劃方法在最底層尋優(yōu)往往采用非線性規(guī)劃，其空間離散求解的本質(zhì)決定了其無法得到恒速區(qū)段的奇異控制工況，取而代之的是一定速度波動下的準(zhǔn)恒速控制。此外，上述研究都忽略了電分相存在時不可使用牽引工況的實際工程應(yīng)用情況。

嘗試將最優(yōu)控制理論得到的有限工況集及奇異控制工況應(yīng)用優(yōu)勢，與數(shù)學(xué)規(guī)劃求解高效靈活的特點相結(jié)合，同時考慮電氣化鐵路電分相對操縱工況的影響，提出了一種基于極大值原理分析結(jié)論的動態(tài)規(guī)劃算法，在保證求解精度的同時實現(xiàn)快速優(yōu)化，可有效降低列車運行能耗，實現(xiàn)全局意義的節(jié)能運行優(yōu)化。

1 問題描述與建模

1.1 列車節(jié)能運行優(yōu)化問題

列車節(jié)能運行優(yōu)化問題可以做如下描述：

對于給的列車車型與列車運行線路，列車由靜止出發(fā)，在所給運行時間的約束下到達(dá)終點站并停車。在滿足列車安全、平穩(wěn)運行的前提下，建立列車節(jié)能優(yōu)化操縱模型，采用特定求解算法進(jìn)行優(yōu)化、計算求解，給出列車操縱策略，保證列車運行能耗最少。

圖1 列車節(jié)能運行優(yōu)化框圖

1.2 列車節(jié)能運行優(yōu)化模型

列車節(jié)能運行優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)為：

式中：S0為運行區(qū)間起點位置；S1為運行區(qū)間終點位置；Ft為列車所發(fā)揮的牽引力；Fe為列車發(fā)揮的電制動力；ηt、ηe分別對應(yīng)于列車牽引、電制動工況下的整車機(jī)電效率的等效值；α為列車再生制動能量利用率。

列車運行速度應(yīng)滿足：

式(2)為列車在起車點與停車點的關(guān)鍵點約束；式(3)中，vlim表示列車的限速。

列車運行時分應(yīng)滿足：

式中：T為區(qū)間的計劃總運行時分；v(S)為位置S處的速度；δ為最大允許時分偏差，δ＞0。

列車的運動方程如下：

式中：M為列車質(zhì)量；γ為列車回轉(zhuǎn)質(zhì)量系數(shù)；Fb為列車所受總制動力；W0為列車所受基本運行阻力；Wj為列車所受線路附加阻力。

列車受力應(yīng)滿足：

式中：Ft，max、Fb，max分別為當(dāng)前運行速度下能施加的最大牽引力、制動力；SD為電分相區(qū)域集合；g為重力加速度，a、b、c為基本阻力系數(shù)，r為線路曲線半徑i(x)為坡度千分?jǐn)?shù)。

列車節(jié)能運行優(yōu)化模型可由式(1)～式(12)建立。

2 動態(tài)規(guī)劃求解

2.1 列車節(jié)能運行優(yōu)化理論

根據(jù)極大值原理的分析結(jié)論，要使列車在規(guī)定時間內(nèi)的區(qū)間運行能耗最小，列車的運行操縱方式應(yīng)由最大牽引、恒速、惰行和最大制動4種工況組成[2]。對于簡單線路，典型的列車節(jié)能最優(yōu)操縱過程如圖2所示：

圖2 典型列車節(jié)能最優(yōu)操縱方式示意圖

2.2 動態(tài)規(guī)劃求解算法設(shè)計

文中的優(yōu)化方法基于列車節(jié)能操縱的基本原理，利用列車動力學(xué)模型，設(shè)定列車恒速工況的速度間隔實現(xiàn)離散化，這種正向推導(dǎo)的方法與其他動態(tài)規(guī)劃方法相比，狀態(tài)生成數(shù)量要大大減少，狀態(tài)空間更符合實際情況，從而使得算法計算量減少，有利于快速求解。做出定義如下：

(1) 狀態(tài)：用列車所處的位置以及運行速度表示，記為G(s，v)；

(2) 決策變量：列車下一步可采取的操縱工況，記為u，u∈{u1，u2…，un}；

(3) 狀態(tài)轉(zhuǎn)移：由當(dāng)前狀態(tài)確定下一狀態(tài)的過程。取決因素為決策變量，記為Gq=f(Gp，ui)，列車行駛方向正向為狀態(tài)轉(zhuǎn)移的方向；

(4) 狀態(tài)轉(zhuǎn)移成本：列車在一個狀態(tài)轉(zhuǎn)移或相連的若干狀態(tài)轉(zhuǎn)移中所付出的成本由能耗E、時間消耗T構(gòu)成，記為D=E+λT，其中λ為權(quán)重系數(shù)；

(5)狀態(tài)空間：所有列車狀態(tài)所構(gòu)成的全部集合；

(6) 狀態(tài)轉(zhuǎn)移路線：使列車由初狀態(tài)到末狀態(tài)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移的集合。

綜上，在求解列車的節(jié)能最優(yōu)操縱方式時，需要確定列車可能到達(dá)的狀態(tài)。然后求解使?fàn)顟B(tài)轉(zhuǎn)移成本最小的狀態(tài)轉(zhuǎn)移路線，得到最優(yōu)決策變量集合，即成本最小的操縱方式。

文中的優(yōu)化算法可以通過不斷調(diào)整能耗、時間的權(quán)重系數(shù)進(jìn)行迭代計算，最終使最優(yōu)操縱方式在時間成本滿足總運行時間約束前提下實現(xiàn)成本最小，即為在給定時間約束下的列車操縱方式。

2.2.1確定全部狀態(tài)空間

建立以位置為橫軸，以速度為縱軸的直角坐標(biāo)系，狀態(tài)可用坐標(biāo)系中的點（位置，速度）表示，其中，原點表示列車在始發(fā)站的狀態(tài)。定義單位速度Δv，令列車只能以Δv的整數(shù)倍速度作為恒速運行時的巡航速度，即允許巡航速度集為vCR，其中：

考慮到實際列車具有一定長度，將線路限速以位置-速度關(guān)系繪于坐標(biāo)系中。其中，在線路限速上升處，為保證列車車尾不超過限速，在列車車尾駛離低限速區(qū)段時才允許加速運行，故對限速上升處進(jìn)行預(yù)處理，將低限速區(qū)向列車行駛方向延長L，如圖3所示。

圖3 限速處理示意圖

在本算法的動態(tài)規(guī)劃狀態(tài)空間確定的過程中，引入了最優(yōu)操縱優(yōu)化的結(jié)論，定義了單位速度為Δv，以Δv為依據(jù)，按照其整數(shù)倍劃分網(wǎng)格，將其作為巡航速度，繪制列車恒速曲線，從起車以及限速升高位置正向繪制全力牽引曲線，從停車以及限速降低位置反向繪制全力制動曲線。在繪制完成后，以列車的制動曲線為基礎(chǔ)，按照Δv的間隔，反向繪制列車惰行曲線。所有曲線繪制完畢后，分別代表了4種不同的操縱工況，全線曲線之交點作為動態(tài)規(guī)劃算法的狀態(tài)點，所有的狀態(tài)點構(gòu)成了狀態(tài)空間。若線路存在電分相，電分相區(qū)域內(nèi)牽引曲線將被刪除，從電分相始端的牽引曲線處向電分相末端繪制惰行曲線，再從惰行曲線末端繪制牽引曲線，如圖4中第2區(qū)間所示；若電分相區(qū)域存在制動曲線，則無需處理，如圖4中第3區(qū)間所示；其他情況則在電分相起止端的惰行曲線處向電分相兩側(cè)添加牽引曲線，如圖4中第1區(qū)間所示。

求得狀態(tài)空間后，兩相鄰狀態(tài)間的曲線唯一確定一個狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程，根據(jù)能耗計算公式以及列車運動方程式(6)、式(7)求得對應(yīng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移成本。能耗計算公式如式（13）：

圖4 狀態(tài)空間求解示意圖

2.2.2建立動態(tài)規(guī)劃遞推函數(shù)

動態(tài)規(guī)劃優(yōu)化目標(biāo)使總狀態(tài)轉(zhuǎn)移成本最小，即：

式中：EK、TK分別為某個狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程中的能耗與時間成本，N對應(yīng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移路線中初狀態(tài)到末狀態(tài)之間狀態(tài)轉(zhuǎn)移總次數(shù)，每一個狀態(tài)轉(zhuǎn)移路線都對應(yīng)一個確定的N值。

定義從狀態(tài)轉(zhuǎn)移到第p狀態(tài)點的最小能耗-時間成本表示為Dp，則：

式中：M為狀態(tài)轉(zhuǎn)移路線中由列車初狀態(tài)到某一p狀態(tài)之間狀態(tài)轉(zhuǎn)移總次數(shù)。

從p狀態(tài)到q狀態(tài)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移對應(yīng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移成本記為：

式中：Epq、Tpq分別為p狀態(tài)點到q狀態(tài)點狀態(tài)轉(zhuǎn)移的能耗與時間成本。

則最小狀態(tài)轉(zhuǎn)移成本的遞推關(guān)系：

式中：Mq為所有能夠通過一次狀態(tài)轉(zhuǎn)移到q的狀態(tài)點的集合；D0為初狀態(tài)點對應(yīng)的最小狀態(tài)轉(zhuǎn)移成本。

3 仿真案例

為驗證文中所構(gòu)建的貨運列車優(yōu)化算法的有效性，在MATLAB環(huán)境下進(jìn)行優(yōu)化算法仿真。為使仿真盡量貼近應(yīng)用實際，本節(jié)選用目前朔黃鐵路實際運行的HXD1型電力機(jī)車牽引的貨運列車進(jìn)行仿真，仿真所用車輛為C80型貨運車輛，機(jī)車、車輛和編組信息分別如表1～表3所示。

表1 HXD1型機(jī)車參數(shù)

表2 C80型貨車參數(shù)

表3 編組數(shù)據(jù)

HXD1電力機(jī)車牽引控制手柄的最大級位為13級，級間可平滑調(diào)節(jié)，軸重25 t時的牽引特性如式18所示。

HXD1型電力機(jī)車的動力制動為再生制動，司機(jī)控制器最大手柄級位為12級，級間可平滑調(diào)節(jié)。當(dāng)列車運行在復(fù)雜線路上時，司機(jī)可根據(jù)制動力需求調(diào)節(jié)機(jī)車動力制動力，實現(xiàn)列車調(diào)速運行。軸重為25 t時，HXD1型電力機(jī)車的再生電制動特性公式如式19所示。

采用的仿真線路是有代表性的朔黃鐵路中西柏坡至肅寧北區(qū)段，運行區(qū)段線路全長165.271 km，設(shè)定時刻表規(guī)定的運行時間為9 577 s。同時，設(shè)定速度間隔為5 km/h、最低恒速速度為20 km/h，文中所述的動態(tài)規(guī)劃算法所形成的狀態(tài)空間如圖5所示。其中：藍(lán)色惰行曲線由制動曲線和恒速曲線的交點反向計算惰行而得出。

圖5 列車全部狀態(tài)空間

在上述仿真條件下，將實際運行時間作為計劃總運行時間，根據(jù)仿真結(jié)果，列車運行速度距離曲線如圖6所示。其中，紅色曲線為牽引工況，紫色曲線代表恒速工況，藍(lán)色曲線代表惰行工況，黑色曲線代表制動工況。仿真相關(guān)結(jié)果參數(shù)如表4所示。

表4 列車運行時間與能耗對比

圖6 列車運行速度距離曲線

分析圖6中的優(yōu)化所得曲線，可以發(fā)現(xiàn)其運行方式與最優(yōu)操縱理論完全相符，起車后在安全平穩(wěn)限制下全力加速運行，避免了提前惰行，使列車有更多富裕時間在制動停車前實現(xiàn)長距離惰行，達(dá)到節(jié)能的目的。如在K67之后，列車充分利用前方線路為長距離下坡道的優(yōu)勢，采用了長時間的惰行工況。直到前方出現(xiàn)低限速，進(jìn)行調(diào)速制動。通過低限速后，在考慮列車長度，保證車尾不超限速的情況下，采用全力牽引工況，使列車更早到達(dá)較高運行速度。在達(dá)到較高的速度水平后，再利用前方以下坡為主的起伏坡道，惰行節(jié)能。直至K161處，進(jìn)行停車制動。

因此，優(yōu)化結(jié)果在經(jīng)過大下坡道前保持較低的入坡速度，從而在進(jìn)入大下坡道時通過惰行，充分利用勢能使列車加速。而實車運行時由于入坡速度較大，使列車在大上坡道運行時需要通過制動讓列車不超速，造成一定能量浪費。

最后，取不同的單位速度Δv進(jìn)行優(yōu)化并進(jìn)行結(jié)果的對比，對比結(jié)果如表5所示。當(dāng)Δv為2.5 km/h時，本算法耗時為463 s，計算時間較長，但牽引能耗最低。隨著Δv的不斷增大，算法耗時逐減小，但優(yōu)化結(jié)果的牽引能耗也在增大。因此，若設(shè)定較大的單位速度Δv，計算時間大大減少，同時保證了一定的節(jié)能效果。本算法具有一定的靈活性，通過設(shè)定合適的單位速度，可以在節(jié)能效果與算法耗時上達(dá)到一個平衡，以滿足工程上的不同需求。

表5 不同單位速度下的優(yōu)化結(jié)果對比

4 結(jié)論

設(shè)計了貨運列車優(yōu)化操縱算法，并在MATLAB環(huán)境下對算法進(jìn)行了一系列的驗證。

（1）設(shè)計了一種基于節(jié)能最優(yōu)控制規(guī)則結(jié)論的貨運列車動態(tài)規(guī)劃算法，在保證列車總運行時間不變情況下，實現(xiàn)了全線的最優(yōu)節(jié)能運行操縱策略優(yōu)化。同時，考慮電分相情況，使本優(yōu)化方法較好的應(yīng)用于存在電分相的電氣化鐵路。

（2）以HXD1型電力機(jī)車牽引的貨運列車為仿真車型，以朔黃鐵路西柏坡至肅寧北區(qū)段作為仿真線路，結(jié)果顯示本算法具有較好的節(jié)能性與適用性。

（3）僅在MATLAB環(huán)境下對算法進(jìn)行了驗證，但是為了將算法用于貨運列車輔助駕駛乃至自動駕駛系統(tǒng)等工程環(huán)境中，需進(jìn)行算法的移植與工程應(yīng)用優(yōu)化。