V形布局地形上不同頻率入射波的布拉格共振特性研究

涂俊豪，陶愛峰，蘇俊瑋，徐 嘯，張海明

（1.海岸災(zāi)害及防護(hù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（河海大學(xué)），江蘇 南京 210024；2.河海大學(xué) 港口海岸與近海工程學(xué)院，江蘇 南京 210024）

0 引言

由于能源短缺問題日益嚴(yán)重，大力發(fā)展可再生能源成為世界各國(guó)的共識(shí)。波浪能具有環(huán)保可再生、能量密度高等優(yōu)勢(shì)，開發(fā)利用波浪能，成為解決能源問題的重要突破口。人們對(duì)波浪能利用的研究已有百年歷史，大多數(shù)學(xué)者通過對(duì)波能發(fā)電裝置的改進(jìn)和陣列布局優(yōu)化來提高發(fā)電裝置的發(fā) 電 效 率[1]～[5]。近 年 來，有 學(xué) 者 發(fā) 現(xiàn)，可 以 通 過 布 拉格共振來提高波浪能量密度，從而來提高發(fā)電裝置的發(fā)電效率。

1915年，布拉格父子發(fā)現(xiàn)，當(dāng)X射線的波長(zhǎng)為晶體間距的兩倍時(shí)，X射線的反射最強(qiáng)，這種波列的相關(guān)干涉，被稱為布拉格共振[6]。Davies A G[7]發(fā)現(xiàn)，特定波長(zhǎng)的表面重力波會(huì)與連續(xù)的正弦周期地形發(fā)生共振，即使沙波波高不大，表面重力波的振幅也會(huì)在發(fā)生共振以后大幅增加。Elandt R B[8]發(fā)現(xiàn)，可以借助布拉格共振驅(qū)動(dòng)雙層密度流體的表面波能量向界面波傳遞，從而保護(hù)浮式建筑物；同時(shí)，Elandt R B提出，可以利用布拉格共振，讓表面重力波的能量匯聚，從而提高波浪能量密度和發(fā)電裝置的發(fā)電效率。Tao A[9]通過波浪水槽試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，利用布拉格共振來提高波浪能量的密度，可以將發(fā)電裝置的發(fā)電功率提升10倍以上。蘇俊瑋[10]基于高階譜方法發(fā)現(xiàn)，當(dāng)?shù)匦纬蔞形布局的連續(xù)正弦時(shí)，波浪與地形發(fā)生布拉格共振反射后，地形前方會(huì)產(chǎn)生聚焦效應(yīng)，波浪振幅增幅較二維地形顯著增大。但是，該研究只考慮了共振最強(qiáng)狀態(tài)對(duì)應(yīng)的入射波布拉格共振引發(fā)的波能聚焦特性，而真實(shí)的波浪由不同頻率的波組成。

因此，本文采用文獻(xiàn)[10]中的數(shù)學(xué)模型進(jìn)一步研究了在二維布拉格共振的共振主頻附近，V形布局地形在不同頻率入射波下 （保持地形波陡與入射波波陡不變）的布拉格共振聚焦特性，研究的成果可為布拉格共振發(fā)電的實(shí)際應(yīng)用提供理論參考。

1 波浪與地形的耦合模型及驗(yàn)證

利用不同頻率的規(guī)則波進(jìn)行正向入射和斜向入射（以 θ=19.47°為例，其中 θ為地形法線和入射波的夾角），以復(fù)演文獻(xiàn)[11]中的兩組布拉格共振數(shù)值模擬試驗(yàn)，并求得不同頻率下的反射系數(shù)R，將模擬結(jié)果與文獻(xiàn)[11]的攝動(dòng)理論結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果見圖1。從圖1可以看出，數(shù)值模擬結(jié)果與理論曲線吻合良好，證實(shí)了模型計(jì)算結(jié)果的可靠性。

圖1 不同頻率的布拉格共振反射系數(shù)Fig.1 Bragg resonance reflection coefficients at different frequencies

2 數(shù)值模擬

本節(jié)將具體介紹本次模擬的基本參數(shù)、入射波參數(shù)、地形參數(shù)和模擬組次的設(shè)置情況。下文中：kx為入射波x方向上的波數(shù)；kb為地形波數(shù)；T，A，L和k分別為入射波的周期、振幅、波長(zhǎng)和波數(shù)；d為地形振幅；h為水深。

2.1 模型基本參數(shù)

模型計(jì)算區(qū)域的大小為32 m×32 m，共512×512個(gè)計(jì)算節(jié)點(diǎn)。按每周期T/Δt=64的時(shí)間步長(zhǎng)進(jìn)行模擬，共模擬波浪傳播TS/T=20個(gè)周期。相關(guān)參數(shù)按照文獻(xiàn)[11]進(jìn)行設(shè)置，非線性階數(shù)M=3。

2.2 入射波設(shè)置

在本文中，入射波的初始波面和勢(shì)函數(shù)按微幅波理論進(jìn)行計(jì)算，同時(shí)保證各組頻率下入射波的波陡相等，即kA=0.05。按長(zhǎng)度轉(zhuǎn)換無量綱參數(shù)L′/L=2π/32，將 所 有 參 數(shù) 無 量 綱 化。

2.3 地形設(shè)置

根據(jù)文獻(xiàn)[10]的研究，各組頻率入射波對(duì)應(yīng)的V形 布 局 地 形 的 夾 角 α為90～180°。d，h，kb滿 足d/h=0.31，kbd=0.16。圖2為V形地形在空間布局的立面圖（總體以y=16 m對(duì)稱，以V形地形的頂點(diǎn)為x方向的坐標(biāo)原點(diǎn)，并向著來波方向增大，ξ為地形高度）。

圖2 起伏地形空間布局立面圖Fig.2 Stereoscopic schematic diagram of rippled bottom spatial layout

本研究通過改變2kx/kb來改變?nèi)肷洳ǖ念l率，考慮到大部分海浪譜為單峰譜，且譜寬較窄，所 以 當(dāng)2kx/kb＞1.1或2kx/kb＜0.9時(shí)，布 拉 格 共 振 的波浪反射率 （反射率的大小等于反射波高與入射波高的比值）雖然會(huì)增大但仍較小，而且對(duì)應(yīng)頻率的入射波能量較小。因此，本文研究的頻率為2kx/kb=0.9～1.1。

2.4 模擬組次

綜合前文討論，本文研究的入射波頻率為2kx/kb=0.9～1.1，從中均勻取17個(gè)頻率，研究的V形布局地形的夾角α為90～180°，從中取15個(gè)角度，共構(gòu)成255組模擬組次。

3 結(jié)果與分析

入射波會(huì)與連續(xù)正弦地形發(fā)生共振反射，反射波經(jīng)由V形布局地形匯聚，在地形前方與入射波疊加，形成不完全立波。振幅顯著增大的點(diǎn)組成的區(qū)域，被稱為波能聚焦區(qū)。20個(gè)周期內(nèi)有效波高Hs與初始波高H比值（Hs/H）最大的點(diǎn)被稱為波能聚焦點(diǎn)。通過對(duì)比各模擬組次波能聚焦點(diǎn)的Hs/H，找出各頻率入射波對(duì)應(yīng)V形布局地形的最優(yōu)夾角，并探究最優(yōu)V形布局地形夾角下，各頻率入射波的波能聚焦區(qū)分布及波能聚焦點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)特性。

3.1 入射波對(duì)應(yīng)V形布局地形的最優(yōu)夾角

根據(jù)模擬結(jié)果，計(jì)算出模擬計(jì)算區(qū)域內(nèi)512×512個(gè)計(jì)算點(diǎn)20個(gè)周期內(nèi)的有效波高，各模擬組次波能聚焦點(diǎn)的Hs/H如圖3所示（為了清晰地表示波能聚焦點(diǎn)的Hs/H與頻率和V形布局地形夾角 的 關(guān) 系，以2kx/kb=0.9，0.95，1，1.05，1.1的5組頻率入射波的模擬組次結(jié)果為例畫圖）。從圖3可以看出：隨著V形布局地形夾角 α的逐漸增大，波能聚焦點(diǎn)的Hs/H先增大后減??；當(dāng)2kx/kb偏離1較少時(shí)，波能聚焦點(diǎn)的Hs/H最大值對(duì)應(yīng)的 α=162.24°；當(dāng)2kx/kb偏離1較多時(shí)，波能聚焦點(diǎn)的Hs/H最大值對(duì)應(yīng)的 α不等于162.24°。

圖3 波能聚焦點(diǎn)的Hs/H隨α的變化曲線Fig.3 The variation of Hs/H at wave energy focusing point as a function ofα

不同 α下，波能聚焦點(diǎn)的Hs/H隨入射波頻率的變化曲線如圖4所示。從圖4可以看出：當(dāng)α=90°時(shí)，入射波的反射率為零，各頻率入射波的波能聚焦點(diǎn)的Hs/H均很?。辉诓煌?α下，波能聚焦點(diǎn)的Hs/H均隨著頻率的增大而呈現(xiàn)出先增大后減小的變化趨勢(shì)。結(jié)合圖1和文獻(xiàn)[10]的研究可知，當(dāng)2kx/kb偏離1較大或 α接近90°時(shí)，波浪的反射率較小，布拉格共振作用較弱，波能聚焦點(diǎn)的Hs/H均較小，模擬結(jié)果易受到水深變化引起的波浪非線性作用等因素的影響，因此，模擬結(jié)果不能較好地反映布拉格共振的特性。由此可以得到結(jié)論，在本文的研究頻率范圍內(nèi)，各頻率入射波對(duì)應(yīng)V形布局地形的最優(yōu)夾角均相等，且α=162.24°。因此，本文將進(jìn)一步研究最優(yōu)V形布局地形夾角下，不同頻率入射波的布拉格共振特性。

圖4 波能聚焦點(diǎn)的Hs/H隨入射波頻率的變化曲線Fig.4 The variation of Hs/H at wave energy focusing point as a function of incident wave frequency

3.2 入射波的波能聚焦區(qū)的Hs/H分布

通過統(tǒng)計(jì)計(jì)算區(qū)域內(nèi)各計(jì)算點(diǎn)20個(gè)周期內(nèi)的波動(dòng)數(shù)據(jù)，得到各計(jì)算點(diǎn)的有效波高，將各點(diǎn)的有效波高與初始波高進(jìn)行對(duì)比，可知各點(diǎn)的Hs/H如圖5所示。從圖5可以看出：當(dāng)2kx/kb偏離1較大時(shí)，波高增大區(qū)域主要集中在地形上方；當(dāng)2kx/kb接近1時(shí)，布拉格共振作用較強(qiáng)，大量反射波由V形布局地形聚焦后，在地形前方形成波能聚焦區(qū)。由于地形對(duì)稱布置，發(fā)生布拉格共振反射時(shí)，有效波高分布也以y=16 m為對(duì)稱軸對(duì)稱分布。波浪由V形布局地形反射以后，能量向?qū)ΨQ軸聚焦，因此對(duì)稱軸上的波能聚焦區(qū)的Hs/H最大，并向著兩側(cè)逐漸降低，波能聚焦點(diǎn)的位置在對(duì)稱軸上。因此，本文將繼續(xù)研究對(duì)稱軸上的波能聚焦點(diǎn)的Hs/H分布。

圖5 不同頻率入射波的波能聚焦區(qū)的Hs/H分布Fig.5 Spatial distribution of Hs/H within the wave energy focusing region at different incident wave frequencies

在對(duì)稱軸上-2.5～22.5 m的范圍內(nèi)，各計(jì)算點(diǎn)的有效波高如圖6所示（以地形結(jié)束位置為0，地形前方為正）。從圖6可以看出：當(dāng)2kx/kb接近1時(shí)，布拉格共振反射率較大，地形前方有一系列波高明顯增大且Hs/H相近的點(diǎn)，這些點(diǎn)分布在對(duì)稱軸上5 m（對(duì)稱軸上地形起始邊界位置）后的第1～15個(gè)波峰點(diǎn)之間；當(dāng)2kx/kb偏離1較大時(shí)，布拉格共振強(qiáng)度和反射率均較低，地形前方的Hs/H沒有明顯增大，整個(gè)計(jì)算區(qū)域內(nèi)Hs/H最大點(diǎn)在地形上方，這是因?yàn)樗钭兓a(chǎn)生的波浪非線性作用對(duì)波高的影響較大，故本文不作分析。由此推測(cè)，若入射波是不規(guī)則波，則波能聚焦點(diǎn)在V形布局對(duì)稱軸上x=5～12 m處。

圖6 對(duì)稱軸上-2.5～25 m之間的計(jì)算點(diǎn)的Hs/H分布Fig.6 Hs/H distribution on symmetrical axis between-2.5～25 m

3.3 波能聚焦點(diǎn)的位置及運(yùn)動(dòng)特性

當(dāng)α=162.24°時(shí)，不同頻率入射波的波能聚焦點(diǎn)的位置如圖7所示（以地形結(jié)束位置為0，地形前方為正）。

圖7 最優(yōu)V形布局地形夾角下，不同頻率入射波的波能聚焦點(diǎn)的位置Fig.7 The positions of wave energy focusing point at different incident wave frequencies under the condition of optimal V-shaped bottom angle

從圖7可以看出：當(dāng)2kx/kb＜1時(shí)，隨著2kx/kb逐漸增大，波能聚焦點(diǎn)的Hs/H逐漸增大，波能聚焦點(diǎn)的位置逐漸從地形上方向地形前方移動(dòng)；當(dāng)2kx/kb＞1時(shí)，隨著2kx/kb逐漸增大，波能聚焦點(diǎn)的Hs/H逐漸減小，波能聚焦點(diǎn)的位置逐漸靠近地形；當(dāng)0.925≤2kx/kb＜1.05時(shí)，波能聚焦點(diǎn)在對(duì)稱軸上x=10 m附近，此時(shí)波能聚焦點(diǎn)的Hs/H最大，且波能聚焦點(diǎn)的位置在地形前方相差不大。因此，下文將繼續(xù)討論該頻域內(nèi)波能聚焦點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)特性（以2kx/kb=0.95，1和1.05時(shí) 為 例）。

圖8為波能聚焦點(diǎn)的波面時(shí)間序列圖（η為波面高程）。當(dāng)波能聚焦點(diǎn)處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，每相鄰周期的波峰值不相等。因此，本文選取20個(gè)周期內(nèi)各計(jì)算點(diǎn)的有效波高來反映各點(diǎn)的能量大小。波能聚焦點(diǎn)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)所需時(shí)間與穩(wěn)定狀態(tài)的Hs/H值成正比，穩(wěn)定狀態(tài)的波高增幅越大，達(dá)到穩(wěn)定所需的時(shí)間越長(zhǎng)。

圖8 波能聚焦點(diǎn)的波面時(shí)間序列Fig.8 Time series of free-surface elevation at wave energy focusing point

4 結(jié)論

本文基于高階譜方法，討論了不同V形布局地形對(duì)不同頻率入射波的影響特性，找出了各頻率入射波對(duì)應(yīng)的最優(yōu)V形布局地形夾角，并探究了最優(yōu)V形布局地形夾角下，各頻率入射波的波能聚焦區(qū)分布及波能聚焦點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)特性，得到以下結(jié)論。

①對(duì)于不同頻率的入射波，隨著V形布局地形夾角 α的增大，波能聚焦點(diǎn)的Hs/H呈現(xiàn)出先增大后減小的變化趨勢(shì)，并且當(dāng) α=162.24°時(shí)，各頻率入射波的波能聚焦點(diǎn)的Hs/H均達(dá)到最大，因此，各頻率入射波的最優(yōu)V形布局地形夾角為162.24°。

②在最優(yōu)V形布局地形夾角下，各頻率入射波的波能聚焦區(qū)均對(duì)稱分布，且對(duì)稱軸上的波能聚焦區(qū)計(jì)算點(diǎn)的Hs/H最大。當(dāng)2kx/kb偏離1較大時(shí)，波能聚焦區(qū)主要分布在地形上方；當(dāng)2kx/kb接近1時(shí)，波能聚焦區(qū)主要分布在地形前方。

③當(dāng)2kx/kb接近1時(shí)，在波能聚焦區(qū)對(duì)稱軸上存在一系列增幅明顯增大且增大倍數(shù)相近的計(jì)算點(diǎn)，這些計(jì)算點(diǎn)分布在15個(gè)立波波長(zhǎng)范圍內(nèi)，且波能聚焦點(diǎn)位于x=10 m附近；當(dāng)2kx/kb偏離1較大時(shí)，波能聚焦點(diǎn)位于地形上方。

本文只研究了V形布局地形下不同頻率規(guī)則波的布拉格共振特性，不規(guī)則波可以看成由多組不同頻率規(guī)則波按不同海浪譜組合而成。當(dāng)入射波為不規(guī)則波時(shí)，V形布局地形上的布拉格共振特性，還有待探討。