帶支撐粘彈性阻尼器耗能框架結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動(dòng)分析

張 敏, 付 熊, 陳鈺雪, 邵海浪

(1.江西科技師范大學(xué) 建筑工程學(xué)院，南昌 330013； 2.廣西科技大學(xué)，土木建筑工程學(xué)院，柳州 545006)

1 引 言

粘彈性阻尼器是一種被動(dòng)耗能減震裝置，由于其安裝方便、性能穩(wěn)定、耗能能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，在土木工程領(lǐng)域廣泛使用。文獻(xiàn)[1,2]表明，粘彈性阻尼器具有良好的耗能能力。但粘彈性阻尼器需要支撐才能安裝在結(jié)構(gòu)上，支撐剛度對結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)影響較大[3-5]。文獻(xiàn)[6]對人字形支撐粘彈性阻尼器進(jìn)行地震時(shí)程分析，發(fā)現(xiàn)合理設(shè)置支撐的粘彈性阻尼器耗能能力較強(qiáng)。文獻(xiàn)[7]對設(shè)置帶支撐粘彈性阻尼器的鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)進(jìn)行抗震性能研究，結(jié)果表明合理設(shè)置支撐的粘彈性阻尼器加固技術(shù)較傳統(tǒng)抗震加固技術(shù)好。文獻(xiàn)[8,9]推導(dǎo)了帶支撐粘彈性阻尼器的支撐剛度公式，并給出了支撐剛度取值范圍。文獻(xiàn)[10]對設(shè)置不同耗能阻尼器的五層鋼框架模型進(jìn)行地震響應(yīng)分析，試驗(yàn)表明合理設(shè)置的耗能阻尼器支撐能夠顯著降低結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)。文獻(xiàn)[11]對設(shè)置粘彈性消能支撐網(wǎng)格屋蓋的實(shí)際工程進(jìn)行地震響應(yīng)分析，試驗(yàn)表明合理設(shè)置的粘彈性消能支撐可以顯著降低屋蓋結(jié)構(gòu)的響應(yīng)。文獻(xiàn)[12]提出了考慮支撐等連接剛度的減震體系模型并對單自由度體系進(jìn)行了驗(yàn)證，結(jié)果表明支撐剛度系數(shù)取值對消能減震結(jié)構(gòu)具有重要意義。文獻(xiàn)[13]分析了帶支撐粘彈性阻尼器在不同支撐系數(shù)和松弛時(shí)間系數(shù)下對結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)，并給出了兩者取值范圍。以上分析主要采用時(shí)程分析法對帶支撐粘彈性阻尼器進(jìn)行地震響應(yīng)分析，但由于地震具有隨機(jī)性，文獻(xiàn)[14-18]給出了地震動(dòng)的隨機(jī)模型，在此基礎(chǔ)上，一些學(xué)者采用隨機(jī)振動(dòng)理論對帶支撐粘彈性阻尼器結(jié)構(gòu)進(jìn)行了隨機(jī)分析。文獻(xiàn)[19]對帶支撐的粘彈性阻尼器多層隔震結(jié)構(gòu)進(jìn)行隨機(jī)響應(yīng)分析，結(jié)果表明支撐剛度越大，結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)越小。文獻(xiàn)[20,21]對設(shè)置帶支撐粘彈性阻尼器結(jié)構(gòu)進(jìn)行非平穩(wěn)隨機(jī)分析，結(jié)果表明支撐剛度越大，隨機(jī)響應(yīng)越小。文獻(xiàn)[22]對帶支撐粘彈性阻尼器的高層結(jié)構(gòu)進(jìn)行隨機(jī)風(fēng)振響應(yīng)分析，結(jié)果表明支撐剛度越大，風(fēng)振位移響應(yīng)越小。

國內(nèi)外還有不少學(xué)者對帶支撐粘彈性阻尼器地震響應(yīng)進(jìn)行了大量研究。本文采用隨機(jī)振動(dòng)理論對帶支撐粘彈性阻尼器框架結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)進(jìn)行隨機(jī)分析。首先研究阻尼器的支撐剛度和松弛時(shí)間系數(shù)等對粘彈性阻尼器復(fù)合剛度的影響規(guī)律，在此基礎(chǔ)上根據(jù)隨機(jī)振動(dòng)理論，分析帶支撐粘彈性阻尼器框架結(jié)構(gòu)的層間位移角和地震作用等地震反應(yīng)均方差，從而研究粘彈性阻尼器支撐剛度對框架結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)的影響規(guī)律，并將分析結(jié)論與文獻(xiàn)[13]采用時(shí)域分析法所得結(jié)論進(jìn)行對比，由此為設(shè)置帶支撐粘彈性阻尼器框架結(jié)構(gòu)的工程設(shè)計(jì)提供依據(jù)。

2 粘彈性阻尼器模型

本文粘彈性阻尼器模型采用Maxwell模型，該模型由剛度元件和阻尼元件串聯(lián)而成，如圖1所示。帶支撐粘彈性阻尼器模型如圖2所示，該模型考慮了阻尼器支撐的剛度參數(shù)。

圖1 粘彈性阻尼器模型

圖2 帶支撐粘彈性阻尼器模型

圖1模型中粘彈性阻尼器阻尼力為

(1)

ud(t)=u1(t)+u2(t)

(2)

式中fd(t,ω)為粘彈性阻尼器阻尼力，Kd和Cd分別為粘彈性阻尼器的剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)，u1(t)和u2(t)分別為圖1剛度元件和阻尼元件對應(yīng)的變形，ud(t)為圖1阻尼器的總變形。

對式(1，2)進(jìn)行傅里葉變換可得

Fd(ω)=KdU1(ω)=iωCdU2(ω)

(3)

Ud(ω)=U1(ω)+U2(ω)

(4)

(5)

(6)

圖2模型中帶支撐粘彈性阻尼器的作用力為

(7)

u(t)=us(t)+ud(t)

(8)

對式(7,8)進(jìn)行傅里葉變換可得

(9)

U(ω)=Us(ω)+Ud(ω)

(10)

(11)

式中K*(ω)為帶支撐粘彈性阻尼器的復(fù)剛度。

對式(11)化簡可得

(12)

由式(5)可得

(13)

(14)

3 隨機(jī)振動(dòng)方程求解

在結(jié)構(gòu)各樓層均安裝一個(gè)帶支撐粘彈性阻尼器，如圖3所示。結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣為[M]∈Rn，結(jié)構(gòu)的自身阻尼矩陣為[C]∈Rn，結(jié)構(gòu)自身的剛度矩陣為[K]∈Rn。在隨機(jī)地震激勵(lì)作用下，結(jié)構(gòu)振動(dòng)方程為

(15)

對式(15)進(jìn)行傅里葉變換，可得

(iω)2[M]{X(ω)}+(iω)[C]{X(ω)}+[K]{X(ω)}+

(16)

(17)

圖3 框架結(jié)構(gòu)計(jì)算簡圖

將式(16)化簡為

(18)

{H(ω)}=-{-ω2[M]+(iω)[C]+

[K]+[K*(ω)]}-1[M]{1}

(19)

根據(jù)隨機(jī)振動(dòng)理論，解得第j樓層xj(t)自相關(guān)函數(shù)為

(20)

xj(t)的自譜密度為

(21)

xj(t)的方差為

(22)

xj(t)的均方差為

(23)

結(jié)構(gòu)層間位移向量{Δ}可以表示為

{x(t)}-[B]{x(t)}

(24)

式(24)可以化簡為

{Δ}=([I]-[B]){x(t)}

(25)

解得第j樓層Δj自相關(guān)函數(shù)為

[([I]-[B]){H(ω)}]ei ω τdω

(26)

Δj自譜密度為

[([I]-[B]){H(ω)}]

(27)

響應(yīng)Δj方差為

(28)

響應(yīng)Δj均方差為

(29)

層間位移角均方差向量為

δθj=δΔj/h

(30)

式中h為結(jié)構(gòu)樓層高度。

4 隨機(jī)地震動(dòng)模型

假設(shè)地震是平穩(wěn)隨機(jī)過程，描述地震動(dòng)隨機(jī)過程的模型有很多種[14-18]。本文選取改進(jìn)Kanai-Tajimi模型(胡聿賢譜)進(jìn)行結(jié)構(gòu)隨機(jī)分析。

(31)

式中S0為譜強(qiáng)度，ωg，ξg和ωc分別為場地特征頻率、場地特征阻尼比和低頻截止頻率。由文獻(xiàn)[23]可得改進(jìn)Kanai-Tajimi功率譜參數(shù)，列入表1。

5 地震作用分析

一般采用反應(yīng)譜理論[24]分析結(jié)構(gòu)所受地震作用。本文根據(jù)隨機(jī)振動(dòng)理論，推導(dǎo)設(shè)置帶支撐粘彈性阻尼器框架結(jié)構(gòu)地震作用計(jì)算公式如下。

令{x(t)}=[Φ]{q(t)}，則

{q(t)}=[Φ]-1{x(t)}

(32)

式中 [Φ]=[{Φ1},{Φ2},…,{Φj},…,{Φn}]為無阻尼器結(jié)構(gòu)振型矩陣，{Φj}為結(jié)構(gòu)第j階振型向量，{q(t)}為廣義坐標(biāo)向量。

表1 改進(jìn)Kanai-Tajimi模型參數(shù)

式(32)進(jìn)行傅里葉變換可得

{Q(ω)}=[Φ]-1{X(ω)}

(33)

將式(18)代入式(33)可得

(34)

解得響應(yīng)qj(t)的自相關(guān)函數(shù)為

([Φ]-1{H(ω)})ei ω τdω

(35)

響應(yīng)qj(t)的方差為

(36)

響應(yīng)qj(t)的均方差為

(37)

設(shè)置帶支撐粘彈性阻尼器結(jié)構(gòu)各樓層地震作用向量為

{F(t)}=[K]{x(t)}

(38)

將{x(t)}=[Φ]{q(t)}代入式(38)，化簡可得

(39)

結(jié)構(gòu)第j階振型對應(yīng)的地震作用向量為

(40)

式(40)進(jìn)行傅里葉變換，可得

(41)

則{Fj(t)}均方差向量為

(42)

6 工程算例

算例工程[25,26]為一棟10層混凝土框架結(jié)構(gòu)樓，底層層高為4.5 m，其余各層層高均為3.3 m，結(jié)構(gòu)總高度為34.2 m；該結(jié)構(gòu)設(shè)防類別為丙類，抗震設(shè)防烈度為8度，基本地震加速度為0.3 g，設(shè)計(jì)地震分組為第二組；結(jié)構(gòu)自身阻尼比ξ=0.05；混凝土強(qiáng)度等級為C30；樓屋面折算恒載標(biāo)準(zhǔn)值為 10 kN/m2(包括墻體自重)，樓屋面活載標(biāo)準(zhǔn)值為2 kN/m2；梁截面尺寸為300 mm×650 mm，柱截面尺寸為600 mm×750 mm?？蚣芙Y(jié)構(gòu)局部平面如圖4所示；框架結(jié)構(gòu)各層均布置帶支撐粘彈性阻尼器，阻尼器的阻尼系數(shù)均為5×107N·s/m，計(jì)算簡圖如圖3所示。

圖4 框架結(jié)構(gòu)局部平面圖(單位：mm)

6.1 支撐參數(shù)對結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響

6.2 結(jié)構(gòu)響應(yīng)分析

圖5 框架結(jié)構(gòu)最大層間位移角均方差

圖6 框架結(jié)構(gòu)層間位移角均方差

6.3 阻尼器松弛時(shí)間系數(shù)對結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響

圖7 框架結(jié)構(gòu)頂層位移均方差

圖8 框架結(jié)構(gòu)地震作用均方差

6.4 地震作用分析

7 結(jié) 論

上述分析與文獻(xiàn)[13]的結(jié)論基本一致。本文對設(shè)置帶支撐粘彈性阻尼器框架結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)的隨機(jī)分析，結(jié)論如下。