分級加卸載下砂巖蠕變試驗及模型研究

楊 珂，韓 超，劉校麟

(1.中國礦業(yè)大學(xué)(北京) 深部巖土力學(xué)與地下工程國家重點實驗室，北京 100083；2.中國礦業(yè)大學(xué)(北京) 力學(xué)與建筑工程學(xué)院，北京 100083)

1 研究背景

巖石流變是指巖石礦物結(jié)構(gòu)隨時間增長而不斷調(diào)整重組，導(dǎo)致其應(yīng)力、應(yīng)變狀態(tài)亦隨時間而持續(xù)變化的過程[1]，是巖石材料的一種非常重要的特性，許多工程實踐和理論研究表明巖體的長期穩(wěn)定性和時間密切相關(guān)。流變模型從一定理論層面能夠解釋和反映巖石流變的特性。

目前建立巖石非線性流變模型的方法主要有3種：第1種是在基本元件組合模型的基礎(chǔ)上，串聯(lián)或并聯(lián)一個非線性元件，建立能描述巖石蠕變加速階段的新模型；第2種是將線性模型中的定常材料參數(shù)變成和時間、應(yīng)力、應(yīng)變或應(yīng)變速率等因素有關(guān)的非定常參數(shù)；第3種是在損傷斷裂力學(xué)、內(nèi)時理論的基礎(chǔ)上，在線性模型中引入損傷變量，從而建立新的巖石流變本構(gòu)模型。徐衛(wèi)亞等[2]提出了一個NVPB體，與五元件線性黏彈性模型串聯(lián)，建立了河海模型；劉曉燕等[3]在西原模型基礎(chǔ)上，串聯(lián)一個帶應(yīng)變啟動的非線性黏滯阻尼器，充分反映了巖石加速流變特性；張治亮等[4]基于巖石三軸蠕變試驗結(jié)果提出加速蠕變啟動元件，與Burgers模型串聯(lián)，建立一個新的巖石六元件非線性蠕變模型；高春燕等[5]提出修正的與應(yīng)力及時間相關(guān)的非線性黏塑體，將其與Burgers模型串聯(lián)；劉開云等[6]根據(jù)蠕變過程中巖石彈性模量隨時間的弱化規(guī)律，將修正的Maxwell模型與NVPB模型串聯(lián)；趙延林等[7]根據(jù)不同應(yīng)力水平下的加卸載蠕變試驗曲線，將Hooke體、村山體、改進(jìn)Bingham體串聯(lián)組成新的巖石非線性黏彈塑性流變模型；韓陽等[8]提出了一種非線性黏壺元件，并分別替換Burgers模型中的2個線性黏壺元件；張樹光等[9]基于西原模型，考慮蠕變參數(shù)為時間與應(yīng)力的函數(shù)，建立了非定常蠕變模型；楊圣奇和徐鵬[10]基于損傷力學(xué)理論，采用Kachanov提出的損傷律，推導(dǎo)了巖石在加速前后損傷演化方程；Kang等[11]引入損傷變量及分?jǐn)?shù)階理論,將彈性體、黏彈性體和黏塑性體三者串聯(lián)建立了一種同時描述3個階段的非線性損傷蠕變模型；蔡煜和曹平[12]考慮蠕變參數(shù)的時間效應(yīng)及損傷帶來的影響，用非定常黏性元件和一函數(shù)分別修正Burgers模型中串聯(lián)的定常黏性元件和Kelvin模型；曹文貴等[13]通過引入損傷理論和Kachanov損傷演化規(guī)律，構(gòu)建出可反映巖石加速蠕變過程特征的彈塑性損傷體模型。

以上研究在描述巖石加速蠕變階段都取得了較好的效果，盡管如此，多數(shù)研究成果將模型的蠕變方程分成了兩部分，即應(yīng)力小于屈服應(yīng)力條件下用其中一個蠕變方程描述巖石蠕變衰減和穩(wěn)定段，應(yīng)力大于屈服應(yīng)力條件下用另一方程描述巖石蠕變?nèi)^程。這就相當(dāng)于把連續(xù)的蠕變方程變成了一個分段函數(shù)。本文考慮將以上3種方法相結(jié)合，將Burgers模型中串聯(lián)的牛頓體的黏滯系數(shù)修正為與應(yīng)力、時間相關(guān)的函數(shù)，考慮損傷在巖石蠕變過程中的影響，基于損傷理論和Lemaitre應(yīng)變等價性假說，建立損傷體模型。將損傷體與修正的Burgers模型串聯(lián)構(gòu)建一個新的非線性損傷蠕變模型，該模型無需分段，以一個統(tǒng)一的蠕變方程既能描述巖石在低應(yīng)力下的衰減蠕變和穩(wěn)定蠕變，也能描述在高應(yīng)力下的加速蠕變。

2 蠕變試驗方法及結(jié)果分析

2.1 蠕變試驗方法

采用中國礦業(yè)大學(xué)(北京)深部巖土力學(xué)與地下工程國家重點實驗室五聯(lián)流變實驗系統(tǒng)進(jìn)行砂巖分級加卸載單軸蠕變試驗。試驗所用的巖石試件來自陜煤集團(tuán)神木檸條塔礦業(yè)有限公司的砂巖，測得其單軸抗壓強(qiáng)度平均值σc為42 MPa。進(jìn)行加卸載單軸蠕變試驗時，先以0.25 MPa/s速率加載至設(shè)定載荷后保載24 h，待變形穩(wěn)定后卸載至2 MPa并保持10 h，再進(jìn)行下一級荷載的加卸載循環(huán)，依此類推逐級進(jìn)行，直至試件最終破壞。試驗應(yīng)力水平設(shè)置如圖1所示。

圖1 試驗應(yīng)力水平Fig.1 Experimental stress level

2.2 試驗結(jié)果分析

本次共完成3組砂巖試件的單軸蠕變試驗，隨機(jī)選取其中一個試件分析蠕變試驗結(jié)果，其在第8級應(yīng)力39.48 MPa(小于單軸抗壓強(qiáng)度)作用下發(fā)生了破壞。其應(yīng)力全過程和應(yīng)變?nèi)^程曲線如圖2所示。

圖2 應(yīng)力和應(yīng)變?nèi)^程曲線Fig.2 Complete curves of stress and strain

由圖2可知，在分級加卸載條件下，巖石每級應(yīng)變量可分4段，即加載段、蠕變段、卸載段和卸載恢復(fù)段。在加載瞬時，出現(xiàn)彈性變形，隨應(yīng)力穩(wěn)定后黏性變形開始增加，卸載后，變形有一瞬時回彈，隨應(yīng)力穩(wěn)定后黏性變形隨時間逐漸恢復(fù)，最后趨于不為0的定值，此即巖石彈性后效性質(zhì)。分析巖石應(yīng)變-時間曲線發(fā)現(xiàn)，巖石的破壞發(fā)生在蠕變段，各級應(yīng)力水平下巖石蠕變曲線如圖3所示。

圖3 各級應(yīng)力下砂巖蠕變試驗曲線Fig.3 Creep curves of sandstone under differentstress levels

由蠕變試驗結(jié)果可知，砂巖試樣在各級應(yīng)力加載初期，均發(fā)生瞬時變形，待應(yīng)力穩(wěn)定后砂巖進(jìn)入蠕變階段，首先蠕變速率慢慢減小，砂巖黏彈性出現(xiàn)，即進(jìn)入衰減蠕變階段。隨著時間的積累，蠕變速率逐漸穩(wěn)定，在長時間保持一個不為0的定值，即出現(xiàn)穩(wěn)定蠕變的蠕變特征。在第1—第7級應(yīng)力下，砂巖只出現(xiàn)衰減蠕變和穩(wěn)定蠕變2段，衰減蠕變持續(xù)時間相對較短，但衰減蠕變應(yīng)變量約為各級蠕變應(yīng)變量的60%～77%。第8級應(yīng)力作用下，衰減蠕變時間持續(xù)較短，僅維持0.4 h，隨后進(jìn)入穩(wěn)定階段，隨著時間的累積，砂巖在穩(wěn)定蠕變之后蠕變速率增大，出現(xiàn)加速蠕變，最后破壞。此時巖石表現(xiàn)出完整的黏彈塑性流變形態(tài)。其中衰減蠕變應(yīng)變量占總?cè)渥儜?yīng)變量的22.5%，穩(wěn)定蠕變應(yīng)變量占總?cè)渥儜?yīng)變量的28.2%，加速蠕變應(yīng)變量占比49.7%，表明巖石的加速蠕變是導(dǎo)致巖石蠕變過程中破壞的主要原因。

3 非線性損傷蠕變模型

3.1 修正牛頓體

在低應(yīng)力水平下，砂巖只發(fā)生瞬時應(yīng)變、衰減蠕變和穩(wěn)定蠕變。范慶忠和高延法[14]通過試驗分析認(rèn)為：并不存在嚴(yán)格意義下的等速蠕變階段。由于巖石力學(xué)性質(zhì)的復(fù)雜性，蠕變過程中巖石力學(xué)性質(zhì)隨時間變化，筆者認(rèn)為巖石黏滯系數(shù)并不是穩(wěn)定不變的，而是隨應(yīng)力和時間變化的。設(shè)修正的黏滯系數(shù)η為

(1)

式中:η1為初始黏滯系數(shù);m、n為與應(yīng)力水平相關(guān)的參數(shù)且0

黏滯流動的線性元件為牛頓體，其本構(gòu)關(guān)系為

(2)

結(jié)合式(1)、式(2)，則修正的牛頓體的本構(gòu)模型為

(3)

3.2 損傷模型

巖石是孔隙、裂隙發(fā)育的多孔介質(zhì)，現(xiàn)有的研究和試驗結(jié)果表明[15-16]，巖石蠕變過程中會伴隨著損傷，在經(jīng)典損傷力學(xué)中，材料的損傷程度可以用能量損傷中的彈性模量和幾何損傷中的有效承載面積2種方法來衡量。基于損傷變量的變化規(guī)律，引入有關(guān)彈性模量變化的損傷因子D[11,17]，可以建立損傷體元件，即

D=1-e-αt。

(4)

式中α為與巖石材料性質(zhì)有關(guān)的參數(shù)。

依據(jù)Lemaitre應(yīng)變等價性假說[18]可得

σ=Ε0ε(1-D) 。

(5)

式中：ε為應(yīng)變；Ε0為損傷體變形模量。

結(jié)合式(4)和式(5)，損傷體的蠕變方程為

(6)

3.3 非線性損傷蠕變模型的建立

范秋雁等[19]通過分析泥巖蠕變過程中細(xì)觀和微觀結(jié)構(gòu)的變化提出巖石的蠕變機(jī)制。巖石損傷具有明顯的應(yīng)力效應(yīng)和時間效應(yīng)，蠕變損傷不僅在加速蠕變階段起作用，也存在于衰減蠕變和穩(wěn)定蠕變階段。當(dāng)應(yīng)力小于巖石屈服應(yīng)力時，巖石內(nèi)部孔隙及裂隙會被擠密壓實，變形和強(qiáng)度增大，巖石材料硬化效應(yīng)強(qiáng)于損傷效應(yīng)。隨著時間的推移，巖石顆粒體膠結(jié)狀態(tài)在外力及形變狀態(tài)下不斷破壞，產(chǎn)生定向流動，蠕變規(guī)律服從損傷效應(yīng)的等速演化，此階段蠕變時效損傷作用雖不能導(dǎo)致巖石發(fā)生破壞，但不能忽略。當(dāng)應(yīng)力大于屈服應(yīng)力后，損傷效應(yīng)增強(qiáng)，巖石損傷積累顯著，加速損傷區(qū)的形成使巖石吸收更多能量，加速變形至裂紋貫通，導(dǎo)致巖石失穩(wěn)破壞。

為了更完整地描述巖石蠕變?nèi)^程，將彈性體、Kelvin模型、修正的牛頓體和帶有損傷效應(yīng)的損傷體串聯(lián)組成一個新的非線性損傷蠕變模型。當(dāng)應(yīng)力小于屈服應(yīng)力時，損傷體貫穿蠕變衰減和穩(wěn)定2個階段，起的作用較??；當(dāng)應(yīng)力大于屈服應(yīng)力后，損傷體主要在加速蠕變階段起作用。新模型如圖4所示。圖4中ε1、σ1、ε2、σ2、ε3、σ3、ε4、σ4分別為Hooke體、Kelvin體、修正牛頓體、損傷體的應(yīng)變和應(yīng)力。Ε1、Ε2、Ε0分別為Hooke體、Kelvin體、損傷體的彈性模量。η2、η1分別為Kelvin體、修正牛頓體的黏滯系數(shù)。

圖4 非線性損傷蠕變模型Fig.4 Nonlinear damage creep model

非線性損傷蠕變模型的蠕變狀態(tài)方程為

(7)

則新模型本構(gòu)方程為

(8)

(9)

為了驗證模型在理論意義上成立，對式(9)求一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)得：

(10)

(11)

取σn=39.48 MPa，E1=8.4 GPa，E2=8.0 GPa，η1=13.5 GPa·h，η2=29 800 GPa·h，m=0.806 7，n=536，E0=203 300 GPa，α=2.5，繪制模型的蠕變特征曲線,如圖5所示。

圖5 模型蠕變特征曲線Fig.5 Creep characteristic curve of model

4 模型參數(shù)的確定及驗證

4.1 模型參數(shù)的確定及敏感性分析

流變模型參數(shù)的辨識一直是流變研究中的一個重點。夏才初等[20-21]提出了統(tǒng)一流變力學(xué)模型，并根據(jù)巖石在不同應(yīng)力水平作用下分級加卸載蠕變曲線特性，提出了流變力學(xué)模型參數(shù)辨識方法。理論流變力學(xué)模型參數(shù)應(yīng)為常數(shù)，但由于巖石本身的復(fù)雜性和離散性，蠕變參數(shù)很難為一確定的值。本文所建的非線性損傷蠕變模型中的參數(shù)有E1、E2、E0、η1、η2、α、m、n。E1可由巖石蠕變應(yīng)力水平與相應(yīng)瞬時應(yīng)變的比值得到，即

(12)

式中εn表示瞬時應(yīng)變。除E1之外的其余參數(shù)采用最小二乘法中Levenberg-Marguarat算法進(jìn)行辨識。得到的模型參數(shù)見表1。

表1 非線性損傷蠕變模型參數(shù)Table 1 Parameters of nonlinear damage creep model

根據(jù)求得的蠕變參數(shù)，E2穩(wěn)定在8.0～8.2 GPa之間，取平均值E2=8.1 GPa，E1、η2、E0與應(yīng)力的關(guān)系如圖6所示。

圖6 應(yīng)力與彈性模量E1、黏滯系數(shù)η2、損傷變形模量E0關(guān)系曲線Fig.6 Relations of stress against elastic modulus E1,viscosity coefficient η2,and damage deformationmodulus E0

由圖6(a)可知，初始彈性模量E1隨應(yīng)力的增加而逐漸增大且E1與應(yīng)力近似呈線性關(guān)系。這是由于在初始應(yīng)力水平下巖石原始的裂隙或微孔被壓縮而逐漸閉合，在達(dá)到第一級應(yīng)力水平時，巖石除了產(chǎn)生一部分可恢復(fù)的彈性應(yīng)變外，還產(chǎn)生了一部分不可恢復(fù)的塑性應(yīng)變，此時巖石應(yīng)變較大，在分級加卸載后，巖石受應(yīng)力響應(yīng)和應(yīng)變歷史的影響，應(yīng)變增量減小，初始彈性模量增大。

由圖6(b)可知，黏滯系數(shù)η2隨應(yīng)力增加呈遞減趨勢，η2決定巖石衰減蠕變達(dá)到穩(wěn)定蠕變時間的長短，隨應(yīng)力增大，巖石由衰減蠕變達(dá)到穩(wěn)定蠕變的時間延長。

E0是與蠕變損傷相關(guān)的參數(shù)。由圖6(c)可以看出，巖石應(yīng)力水平小于屈服應(yīng)力時，蠕變損傷發(fā)展較緩，當(dāng)應(yīng)力高于屈服應(yīng)力后，損傷效應(yīng)增強(qiáng)，塑性變形速度加快，巖石內(nèi)部裂紋貫通，蠕變進(jìn)入加速階段致使巖石破壞。故在前7級應(yīng)力水平下E0隨著應(yīng)力的增大緩慢增大，最后一級應(yīng)力E0表現(xiàn)強(qiáng)烈，相比于前7級增加較明顯。外在條件的變化引起蠕變模型參數(shù)的變化，正是巖石非線性特征的表現(xiàn)；從損傷力學(xué)角度分析、蠕變模型參數(shù)的變化是巖石內(nèi)部損傷不斷累積，材料特性逐漸劣化的過程。

為了表明所建模型參數(shù)E2和η2之間、η1和η2之間的協(xié)調(diào)性，以第2級應(yīng)力水平15.75 MPa為例，當(dāng)改變η2時，由最小二乘法擬合得到的E2和η1與η2的關(guān)系如圖7所示。

圖7 參數(shù)E2和η1與η2關(guān)系曲線Fig.7 Curves of E2 and η1 vs. η2

由圖7(a)可知，在某一級應(yīng)力水平作用下，當(dāng)黏滯系數(shù)η2改變時，擬合得到的參數(shù)E2隨參數(shù)η2的增大近似線性減小。由圖7(b)可知，當(dāng)黏滯系數(shù)η2改變時，擬合得到的參數(shù)η1隨參數(shù)η2的增大逐漸衰減，且衰減幅度逐漸減小。

4.2 模型驗證

將上述參數(shù)代入模型，應(yīng)力為10.5～39.48 MPa下的蠕變試驗曲線和非線性損傷蠕變模型曲線對比如圖8所示。

圖8 砂巖蠕變試驗結(jié)果與模型曲線Fig.8 Test curves and model curves of sandstone’s creep

模型在最后一級應(yīng)力下能準(zhǔn)確模擬加速蠕變階段，其與Burgers模型對比如圖9所示。

圖9 非線性損傷蠕變模型和Burgers模型對比Fig.9 Comparison between nonlinear damage creepmodel and Burgers model

由圖8和圖9可知，本文建立的非線性損傷蠕變模型能很好地描述砂巖在不同應(yīng)力水平下的衰減蠕變、穩(wěn)定蠕變和加速蠕變?nèi)^程，既彌補(bǔ)了Burgers模型無法描述加速蠕變的不足，也凸顯了模型函數(shù)無需分段的優(yōu)點。

5 結(jié) 論

(1)將牛頓體的線性黏滯系數(shù)修正為與應(yīng)力、時間相關(guān)的函數(shù)，在損傷理論基礎(chǔ)上，引入損傷體，將其與Hooke體、Kelvin模型、修正牛頓體串聯(lián)組合建立新的非線性損傷蠕變模型，推導(dǎo)其蠕變方程，對該模型的蠕變特征曲線分析，模型無須分段，以一個統(tǒng)一的函數(shù)即可完整地描述砂巖蠕變的全過程。

(2)基于砂巖分級加卸載蠕變試驗結(jié)果對蠕變模型參數(shù)辨識及敏感性分析發(fā)現(xiàn)：瞬時彈性模量E1隨應(yīng)力增大近似呈線性增長，黏滯系數(shù)η2隨應(yīng)力增大而減小，損傷變形模量E0隨應(yīng)力增大呈指數(shù)型增大。模型參數(shù)的變化正是巖石非線性特征的充分體現(xiàn)，是損傷不斷累積、內(nèi)部不斷劣化的過程。

(3)通過與試驗曲線對比發(fā)現(xiàn)：非線性損傷蠕變模型與試驗點較吻合，較好地反映了不同應(yīng)力水平下的巖石蠕變規(guī)律，彌補(bǔ)了Burgers模型無法描述加速蠕變的不足，驗證了所建模型的合理性。