基于熵權(quán)-偏序集的水質(zhì)評價方法

賴文哲，毛志勇，岳立柱，湯家喜

(1.遼寧工程技術(shù)大學(xué) 工商管理學(xué)院，遼寧 葫蘆島 125105；2.遼寧工程技術(shù)大學(xué) 環(huán)境科學(xué)與工程學(xué)院，遼寧 阜新 123000)

1 研究背景

流域水系作為重要的內(nèi)陸水資源，用于市政、工業(yè)和灌溉，極易受到破壞[1]。近年來，由于河流沿岸城市工業(yè)的粗放型發(fā)展加劇了水環(huán)境的破壞，我國多數(shù)流域河流水源普遍受到不同程度的污染。隨著人們對環(huán)境問題的逐步重視以及對淡水資源的迫切需求，水質(zhì)的監(jiān)控與管理仍需進(jìn)一步加強(qiáng)與改善，水質(zhì)評價作為監(jiān)控與管理的重要環(huán)節(jié)已成為專家學(xué)者們的研究重點(diǎn)[2]。

水質(zhì)評價所需數(shù)據(jù)集復(fù)雜多變，常表現(xiàn)為不確定、弱相關(guān)和高維度等特性[3]，影響了數(shù)據(jù)的精度，給水質(zhì)評價帶來挑戰(zhàn)[4]。隨著該領(lǐng)域相關(guān)研究的不斷深入，國內(nèi)外眾多學(xué)者取得了很多高水平的研究成果，綜合起來大致可分為5類：①應(yīng)用模糊綜合評價理論建立的評價模型。如Chang等[5]使用3種模糊綜合評估技術(shù)來評估水質(zhì)條件，成功地協(xié)調(diào)固有的指標(biāo)差異并解釋復(fù)雜的水質(zhì)評價條件。②應(yīng)用主成分分析法建立的評價模型。如蔡廣強(qiáng)等[6]采用主成分分析方法對水庫水質(zhì)進(jìn)行綜合評價，明確了影響水質(zhì)的主要因素與水質(zhì)的變化規(guī)律。③應(yīng)用集對分析理論建立的評價模型。如剛什婷等[7]運(yùn)用熵權(quán)法確定評價指標(biāo)的權(quán)重，構(gòu)建了基于熵權(quán)法的集對分析模型，評價結(jié)果與實(shí)際相符，具有較高的可靠性。④應(yīng)用物元可拓評價模型建立的評價模型。如虞未江等[8]以綜合權(quán)重和改進(jìn)物元可拓評價模型為基礎(chǔ)，準(zhǔn)確地評價出水質(zhì)等級。⑤應(yīng)用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等機(jī)器學(xué)習(xí)方法建立的評價模型。如彭越兮等[9]提出在傳統(tǒng)粒子群算法基礎(chǔ)上，建立利用改進(jìn)粒子群算法訓(xùn)練模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的新模型，評級結(jié)果比其他神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型更高效。上述方法①—方法④屬于等級貼近度模式，該模式下等級的劃分多由專家憑借自身經(jīng)驗(yàn)給出，專家以所學(xué)領(lǐng)域理論為基礎(chǔ)，對等級進(jìn)行歸類。此類方法中專家經(jīng)驗(yàn)雖得到充分發(fā)揮，但缺乏一般性，數(shù)據(jù)自身蘊(yùn)含的的信息往往被忽視。方法⑤屬于樣本自分類模式，即依據(jù)樣本的期望值進(jìn)行等級劃分，雖適用性較強(qiáng)但容易忽略專家經(jīng)驗(yàn)，若沒有大量樣本數(shù)據(jù)支持，可信度會降低。

綜合考慮上述方法的優(yōu)缺點(diǎn)，本研究采用熵權(quán)法求出指標(biāo)權(quán)重，得到蘊(yùn)含權(quán)重信息的偏序集，以偏序關(guān)系替代原有對權(quán)重準(zhǔn)確賦值的要求，可在一定程度上降低對樣本量的依賴，同時還可以克服以往賦權(quán)方法中主觀性爭議問題，進(jìn)一步提升了評價模型的準(zhǔn)確性，對于多監(jiān)測點(diǎn)、多指標(biāo)、指標(biāo)變權(quán)重評價問題表現(xiàn)更佳，為水質(zhì)評價提供了一種新思路。

2 熵權(quán)-偏序集理論

2.1 熵權(quán)法基本原理

熵權(quán)法是一種客觀賦權(quán)方法。在具體使用過程中，熵權(quán)法根據(jù)各指標(biāo)的熵值所反映出的信息量大小來確定指標(biāo)權(quán)重，從而克服人為因素干擾。對于m個待評項(xiàng)目、n個評價指標(biāo)，形成原始評價矩陣R′(rij)m×n，有如下計算步驟：

(1)數(shù)據(jù)無量綱化處理。

2.2 偏序集理論

偏序集評價是一個非常有吸引力的評價方法[10]，揭示了集合中元素間的層級關(guān)系，在該方法下數(shù)據(jù)間無需假定有無線性相關(guān)關(guān)系，也不需假定數(shù)據(jù)分布特征[11]。只需了解指標(biāo)權(quán)重的序數(shù)性質(zhì)便可應(yīng)用，在一定程度上避免了主觀性影響，進(jìn)而保證高標(biāo)準(zhǔn)的客觀性[12]與較強(qiáng)的穩(wěn)健性。偏序集定義[13]如下。

設(shè)集合A上存在一個二元關(guān)系R，若R滿足自發(fā)性、反對稱性、傳遞性，則稱R為A上的一個偏序關(guān)系。

(1)自反性：對任意x∈A,有關(guān)系xRx。

(2)反對稱性：對任意x、y∈A,若xRy且yRx，則x=y。

(3)傳遞性：對任意x、y、z∈A，若xRy、yRz，則xRz。

在應(yīng)用過程中，通常會使用“?”表示偏序關(guān)系，偏序關(guān)系?和集合A一起組成偏序集，記為(A,?)。對于含有m個樣本、n個指標(biāo)的決策問題，岳立柱等[14]以各指標(biāo)重要程度(即(A,?)內(nèi)部準(zhǔn)則權(quán)重序次ω1≥ω2≥ω3≥ … ≥ωn)為依據(jù)，用矩陣的形式將蘊(yùn)含權(quán)重信息的方案決策問題表示為

Q=D·I=

(1)

其中評價矩陣

若矩陣Q中第i行的數(shù)據(jù)≥第j行的數(shù)據(jù)，便可得出AiAj，即i與j對應(yīng)的方案前者優(yōu)于后者。由此便可得出方案間的層級關(guān)系。根據(jù)式(1)進(jìn)行累加變換后對每一行進(jìn)行迭代比較，構(gòu)造出內(nèi)含權(quán)重信息的偏序關(guān)系，即給定偏序集 (A,?)。對于?ai、aj∈A，若aj?ai，則記作rij=1；若aj和ai不可比或ai?aj，則記作rij=0，稱R(rij)m×n為(A,?)的比較關(guān)系矩陣。由比較關(guān)系矩陣通過保留最大路徑的方式得到Hasse矩陣，對于排除非最大路徑問題，范懿[15]給出了比較關(guān)系矩陣和Hasse矩陣之間的轉(zhuǎn)換公式，則

HR=(R-I)-(R-I)*(R-I) 。

(2)

式中：HR為Hasse矩陣；R為關(guān)系矩陣；I為單位矩陣；*為布爾運(yùn)算，即(1+1=1,1+0=1,0+0=0,1×1=1,1×0=0,0×0=0)，布爾運(yùn)算中矩陣中的乘法相當(dāng)于取交集，加法相當(dāng)于取并集。

完成上述過程后，由Hasse矩陣畫出Hasse圖。在偏序集理論研究過程中Hasse圖是極其重要的工具，圖形所展示出的信息能夠充分體現(xiàn)出各樣本間的相關(guān)性、傳遞性、結(jié)構(gòu)性，幫助決策者更準(zhǔn)確、更直觀地了解方案間的層級信息與歸類情況。

表1 地表水環(huán)境質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)Table 1 Criterion of surface water quality

2.3 熵權(quán)-偏序集模型的風(fēng)險識別步驟

(1)構(gòu)建指標(biāo)集合并確定水質(zhì)分類標(biāo)準(zhǔn)。

(2)數(shù)據(jù)預(yù)處理。

(3)運(yùn)用熵權(quán)法求出權(quán)重，并依據(jù)所得權(quán)重對評價指標(biāo)由大到小排序。

(4)數(shù)據(jù)累加變換得出Hasse矩陣。

(5)得出Hasse圖，對樣本進(jìn)行歸類并比較。

(6)結(jié)果分析，若偏序滿足精度則停止計算，否則應(yīng)用式(3)計算秩均值的近似值：

(3)

圖1 模型評價流程Fig.1 Flowchart of model evaluation

3 模型的建立及應(yīng)用

重慶主城區(qū)地處長江上游，該地區(qū)位于重慶市中心地帶，南高北低，地勢起伏較大。長江水系自西向東穿越重慶，全長約220 km[16]，是重慶經(jīng)濟(jì)文化中心地帶。嘉陵江由東注入長江，屬于長江水系。城市內(nèi)部流域面積可達(dá)4 200 km2，是重慶市水資源重要組成部分。近年來工業(yè)廢水和生活廢物的流入導(dǎo)致長江及嘉陵江部分流域污染嚴(yán)重，水環(huán)境治理已迫在眉睫，可見水質(zhì)評價模型的建立具有現(xiàn)實(shí)的必要性。

3.1 指標(biāo)集合的構(gòu)建

指標(biāo)集合的構(gòu)建是水質(zhì)評價的重要依據(jù)，是水體質(zhì)量的重要參數(shù)。本研究以長江和嘉陵江干流水域?yàn)橹饕芯繉ο?，依?jù)我國《地表水環(huán)境評價標(biāo)準(zhǔn)》歷次修訂概要及啟示[17]，選取具有代表性的溶解氧(DO)、高錳酸鹽指數(shù)(CODMn)、重鉻酸鹽指數(shù)(CODcr)、氨氮(NH3-N)、總磷(TP)、五日生化需氧量(BOD5)、氟化物7個重要指標(biāo)(分別記作y1、y2、y3、y4、y5、y6、y7)構(gòu)成評價指標(biāo)集合。

3.2 水質(zhì)評價分類標(biāo)準(zhǔn)

依據(jù)《地表水環(huán)境質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》，選用上述7個指標(biāo)濃度限值將水環(huán)境質(zhì)量分為Ⅰ類、Ⅱ類、Ⅲ類、Ⅳ類、Ⅴ類5種類別(見表1)。其中，源頭水、國家自然保護(hù)區(qū)水質(zhì)為Ⅰ類；地表水源地一級保護(hù)區(qū)、珍稀水生生物棲息地水質(zhì)為Ⅱ類；地表水源地二級保護(hù)區(qū)、水產(chǎn)養(yǎng)殖區(qū)等漁業(yè)水域及游泳區(qū)水質(zhì)為Ⅲ類；一般工業(yè)用水區(qū)及娛樂用水區(qū)水質(zhì)為Ⅳ類；Ⅴ類水質(zhì)主要適用于農(nóng)業(yè)用水區(qū)及一般景觀要求水域。

3.3 樣本的確立及數(shù)據(jù)預(yù)處理

選取2015年重慶市水文局在長江及嘉陵江干流段布置的9個監(jiān)測點(diǎn)(A1白沙、A2漁洞、A3九渡口、A4菜園壩、A5望龍門、A6寸灘、A7合川自來水廠、A8井口、A9大溪溝)所檢測到的各指標(biāo)作為樣本數(shù)據(jù)，由此確立了模型的評價樣本。

根據(jù)準(zhǔn)則獲取偏序關(guān)系，依據(jù)偏序集理論構(gòu)造蘊(yùn)含權(quán)重信息的樣本集合，并通過權(quán)重所反映出的重要性由大到小排序來確定層級間的優(yōu)劣關(guān)系，以便獲取科學(xué)且準(zhǔn)確的評價結(jié)果。本研究選取各指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間內(nèi)的中值點(diǎn)數(shù)據(jù)作為分級樣本，再根據(jù)分級樣本對評價樣本進(jìn)行等級劃分。由于數(shù)據(jù)來源于實(shí)地監(jiān)測和前人資料的綜合考量，故對各指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間進(jìn)行中值點(diǎn)插值所得的分級樣本也應(yīng)該符合研究區(qū)域水質(zhì)特點(diǎn)。以指標(biāo)y1插值為例：指標(biāo)y1在[9.00，6.00) mg/L范圍屬于Ⅰ類標(biāo)準(zhǔn)，將[9.00，6.00) mg/L 二等分，即所得插值樣本點(diǎn)為7.5 mg/L，屬于水環(huán)境質(zhì)量Ⅰ 類標(biāo)準(zhǔn)；同理指標(biāo)y1在[6.00，5.00) mg/L內(nèi)的插值樣本點(diǎn)為5.5 mg/L，屬于Ⅱ類標(biāo)準(zhǔn)；在[5.00，3.00) mg/L內(nèi)的插值樣本點(diǎn)為4 mg/L，屬于Ⅲ類標(biāo)準(zhǔn)；在[3.00，2.00) mg/L區(qū)間內(nèi)的插值樣本點(diǎn)為2.5 mg/L，屬于Ⅳ類標(biāo)準(zhǔn)；在[2.00，0) mg/L內(nèi)的插值樣本點(diǎn)為1 mg/L，屬于Ⅴ類標(biāo)準(zhǔn)。按此方法，得到其余6個指標(biāo)在各區(qū)間內(nèi)插值樣本點(diǎn)，由此便構(gòu)造出5個全新的分級樣本，并按隸屬的等級從優(yōu)到劣編號為A10、A11、A12、A13、A14,與上述9個評價樣本共同組成新的樣本集合。

表4 Hasse矩陣Table 4 Hasse matrix

7個指標(biāo)中除y1外其余各指標(biāo)均為反向指標(biāo)，即數(shù)值越小屬性越優(yōu)，需取倒數(shù)處理，即aij=1/aij。由于各指標(biāo)間單位和量級不同無法直接進(jìn)行評價，需運(yùn)用公式xij=(aij-amin)/(amax-amin)對新樣本集合內(nèi)14組樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行無量綱化處理，計算結(jié)果見表2。

3.4 指標(biāo)權(quán)重計算及排序

偏序集評價方法，要求必須獲取指標(biāo)權(quán)重的排序信息方可進(jìn)行。各評價指標(biāo)的權(quán)重次序直接影響評價結(jié)果的準(zhǔn)確性，本文通過熵權(quán)法所得權(quán)重可有效克服人為因素的影響，同時還可為偏序集評價模型提供指標(biāo)的權(quán)重排序信息。

表2 各監(jiān)測點(diǎn)指標(biāo)檢測值無量綱化處理結(jié)果Table 2 Dimensionless detected values of each point

為實(shí)施熵權(quán)法以確定指標(biāo)權(quán)重，選取前述9個監(jiān)測點(diǎn)評價樣本進(jìn)行計算(結(jié)果見表3)。依據(jù)計算結(jié)果將指標(biāo)從大到小排序?yàn)椋簓3、y4、y2、y5、y6、y1、y7。以便后續(xù)得出Hasse矩陣。

表3 各指標(biāo)熵權(quán)計算結(jié)果Table 3 Calculation result of entropy weight ofeach indicator

3.5 Hasse矩陣

依據(jù)權(quán)重排序結(jié)果對預(yù)處理后的樣本矩陣運(yùn)用式(1)進(jìn)行累加變換，通過行向量的比較得出比較關(guān)系矩陣R(rij)m×n。矩陣中若第i行≥第j行，則有rij=1，否則rij=0。再根據(jù)式(2)將比較關(guān)系矩陣轉(zhuǎn)化為Hasse矩陣，如表4所示。

3.6 Hasse圖

Hasse圖不僅與Hasse矩陣相對應(yīng)，同時又考慮到偏序關(guān)系的自發(fā)性與傳遞性，即對已知的比較關(guān)系有向圖保留兩點(diǎn)間最大路徑，刪除此外的非最大路徑便得出Hasse圖，可清晰地反映出偏序關(guān)系的“層級”。如圖2所示,Hasse圖能夠直觀地表現(xiàn)出各水樣的聚類信息與層級關(guān)系，方便后期的對比與分析。

圖2 水環(huán)境質(zhì)量優(yōu)良性Hasse圖Fig.2 Hasse diagram of water environment quality

3.7 結(jié)果分析

基于圖2，可以直觀地了解各樣本間層級信息和聚類情況。偏序集理論具有上級優(yōu)于下級的特性，例如在圖2中A10指向A7，表示A10優(yōu)于A7。同時又具有傳遞性，例如A10優(yōu)于A7，A7又優(yōu)于A2，可認(rèn)為A10優(yōu)于A2。因此，在圖2中，位置越靠上,樣本群體水質(zhì)越優(yōu)。Hasse圖的圖像性質(zhì)為：若某一樣本處于兩層級之間則隸屬于上一層級。由此，圖2中的14個樣本根據(jù)構(gòu)造出的5個分級樣本被分為5類水質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)群：①第Ⅰ類標(biāo)準(zhǔn)群為A10、A7；②第Ⅱ類標(biāo)準(zhǔn)群為A11、A2、A1、A6；③第Ⅲ類標(biāo)準(zhǔn)群為A12、A9、A3、A5、A8；④第Ⅳ類標(biāo)準(zhǔn)群為A13、A4；⑤第Ⅴ類標(biāo)準(zhǔn)群為A14。

具體表述為：在14個水質(zhì)樣本中A10至A14是根據(jù)國家《地表水環(huán)境質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》人為構(gòu)造出的分級樣本。由圖2可知，A7與虛擬樣本A10組成第Ⅰ類標(biāo)準(zhǔn)群。A2、A6、A1與虛擬樣本A11組成第Ⅱ類標(biāo)準(zhǔn)群，說明該層級樣本達(dá)到水環(huán)境質(zhì)量Ⅱ類標(biāo)準(zhǔn)。同理，樣本A9、A3、A5、A8達(dá)到水環(huán)境質(zhì)量Ⅲ類標(biāo)準(zhǔn)；樣本A4達(dá)到水環(huán)境質(zhì)量Ⅳ類標(biāo)準(zhǔn)，第Ⅴ類標(biāo)準(zhǔn)群內(nèi)部無樣本。

為達(dá)到預(yù)期精度，對同一層級內(nèi)的樣本水質(zhì)情況進(jìn)行比較，運(yùn)用式(3)計算各斷面秩均值，數(shù)值越大表示該斷面水質(zhì)越好。除虛擬樣本外，各斷面計算結(jié)果排序?yàn)?A7A2A6A1A5A3A9A8A4。模型評價結(jié)果與實(shí)際情況基本一致，達(dá)到預(yù)期精度?，F(xiàn)實(shí)中，嘉陵江干流合川自來水廠(A7)水質(zhì)最佳，達(dá)到國家水環(huán)境質(zhì)量Ⅰ類標(biāo)準(zhǔn)。菜園壩監(jiān)測點(diǎn)(A4)由于指標(biāo)CODCr與NH3-N較大，河段好氧型微生物繁盛，其代謝產(chǎn)物對水質(zhì)污染嚴(yán)重，水環(huán)境質(zhì)量較差，屬于Ⅳ類標(biāo)準(zhǔn)。九渡口(A3)、望龍門(A5)、井口(A8)、大溪溝(A9)流域工業(yè)廢水、生活污水的流入導(dǎo)致水質(zhì)嚴(yán)重惡化形成污染帶，需加大對以上4個監(jiān)測點(diǎn)所在流域水環(huán)境的治理力度。根據(jù)評價結(jié)果可以看出，重慶雖地處長江與嘉陵江交匯地，水量十分豐富，但可利用水資源仍匱乏，多數(shù)流域水質(zhì)仍處于Ⅲ類及以下標(biāo)準(zhǔn)，水環(huán)境治理任務(wù)依然嚴(yán)峻。

3.8 模型準(zhǔn)確性及穩(wěn)健性分析

實(shí)測結(jié)果是通過龐大的測量數(shù)據(jù)與相關(guān)的理論基礎(chǔ)相結(jié)合后給出的最終結(jié)果，該結(jié)果雖準(zhǔn)確性高，但所用方法十分繁瑣，實(shí)用性較低。實(shí)測結(jié)果與其它3種過程相對簡單的評價方法所得結(jié)果的分布如圖3所示。熵權(quán)-偏序集模型的評價結(jié)果與實(shí)際情況基本吻合，準(zhǔn)確性高于支持向量機(jī)和熵權(quán)-模糊綜合評價模型。

圖3 實(shí)測值與評價值分布Fig.3 Distribution of measured values and evaluationvalues

本文所研究的長江及嘉陵江流域綿長，水質(zhì)情況復(fù)雜多變，各斷面評價指標(biāo)的權(quán)重經(jīng)計算表現(xiàn)出差異性。以往評價模型對權(quán)重的準(zhǔn)確賦值要求較高，例如，應(yīng)用熵權(quán)-模糊綜合評價法對水質(zhì)進(jìn)行評價時，由于權(quán)重的微小波動誤將漁洞(A2)、寸灘(A6)的水質(zhì)分別評定為Ⅰ類和Ⅲ類；支持向量機(jī)算法雖然適用性較強(qiáng)，但對樣本數(shù)量過于依賴，樣本數(shù)量不足時易出現(xiàn)過擬合或訓(xùn)練不充分現(xiàn)象，在對上述樣本進(jìn)行分類時誤將本應(yīng)為Ⅳ類的菜園壩(A4)分為Ⅲ類，忽視了數(shù)據(jù)自身蘊(yùn)含的信息。

與其它評價模型相比，偏序集評價模型不需要權(quán)重的準(zhǔn)確賦值，只要權(quán)重次序不變便可得到穩(wěn)定的評價結(jié)果。通過熵權(quán)法對9個監(jiān)測點(diǎn)多次的測量結(jié)果進(jìn)行權(quán)重計算，所得結(jié)果見表5。由此可以看出，指標(biāo)權(quán)重雖然出現(xiàn)微小波動，但總體排序結(jié)果基本未變，所以模型評價結(jié)果依然準(zhǔn)確。由此可見偏序集評價模型在兼顧了準(zhǔn)確性與客觀性的同時還具有更高的穩(wěn)健性。

表5 各監(jiān)測點(diǎn)指標(biāo)權(quán)重及模型對比結(jié)果Table 5 Weight values of indices at each monitoring point and comparison of evaluation result among different models

4 結(jié) 論

(1)基于偏序集理論建立了偏序集水質(zhì)評價模型，并利用該模型對9個樣本進(jìn)行評價，經(jīng)檢驗(yàn)，評價結(jié)果是準(zhǔn)確且穩(wěn)定的，可見該模型方法具有一定的可行性。

(2)本文所研究偏序集評價模型采取了熵權(quán)法來確定權(quán)重，有效克服了傳統(tǒng)方法獲取權(quán)重時主觀性較強(qiáng)的不足。同時，偏序集方法的應(yīng)用并不要求獲取精確的權(quán)重，故在應(yīng)用熵權(quán)法時對樣本數(shù)量沒有很高的要求，進(jìn)一步提升了該方法的適用范圍。

(3)偏序集評價方法解決了以往水質(zhì)評價中的賦權(quán)爭議問題，是一種更為準(zhǔn)確且穩(wěn)健的評價方法?，F(xiàn)有規(guī)范方法計算量大且過程繁瑣。在實(shí)際監(jiān)測過程中，若出現(xiàn)同一監(jiān)測點(diǎn)各指標(biāo)數(shù)據(jù)處在不同標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間內(nèi)時會進(jìn)一步提高計算量并依賴專家的主觀經(jīng)驗(yàn)，無法達(dá)到高標(biāo)準(zhǔn)的客觀性。與之相比，熵權(quán)-偏序集評價方法具備更高的實(shí)用性，對于多指標(biāo)對應(yīng)數(shù)據(jù)處于不同層級問題具備自身獨(dú)特且有效的評價方法，簡化了繁瑣的評價過程，為水質(zhì)評價領(lǐng)域提供了一種新思路。未來，通過對大量實(shí)測數(shù)據(jù)的評價與相應(yīng)的改良將使熵權(quán)-偏序集評價方法滿足實(shí)際應(yīng)用的條件。