變質量牛頓運動定理及其應用

史 博 陶宗明 張 輝 單會會 麻曉敏 張連慶 王申浩

(陸軍炮兵防空兵學院物理教研室,安徽 合肥 230031)

我們都知道牛頓運動定律適用于質點,在低速條件下不考慮質點質量的變化,可直接運用F=m a(其中,F表示力,m表示質量,a表示加速度)求解問題,而在公式(P表示動量,v 表示速度,t表示時間)中,后一項是由于相對論效應導致的質點質量的改變,而并非與外界質量交換導致的質量變化。但在經(jīng)典力學中常常會遇到物體與外界有質量交換而引起的變質量問題,那么F=m a的形式對這種變質量情況是否成立?

變質量物體可以看作一個系統(tǒng),則它就是一質量不斷變化的開放系統(tǒng)。我們知道,對于一個質量不變的封閉系統(tǒng)而言,每個瞬時,F=m a也都是成立的,但系統(tǒng)內各質點的加速度可能是不同的,因此這里的F是系統(tǒng)受到的合外力,m是系統(tǒng)的(總)質量,而a是系統(tǒng)的質心加速度,所以此時運用的也就是質心運動定理。對于質量隨時間變化的開放系統(tǒng),由于它與外界有質量交換,顯然質點的牛頓運動定律公式F=m a就無法直接運用了。

對于質量與外界有交換的變質量物體,可把變質量物體和與其交換的質量看成一個系統(tǒng),其動力學問題可通過系統(tǒng)的動量定理、動能定理或功能原理解決[1-3],但大部分老師和學生仍然對牛頓第二定律更加熟悉,能不能推導出與牛頓第二定律形式相似又適用于變質量物體的運動定理呢? 本文將給出兩種推導方法,并舉例應用。

1 公式推導

1.1 變質量物體的界定

本文討論的變質量物體是指一個質量主體在運動過程中不斷有較小的質量加入(或離開),如雨滴下落過程中不斷有水汽加入,火箭飛行過程中不斷向外噴氣等。這類變質量問題有一個特點就是主體和離開前(或主體與加入后)的較小質量具有共同的速度。本文所討論的變質量物體就是指具有上述特點的主體。

對于這類變質量力學問題,本文推導出了與牛頓第二定律具有相同形式的表達式,便于學生記憶和理解。在推導過程中,引入以下假設:在變質量問題中,加入(或離開)主體的較小質量,只與主體之間有相互作用力,不受其他外力作用。

1.2 由牛頓定律進行推導

設變質量主體的質量為M,在dt時間內有較小質量dm加入(或離開)主體,加入主體后(或離開主體后)相對主體的速度為u,M受到dm的作用力為f,M受到除dm之外的合力為F;dm受到外力f′,且有f=-f′,對M和m分別運用牛頓第二定律[4-6]

其中,a M和a m分別是M和dm的加速度。兩式相加可得

對于dm的加速度a m,可寫成

將公式(4)代入公式(3),可整理為

1.3 由系統(tǒng)的動量定理進行推導

以主體質量增加為例進行推導,默認地面參考系。設物體M速度為v,受力為F,質元dm初始速度為v0,dm加入M中經(jīng)過時間為dt,M和dm的共同速度為v+dv,根據(jù)系統(tǒng)的動量定理

忽略dmdv 整理得

設dm速度的變化為u,即u=v-v0,可得

由上可知,式(5)和式(8)是相同的,即兩種推導方法結果一樣。在系統(tǒng)質量減少的情況下,若取絕對值,方程形式不變,若取負值,則形式為,這里不再推導。

以上兩種方法推導出的變質量問題運動方程與牛頓第二定律的形式和諧統(tǒng)一,便于記憶和理解,將其命名為變質量牛頓運動定理。

2 應用舉例

根據(jù)以上推導得到的運動定理,舉例進行分析求解。

例題1裝煤車問題。一輛裝煤車以水平速率v從煤斗下經(jīng)過,每秒落入車廂的煤的質量為Δm,若車廂保持速率不變,應用多大的力牽引車廂? (忽略車廂與鋼軌之間的摩擦)

解:此問題可以煤車系統(tǒng)為研究對象,應用系統(tǒng)動量定理求解;也可以落入煤車的煤dm為研究對象,應用質點的動量定理求解。這里給出應用本文推導的方程來求解的過程。

以地面為參考系,以車廂為研究對象,在水平方向上進行分析,dt時間內落入車廂的煤dm水平方向不受外力,車廂保持速率不變,則水平方向加速度大小為零,則

其中,u=v-0=v,可得F=vΔm(Δm是每秒落入車廂的煤的質量,單位為kg/s) 。

例題2火箭飛行原理。設火箭平行于地面飛行,初始時刻質量為M0,水平方向速度為v0,經(jīng)過dt時間噴出氣體的質量為dM,火箭噴氣速度為u0,在忽略空氣阻力的情況下分析火箭速度的增量。

解:設火箭飛行方向為正方向,以火箭為研究對象,在水平方向上進行分析。設某時刻火箭的質量為M,速度為v,噴出的氣體相對于火箭的速度為-u0,根據(jù)伽利略速度變換公式,氣體相對地面的速度為v′=-u0+v,所以噴氣前后氣體速度的變化為u=v′-v=（-u0+v）-v=-u0,由于為負值,則

火箭在水平方向上只受dM的作用力,不受其他外力作用,因此

例題3鏈條豎直自由下落問題。如圖1所示,質量為m的均勻軟鏈條,長為L,上端懸掛,下端恰與地面接觸,由于懸掛松脫鏈條自由下落,求鏈條落到地面上的長度為l時,對地面的作用力。

圖1

解:以地面上的鏈條為研究對象,在豎直方向上進行分析,選擇向下為正方向,設鏈條單位長度上的質量為λ。當?shù)孛嫔系逆湕l長度為l時,即將落下的dm速度為速度的改變。

地面上的鏈條受重力、地面的支持力N和dm的作用力,根據(jù)本文中推導的方程可得

例題4鏈條桌邊下落問題。如圖2所示,一細鏈條質量為m,長為L,與桌面間的摩擦系數(shù)為μ,下垂部分長度剛好使得鐵鏈開始下滑,求鐵鏈完全離開桌面時的速度。

圖2

解:如果把整個鏈條系統(tǒng)作為研究對象,其總質量其實是不發(fā)生變化的,但此系統(tǒng)不但受重力、桌面的支持力和摩擦力的作用,還受到桌角處的支持力;如果把鏈條分成桌面上和下垂兩部分,分別根據(jù)牛頓定律列方程,在物理上是不正確的,因為這兩部分不但質量變化,受力也是在不同方向上分析的。此問題通過系統(tǒng)的動能定理或功能原理當然是可以求解,這里不再給出過程,仍然只給出通過變質量牛頓運動定理的求解方法。

把鏈條分成桌面上和下垂兩部分,此過程中這兩部分質量都在發(fā)生變化,設鏈條質量線密度為λ,首先分析下垂部分:設下垂部分長度為,其受重力大小為G1=λxg,沿圖中所示x軸正方向,另受沿x軸負方向的拉力T。設dt時間內增加的質量為dm,根據(jù)方程

但dm前后速度的變化u=0,因此簡化為

再分析桌面部分:x方向上受力平衡,受到沿y軸正方向的拉力T和沿y軸負方向的摩擦力μλ（L-x）g,設dt時間內減少的質量為dm,但dm前后速度的變化同樣u=0,因此

兩部分鏈條速度大小相同,聯(lián)立求解得

3 結語

動力學問題常常是有多種方法可以解決的,這里并不是說本文給出的方法比其他方法更好,只是再提供一種解決問題的方法,并且推導出的變質量牛頓運動定理與牛頓第二定律形式一致,便于記憶,在處理某些變質量問題時,較為簡便,易于理解。