例談向量問題中數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想的培養(yǎng)

南通大學(xué)附屬中學(xué) 王軍臣

在和向量有關(guān)的綜合性問題中，往往涉及更多的范圍問題或最值問題，我們把它統(tǒng)一歸納為函數(shù)類問題。通常情況下，構(gòu)建函數(shù)模型是解決這類問題的主要途徑，需要將向量數(shù)量化，運(yùn)用代數(shù)運(yùn)算解決問題，也可以考慮向平面幾何轉(zhuǎn)化，利用平面幾何性質(zhì)解決。

一、限制“自由”，準(zhǔn)確定位

圖1

分析：平面向量的自由性強(qiáng)，在問題

轉(zhuǎn)化過程中需要將自由向量定位，將其坐標(biāo)化，最后轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算。

點(diǎn)評：本題以向量基本運(yùn)算為載體，在坐標(biāo)運(yùn)算過程中注意到動點(diǎn)C 的軌跡方程為定圓，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為圓的問題。若在構(gòu)建函數(shù)的過程中出現(xiàn)雙變量情況，應(yīng)積極尋找兩變量之間的隱含關(guān)系，嘗試消元；在兩變量沒有隱含關(guān)系的情況下，應(yīng)主動向軌跡方程轉(zhuǎn)化，利用幾何意義進(jìn)行突破。

圖2

點(diǎn)評：例1和例2的條件有共同之處，即向量的數(shù)量積是一個定值，得到對應(yīng)點(diǎn)的軌跡方程均為圓。學(xué)生將問題轉(zhuǎn)化成平面幾何，利用平面幾何知識解決問題。

二、合理轉(zhuǎn)化，探求多解

分析：觀察發(fā)現(xiàn)，條件和共線定理的推論有相似之處，那么想到利用該結(jié)論嘗試解題，對應(yīng)解法一；注意到單位圓，受前兩例題的啟發(fā)，采用特殊值法研究，對應(yīng)解法二。

圖3

解法二：如圖4，以圓心O 為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，設(shè)A，B 兩點(diǎn)在x 軸上方且線段AB 與y 軸垂直。

圖4

又∵C 是劣弧AB(包含端點(diǎn))上一動點(diǎn)， 設(shè)點(diǎn)C 坐標(biāo)為(x，y)，

點(diǎn)評：對比兩種方法，通過消元的方式構(gòu)建函數(shù)時，若能有效地抓住一些幾何特點(diǎn)或者結(jié)論，會大大方便問題的突破。

總之，復(fù)雜的問題簡單化、陌生的問題熟悉化、抽象的問題形象化構(gòu)成了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想的核心內(nèi)容。在平時的教學(xué)過程中，教師要有意識地培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想，使學(xué)生在學(xué)習(xí)中逐步提升分析和解決問題的能力。