二次函數(shù)與動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的二倍角問(wèn)題

張文

二次函數(shù)是歷年中考必考內(nèi)容之一，難度大，綜合性強(qiáng).有一類題是動(dòng)點(diǎn)與二倍角問(wèn)題相結(jié)合，此類題構(gòu)思精巧，解題方法靈活.本文舉例進(jìn)行分析.

【原題呈現(xiàn)】

例（2020·遼寧·葫蘆島改編）如圖1，拋物線[y=-34x2+94x+3]與x軸交于點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B（4，0），

與y軸交于點(diǎn)C（0，3）. 若在直線BC上方的拋物線上存在點(diǎn)D，使∠DCB = 2∠ABC，求出D點(diǎn)坐標(biāo).

分析：在此問(wèn)題中，∠DCB與∠ABC的頂點(diǎn)位于它們公共邊的兩端，∠DCB在變化過(guò)程中若成為∠ABC的2倍，其角平分線就會(huì)與AB邊所在的x軸平行，因此我們可以先作平行線，再由角平分線的對(duì)稱性構(gòu)造出符合條件的∠DCB，然后利用相似三角形求出點(diǎn)D坐標(biāo).

解：如圖1，作CE[?]x軸交拋物線于點(diǎn)E，則∠ABC = ∠ECB，

又∵∠DCB = 2∠ABC = ∠ECD+∠ECB，

∴∠ABC = ∠ECD，

作DH⊥CE于點(diǎn)H，則∠DHC = 90° = ∠COB，

∴△DHC∽△COB， ∴[DHCO=CHBO]，

設(shè)D [x，-34x2+94x+3]，

由題意，知OB = 4，OC = 3，DH = [-34x2+94x]，CH = [x]，

∴[-34x2+94x3=x4]， 解得[x1=0]（與C重合，舍去），[x2=2]，

當(dāng)x = 2時(shí)，[y=-34x2+94x+3=92]，即D [2，92].

【變式拓展】

變式1：連接AC，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得∠PAB = 2∠ACO？若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析：在此問(wèn)題中，∠PAB與∠ACO在圖形上沒(méi)有過(guò)多的聯(lián)系，而∠PAB在變化過(guò)程中其一邊AB始終落在x軸上，因此我們的思路是將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，利用三角函數(shù)來(lái)解決：先由y軸的對(duì)稱性構(gòu)造∠ACO的二倍角∠ACE = ∠PAB，然后求出∠PAB的正切值，最終求出P點(diǎn)坐標(biāo).

解：在x軸正半軸取E（1，0），連接CE，作EF⊥AC于點(diǎn)F，

由題意，點(diǎn)A和點(diǎn)E關(guān)于y軸對(duì)稱，

∴∠ACO = ∠ECO，即∠ACE = 2∠ACO，

由勾股定理及[S△ACE=OC×AE2=EF×AC2]易得[CE=10]，[EF=3105]，[CF=4105]，

∴Rt△CEF中，[tan∠ACE=EFCF=34]，

若∠PAB = 2∠ACO，則∠PAB = ∠ACE，

設(shè)P [x，-34x2+94x+3]，作PH⊥x軸于H，

情況①：如圖2，點(diǎn)P在x軸上方運(yùn)動(dòng)時(shí)，

[PH=-34x2+94x+3]，[AH=x+1]，

∴[tan∠PAB=PHAH=-34x2+94x+3x+1=34]，

解得[x1=-1]（與A重合，舍去），[x2=3]，

當(dāng)x = 3時(shí)，[y=-34x2+94x+3=3]，即P（3，3）;

情況②：如圖3，點(diǎn)P在x軸下方運(yùn)動(dòng)時(shí)，

[PH=34x2-94x-3]，[AH=x+1]，

[tan∠PAB=PHAH=34x2-94x-3x+1=34]，

解得[x1=-1]（與A重合，舍去），[x2=5]，

當(dāng)x = 5時(shí)，[y=-34x2+94x+3=-92]，即P [5，-92].

變式2：拋物線頂點(diǎn)為點(diǎn)D，連接AC，BC，若點(diǎn)P是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DP，過(guò)點(diǎn)D、點(diǎn)P分別作線段DE，PQ平行于y軸，交線段BC于點(diǎn)E和點(diǎn)Q，若∠DPQ - ∠PDE = 2∠PDE，求出P點(diǎn)坐標(biāo). ? ? ? ? ? ? 分析：在此問(wèn)題中，需要正確作出圖形并認(rèn)真分析題目條件，∠DPQ與∠PDE是一對(duì)平行線所截得的同旁內(nèi)角，則∠DPQ + ∠PDE = 180°，結(jié)合∠DPQ - ∠PDE = 2∠PDE易求得∠PDE = 45°，進(jìn)而可以利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出P點(diǎn)坐標(biāo).

解：易得頂點(diǎn)坐標(biāo)D [32，7516]，設(shè)P [x，-34x2+94x+3]，

如圖4，作PH⊥DE于點(diǎn)H，由PE[?]y軸，PQ[?]y軸易證DE[?]PQ，

∴∠DPQ + ∠PDE = 180°，

又∵∠DPQ - ∠PDE = 2∠PDE，∴∠PDE = 45°，

情況①：如圖4，點(diǎn)P在D點(diǎn)右側(cè)時(shí)，

則[PH=x-32]，[DH=34x2-94x+2716]，

∵等腰直角三角形PDH中，PH = DH，即[x-32=34x2-94x+2716]，

解得[x1=32]（與點(diǎn)D重合，舍去），[x2=176]，

當(dāng)x = [176] 時(shí)，[y=-34x2+94x+3=16148]，即P [176，16148];

情況②：如圖5，點(diǎn)P在D點(diǎn)左側(cè)時(shí)，

則[PH=32-x]，[DH=34x2-94x+2716]，

∴等腰直角三角形△PDH中，PH = DH，

即[32-x=34x2-94x+2716]，

解得[x1=32]（與點(diǎn)D重合，舍去），[x2=16]，

當(dāng)x = [16] 時(shí)，[y=-34x2+94x+3=16148]，即P [16，16148].

變式3：點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿y軸正半軸以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向上運(yùn)動(dòng)，連接AC，AP，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻t，使得∠OAC = 2∠OAP？若存在，求出t的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析：此問(wèn)題將二倍角問(wèn)題與動(dòng)點(diǎn)的速度與時(shí)間相結(jié)合，出現(xiàn)了更多的變量，這時(shí)要把握住問(wèn)題的本質(zhì)，即AP為∠OAC的角平分線，從而利用角平分線的性質(zhì)定理構(gòu)造直角三角形，結(jié)合勾股定理找出P點(diǎn)坐標(biāo).

解：如圖6，作PH⊥AC于點(diǎn)H，

由題意設(shè)P（0，2t），則OP = 2t，CP = 3 - 2t，

∵∠OAC = 2∠OAP，

∴AP平分∠OAC，

易證△AOP≌△AHP（AAS），

∴HP = OP = 2t，AH = AO = 1，易得CH = [10-1]，

∵Rt△CHP中，[CH2+HP2=CP2]，

即[10-12+] （2t）2 = （3 - 2t）2，解得[t=10-16]，

∴t值為[10-16]時(shí)，∠OAC = 2∠OAP.

（作者單位：阜新市實(shí)驗(yàn)中學(xué)）