高中數(shù)學教科書中的物理情境及其應用探析

唐海軍 王佳佳 劉雙?陳芳芳

摘 要 此研究選取北師大版、人教A版、人教B版（2019版）高中數(shù)學教科書（必修）中的物理情境作為研究對象，對三版教科書中物理情境的分布特征、價值定位進行了分析。建議教科書編寫者和使用者，以 情境“融合”為導向，優(yōu)化教科書編排;以 學科“聯(lián)系”為依托，提升教學設計功能;以 資源“創(chuàng)造”為平臺，促進項目式的學習。

關鍵詞 數(shù)學教科書 物理情境 情境價值

經(jīng)濟合作與發(fā)展組織（OECD）2018年發(fā)布的研究結果《OECD學習框架2030》提出：“未來的學生將需要廣泛和專業(yè)的知識，作為發(fā)展形成新知識的基礎學科知識仍然會是很重要的，但是還需要跨學科思維和‘連接的能力?！盵1]隨著數(shù)學教育的發(fā)展，部分國家較早地在高中數(shù)學課程改革中嘗試跨學科、跨文化的課程融合，例如澳大利亞《高中數(shù)學課程標準》（2013版）中重視歷史、文化傳統(tǒng)和土著居民語言的融入[2]。法國《高中數(shù)學大綱》明確指出要將數(shù)學與物理等學科聯(lián)系起來，并強調(diào)教學內(nèi)容與實際應用相互聯(lián)系，通過學生的探究來發(fā)現(xiàn)大千世界的奧妙[3]。中國《普通高中數(shù)學課程標準》（2017版）的內(nèi)容中也已經(jīng)呈現(xiàn)出跨學科融合現(xiàn)象。數(shù)學教科書中的物理情境作為服務于學習者數(shù)學學習，呈現(xiàn)數(shù)學概念、思想方法的跨學科背景材料，是連接STEAM教育與學科課堂的紐帶。因此，在復合型人才培養(yǎng)的背景下，研究分析高中數(shù)學教科書中物理情境的分布特征、價值定位與應用實踐，對完善數(shù)學教科書、改進教學和培育學生核心素養(yǎng)都具有十分重要的意義。

一、數(shù)學教科書中物理情境的分布特征

以北京師范大學出版社（簡稱，北師大版）、人民教育出版社（簡稱，人教A版、人教B版）2019年發(fā)行的高中數(shù)學教科書（必修）作為物理情境的統(tǒng)計來源，以《普通高中數(shù)學課程標準（2017版）》（簡稱，數(shù)學課標）中必修課程所規(guī)定的5個主題及相應若干單元為“數(shù)學單元”的統(tǒng)計標準，結合《普通高中物理課程標準》（2017版）涉及的知識主題，分版本對涉及物理情境的數(shù)學單元、物理主題和教科書位置等進行了統(tǒng)計分析。

1.涉及物理情境的數(shù)學單元分布

三版教科書中涉及物理學知識的情境材料，出現(xiàn)在5個數(shù)學主題，9個單元之中，最終統(tǒng)計情境數(shù)目及相應數(shù)學單元分布，見表1。

由表1可知，北師大版、人教A版和人教B版教科書必修部分涉及物理學知識的分別有7，8，9個單元。物理情境在三個版本教科書中的總體分布比較集中在“平面向量及其應用”和“三角函數(shù)”兩個單元。進一步分析這兩個單元的內(nèi)容，發(fā)現(xiàn)物理情境主要是分布在教科書中的“向量的加減運算”和“正弦型三角函數(shù)”等章節(jié)。上述統(tǒng)計數(shù)據(jù)，一方面說明新版高中數(shù)學教科書中擁有大量的物理學情境，教科書編寫者力圖讓教科書能夠引起學生的閱讀和學習興趣，突顯教科書的“心理性”——即

學習素材的現(xiàn)實性、銜接性與可讀性[4];另一方面反映出新版教科書重視向量作為聯(lián)系物理與數(shù)學的紐帶作用，強調(diào)三角函數(shù)作為描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學模型的地位，讓師生能夠進一步體會從實際問題中抽象出函數(shù)，就是在經(jīng)歷一個非常典型的數(shù)學建模過程。

2.教科書中的物理學主題分布

根據(jù)《普通高中物理課程標準》（2017版）所給出的23個規(guī)范性的物理“主題”名稱以及表1所列章節(jié)數(shù)學內(nèi)容對應的物理學知識，統(tǒng)計出教科書中物理學主題的分布情況，如表2所示。

由表2可知，北師大版、人教A版和人教B版教科書必修部分情境中出現(xiàn)的物理學主題分別有9、11和9個。上述內(nèi)容主要是分布在“相互作用與運動定律”“曲線運動與萬有引力定律”兩個主題。進一步分析，這兩個主題的內(nèi)容對應數(shù)學中的向量和三角函數(shù)兩個單元，也是2017版數(shù)學課標的教學案例編寫建議中所明確提到的物理學內(nèi)容。這反映了三版教科書編寫者在情境編寫時“忠實課標”，力求做到“按標編排”。數(shù)學教科書中的物理學主題分布特征，也與物理學科中數(shù)學需求特征是相互吻合的，即“高中物理課程學習中對向量運算知識的需要程度最高，而立體幾何和概率統(tǒng)計需求程度最低”[5]。

3.物理情境所處教科書的欄目分布

物理情境在高中數(shù)學教科書中所處的欄目通常包括章節(jié)頭、正文、例題、習題（復習題）、章節(jié)總結、拓展內(nèi)容，統(tǒng)計其分布情況如表3所示。

主要是分布在習題欄目中（其中北師大版占55.77%;人教A版占59.18%，人教B版占40.43%），表明了三版教科書的編寫者均傾向于將物理情境作為數(shù)學新知識鞏固應用的場景。進一步分析，三個版本又各具特色，北師大版主要分布在習題、正文和例題中，人教A版分布在習題和例題中，而人教B版分布在正文和習題中。從欄目來看，人教A版各欄目均有分布，其中在指數(shù)函數(shù)一節(jié)的拓展部分設計了“放射性物質(zhì)的衰減”作為閱讀思考材料。此外，人教B版教科書必修部分的正文中出現(xiàn)的物理情境占其總體的42.55%，說明該版教科書有意在正文部分利用物理學情境，引導學生突破學科壁壘，在多學科的氛圍中掌握各種知識與技能。

二、數(shù)學教科書物理情境的價值定位

教師在教學設計中利用教科書情境或創(chuàng)設教學情境，已成為教學工作中的一種“習慣”，然而審視教學，又“不難發(fā)現(xiàn)教師對問題情境的認識大多還停留在價值和意義的經(jīng)驗層面，即通過創(chuàng)設問題情境來解決學生諸如興趣、動機等方面的問題”[6]。物理情境所具有的平臺支撐、科學探究和文化育人等多重屬性沒有得到準確認識，多元功能有待情境的編制者和使用者充分挖掘。

1.指向素養(yǎng)的知識載體價值

教科書情境依據(jù)知識的類型、學習目標以及學習者的年齡特征而表現(xiàn)出不同的現(xiàn)實“畫像”，但情境創(chuàng)設的核心在于數(shù)學素養(yǎng)的提升，關鍵在于為展開知識和思維的雙過程營造場景[7]。因此，情境具有現(xiàn)實性和思考性的特征?！艾F(xiàn)實性”是情境的外顯特征，涉及學生生活世界中的客觀現(xiàn)實、已有的數(shù)學知識經(jīng)驗以及其他相關學科的知識經(jīng)驗等，這一層面是服務于學生知識的建構?！八伎夹浴眲t體現(xiàn)了情境的核心價值，表現(xiàn)在情境所蘊含的數(shù)學活動中，這一特性旨在發(fā)展學生的數(shù)學思維，體現(xiàn)情境的支架作用[8]。每個情境都有相應的“話語”和“結構”來描述情境的“現(xiàn)實性”和“思考性”。話語是描述其情境內(nèi)容的元素（包含用詞、符號、圖案、表格），結構是呈現(xiàn)情境所涉及的知識之間的關系。

例如，北師大版2019年高中數(shù)學教科書必修第二冊“6.2平面向量在幾何、物理中的應用”一節(jié)中的例18，在“懸掛燈具”這一情境中，既包括問題情境的求解，又蘊含模型情境的應用。它涉及的物理學背景知識是“力的相互作用與運動定律”，物理學的話語有“拉力”“重力”，而結構就是等量關系“重力=兩繩拉力合力”，數(shù)學符號表征為“ F1 cos60°+ F2 cos60°= G=10”。在情境層面，物理學知識不是情境的點綴，而是為引出問題中存在的“物體受力模型”，這一模型可以用“向量”語言直觀地表達。通過例題，凸顯向量是解決許多物理與數(shù)學問題的有力工具。

2.主題聚焦的科學研究價值

科學與數(shù)學是人類探究自然、了解自我的重要工具，也是社會與經(jīng)濟發(fā)展的催化劑?？茖W能力與數(shù)學能力息息相關。例如，為了保持科學與工程領域的世界領先地位，英國皇家學會于2014年6月26日發(fā)布了題為《科學與數(shù)學教育愿景》的政策咨詢報告，為未來20年英國教育體系改革繪制了路線圖，并著重建議將數(shù)學和科學課程作為必修課，延續(xù)至義務教育最后階段，以提升國民科技素養(yǎng)、滿足未來人才需求[9]。PISA2015測試顯示中國大陸學生科學素養(yǎng)排名第10，低于數(shù)學的排名。在促進科學與數(shù)學素養(yǎng)的提升方面，中國教育部陸續(xù)出臺具有整合特征的政策文件，如《關于“十三五”期間全面深入推進教育信息化工作的指導意見》《中小學綜合實踐活動課程指導綱要》來推動科學、工程、技術與數(shù)學的融合。教育研究人員指出，“現(xiàn)實學校教育中，教師很難在STEAM學科之間建立聯(lián)系。因此，當學生以孤立和分離的方式學習時，他們往往對科學和數(shù)學不感興趣，因為他們?nèi)鄙倥c橫切概念和現(xiàn)實世界應用程序的聯(lián)系”[10]。物理情境則為教師的教科書“二次開發(fā)”與跨學科教學設計提供了契機。

例如，人教A版2019年高中數(shù)學教科書必修第一冊“4.2指數(shù)函數(shù)”的問題2，“當生物死亡后，它機體內(nèi)原有的碳14含量會按確定的比率衰減（稱為衰減率），大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為‘半衰期。按照上述變化規(guī)律，生物體內(nèi)碳14含量與死亡年數(shù)之間有怎樣的關系？”

“碳14的衰減”這一情境在三個版本的教科書中都有出現(xiàn)，（北師大版3次，人教A版6次，人教B版2次），可見這個物理情境的重要性。目前，北師大版將這一情境放在對數(shù)函數(shù)的概念與性質(zhì)的學習中，人教A版主要是將這一情節(jié)作為指數(shù)函數(shù)的引入例題、課后習題和閱讀材料。而人教B版將其分別放入到指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的學習之中，目的是建立起指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的聯(lián)系。其實，這一內(nèi)容的科學研究價值遠遠沒有被充分利用起來。從數(shù)學學科來看，指數(shù)函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界規(guī)律的一個重要模型，放射性物質(zhì)衰變中半衰期的研究不但涉及物理學，還包括化學、生物學、天文學以及考古學動植物年代研究等等。從STEAM視角，圍繞放射性物質(zhì)衰變這一科學概念，教師在課后組織學生經(jīng)歷科學的探究過程，設計一系列的科學情境，從而加深學生對指數(shù)與對數(shù)函數(shù)模型的理解以及科學與人文素養(yǎng)的培養(yǎng)。

3.情境熏陶的文化育人價值

數(shù)學課標（2017版）指出數(shù)學教育承載著落實立德樹人根本任務和發(fā)展素質(zhì)教育的功能。特別強調(diào)數(shù)學教育除了幫助學生掌握學習和生活所必需的數(shù)學知識、技能、思想和方法以外，還特別提及需要增強學生社會責任感，在學生形成正確人生觀、價值觀、世界觀等方面發(fā)揮獨特作用。這與著名的華德福（Waldorf）教育目標是一致的，即教育還需要能夠培養(yǎng)一個了解世界、人類歷史文化，具有多種實踐能力和藝術才能，對自然世界懷有深深的敬畏之心，并與之交流的人。2019版高中數(shù)學教科書在回應課標要求的同時，也通過情境的編排來體現(xiàn)物理情境的文化育人價值，彰顯“文化自信”。例如，人教A版必修第一冊中“第5·6節(jié)勻速圓周運動的數(shù)學模型”。

該情境是用數(shù)學中的三角函數(shù)模型來刻畫筒車的運動規(guī)律，涵蓋了圓周運動（角速度、轉(zhuǎn)動慣量、角動量等）以及勢能與動能的轉(zhuǎn)化等物理知識。該情境還體現(xiàn)出中國的傳統(tǒng)農(nóng)耕文化中利用科學知識提高生產(chǎn)力的現(xiàn)象。農(nóng)耕文化是中國勞動人民幾千年生產(chǎn)生活的智慧結晶，是以不同于常見形式沿襲下來的一種文化形態(tài)。在正弦型函數(shù)學習中引入筒車這一農(nóng)耕文化符號，不僅體現(xiàn)了正弦型函數(shù)可以描述周期運動，更突顯了情境的科學性、觀賞性、趣味性等特征。教科書中回歸并記錄了農(nóng)耕文化的痕跡，拉近了城鄉(xiāng)學生文化心理距離。在學習中不僅可以了解傳統(tǒng)農(nóng)耕文化和民族歷史，還可以起到“降低碳排放、使用綠色能源”的環(huán)保教育作用。

三、數(shù)學教科書中物理情境的應用策略

經(jīng)合組織（OECD）在2019年發(fā)布的《PISA2018見解和解釋》中提出：未來的教育需要的是融合，不同學科的融合，不同學生的融合，各種學習情境的融合;需要的是聯(lián)系，與現(xiàn)實世界情境的聯(lián)系，與社區(qū)豐富的資源的聯(lián)系;需要的是共同創(chuàng)造，承認學生和成年人都是學習設計成功的資源[11]。所以，數(shù)學教科書中物理情境的開發(fā)、應用需著眼于教材情境的“融合”、教學設計的“聯(lián)系”與學習資源的“創(chuàng)造”三個維度。

1.以情境“融合”為導向，優(yōu)化教科書編排

數(shù)學與物理的融合有著悠久的歷史，科學史上很多知名的物理學家也是數(shù)學家。正如弗賴登塔爾指出，數(shù)學家“以物理觀念為向?qū)?chuàng)立了一整套的方法，它們變成了現(xiàn)代偏微分方程論、積分方程論和泛函分析中的典范”。數(shù)學的發(fā)展不斷地從應用中獲得刺激，“如果沒有應用的推動，數(shù)學會變得多么貧乏”[12]。數(shù)學課標（2017版）中明確地在必修和選修系列課程中提出了較多的與物理學主題相關的情境要求。比如，在選擇性必修中，建議將一元函數(shù)導數(shù)及其應用與物理情境結合起來開展教學。引導學生經(jīng)歷一個由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，從而更好地與大學數(shù)學內(nèi)容銜接[13]。所以，數(shù)學教科書融入一些符合學生認知水平和課堂教學特征的科學類情境尤為重要。

（1）對比不同版本教科書來調(diào)整問題情境

其一，參考國外教科書編制經(jīng)驗。以法國數(shù)學教科書為例，由于數(shù)學與物理學科的緊密聯(lián)系一直是法國數(shù)學教育的一個典型特征。為增強數(shù)學和科學學科的聯(lián)系，高二年級引入跨學科項目（The multidisciplinary projects），稱為TPE，比如在高三設置一些與放射性活動相關的跨學科工作，以引入指數(shù)函數(shù)的新模型[14]。其二，國內(nèi)教科書情境編寫以課標建議為指南。例如，課標建議教科書編制用正弦函數(shù)刻畫三種周期變化的現(xiàn)象：簡諧振動（單擺、彈簧等）、聲波（音叉發(fā)出的純音）、交變電流的物理情境。對此，三版數(shù)學教科書都有編寫，但又呈現(xiàn)出不同的風格。

（2）保留以往數(shù)學教科書中的經(jīng)典物理情境

人教A版（2004年）必修1習題1、必修2的第13題噴水池噴水頭的設計，這個情境涉及的數(shù)學知識主要是二次函數(shù)的圖象與最值，與物理學中平拋運動相關。噴水池這樣的情境在平時的學校、公園、小區(qū)都能夠見到，保留在教科書中，既可以做到數(shù)學與物理學科知識的融合，又能夠引發(fā)學生關注和熱愛生活，增強知識服務于生活實踐的體驗。

2.以學科“聯(lián)系”為依托，提升教學設計功能

隨著學科知識結構的演化和知識生產(chǎn)從模式1（特定學科）向模式2（跨學科）的轉(zhuǎn)化[15]，學科之間的邊界和區(qū)隔逐漸消弭，知識的交叉與聯(lián)系已成為近年大學專業(yè)設置和課程架構的重要趨勢，若學生在高中階段的數(shù)學學習就能夠打破科目壁壘，去嘗試與其他學科建立聯(lián)結，擴大知識視野與培養(yǎng)跨界思維能力，將有助于其更好地適應未來大學的學習模式。從學科聯(lián)系來看，數(shù)學教科書中的物理情境就為實施有“聯(lián)系”的教學設計提供了契機，因而教師應充分利用情境的價值，圍繞一個主題，從“橫向整合”“縱向聯(lián)系”來設計教學。

例如，北師大版必修1第五章復習題中有這樣一個情境：飛行員從飛機上跳傘，第1s下落約16英尺，第2s下落約48英尺，第3s下落約80英尺，如果空氣阻力不計，那么在第10s內(nèi)，飛行員下落的距離是多少？

基于跨學科內(nèi)容整合與合作問題解決，教師可如下設計教學：

情境創(chuàng)設：通過多媒體出示飛行員跳傘訓練的新聞，引起學生對跳傘情境的興趣，了解情境包含的相關數(shù)據(jù)。

提出問題：如何得出在第10s內(nèi)，飛行員下落的距離是多少？你能提出好的建議嗎？

解決問題：以動畫展示飛行員跳傘過程，并過渡到質(zhì)點的運動過程;學生自主思考、小組討論運動軌跡的特點;教師指導學生思考“飛行員下落的時間（橫軸）與下落的距離（縱軸）之間的函數(shù)關系”或直接展示取得探究進展的小組成果。

分享評價：學生組內(nèi)、組間交流和全班分享，評估用模型g（t）=16t 2來描述該飛行員跳傘運動軌跡是否合理，從而獲得模型的準確表達式。

拓展運用：學生總結整個過程中遇到的困難，思考是如何突破困難的，進一步思考：如果跳傘運動員從離地面2500m的高空跳傘，并準備在距地面500m時打開降落傘，那么跳傘運動員應在離開飛機多少秒后打開降落傘（精確到0.1s）？

跳傘是從生活中提取出來的情境。通過五個教學環(huán)節(jié)的設計，有利于學生在面對簡化的現(xiàn)實生活場景，綜合運用物理學、數(shù)學知識，發(fā)現(xiàn)問題、解決問題和拓展問題，從而支持學生經(jīng)歷一個用數(shù)學眼光觀察世界，用數(shù)學思維思考世界，用數(shù)學語言表達世界的過程。

3.以資源“創(chuàng)造”為平臺，促進項目式學習

從學生視角來看，“數(shù)學與現(xiàn)實生活的聯(lián)系是什么？數(shù)學學習的意義究竟在哪里？”弗賴登塔爾認為教師“不要教孤立的片斷，應該教連貫的材料，……因為有聯(lián)系的事物學生學得快，記得

牢”[16]，做到有聯(lián)系地理解。教師通過挖掘數(shù)學教科書中物理情境的多元價值，建立資源“創(chuàng)造”的平臺，指導學生參與跨學科融合的“小微”項目研究，來回應學生的疑惑?！靶∥ⅰ表椖拷ㄔO是師生運用數(shù)學的算理分析與邏輯，結合物理、化學和生物等學科知識，來解決自然科學現(xiàn)象，創(chuàng)造更多學習資源的活動。

從對教科書中涉及到的物理情境的統(tǒng)計來看，可以在如下幾個主題內(nèi)容方面建設項目式學習的資源庫，見表4。

例如，在人教B版（2007年）數(shù)學選修4-4中《1.4圓的極坐標方程》內(nèi)容后的探索與研究欄目中有如下一道關于航天器軌跡方程的題目：“神舟五號”載人飛船的運行軌道是以地心為焦點的橢圓，近地點高度為200km，遠地點高度為350km。求軌道參數(shù)e、p。

對于“人造衛(wèi)星”“載人飛船”這一類問題，學生在不同學段、不同學科中（特別是科學課程）有學習的經(jīng)歷，但那些經(jīng)歷中更多關心的是科學現(xiàn)象，而忽略了這中間的數(shù)學原理。這個探究項目的出發(fā)點就是立足物理情境中涉及的數(shù)學知識，進一步認識應用數(shù)學刻畫運動規(guī)律。基于物理學視角，從萬有引力定律出發(fā)，能夠得到人造衛(wèi)星或者宇宙飛船軌道的方程，且其軌道是圓錐曲線。從數(shù)學看，圓錐曲線的很多優(yōu)美的光學性質(zhì)，對探索宇宙奧秘有著極為重要的意義和價值;從內(nèi)容與社會熱點來看“載人飛船”在激發(fā)學生的愛國熱情、培育科學信念和數(shù)學素養(yǎng)方面是極佳的物理素材。

總之，STEAM教育在國內(nèi)影響不斷擴大時，我們既要看到跨學科融合的優(yōu)勢，同時也要對此保持一份謹慎和理性。課程的分化與綜合是社會分工與教育進化的必然結果，不同的課程在人才培養(yǎng)方面具有獨特的功能。如果因為數(shù)學課程也具有陶冶學生科學素養(yǎng)的功能，而在教科書情境編制上過度選擇物理情境，則偏離了數(shù)學課程的基本理念與性質(zhì)，產(chǎn)生了“喧賓奪主”的效應，所以情境的編制與使用者對問題情境在數(shù)學學習中的意義都需要有一個清醒的認識。“首先，數(shù)學本質(zhì)上是一門形式的科學，因此，在處理實際問題時應該強調(diào)的是‘數(shù)學化的過程;其次，要強調(diào)背景的數(shù)學意義，而不只是給數(shù)學問題穿上一件背景的外套?！盵17]

參考文獻

[1] 經(jīng)濟合作與發(fā)展組織（OECD）.OECD學習框架2030[J].孟鴻偉，譯.開放學習研究.2018，23（03）：9-19.

[2][3] 史寧中，孔凡哲.十二個國家普通高中數(shù)學課程標準國際比較研究[M].長沙：湖南教育出版社，2013：87-88，144-166.

[4] 章建躍.高中數(shù)學教材落實核心素養(yǎng)的幾點思考[J].課程·教材·教法，2016，36（07）：44-49.

[5] 袁麗.中學物理課程中數(shù)學知識的支持性研究[D].重慶：西南大學博士學位論文，2009：52.

[6][8] 任旭.問題情境的創(chuàng)設：基于思維發(fā)展的理解[J].數(shù)學教育學報，2017，26（04）：15-18.

[7] 王嶸.以函數(shù)為例，談高中數(shù)學教科書的情境創(chuàng)設[J].中學數(shù)學教學參考（上旬），2019（02）：11-13.

[9] 翟俊卿，闞閱，楊迪.英國《科學與數(shù)學教育愿景》評析[J].全球教育展望，2015，44（08）：55-62

[10] Kelley T R，Knowles J G . A conceptual framework for integrated STEM education[J]. International Journal of STEM Education，2015，3（01）：11.

[11] Andreas Schleicher.PISA 2018 Insights and Interpretations[M].

Paris ：OECD Publishing， 2019：55-56.

[12][16] 弗賴登塔爾.作為教育任務的數(shù)學[M].陳昌平，唐瑞芬，等，譯.上海：上海教育出版社，1995：14-16，72-73.

[13] 曹一鳴，嚴虹.高中數(shù)學課程內(nèi)容及其分布的國際比較[J].數(shù)學通報，2015，54（07）：9-14.

[14] 阿蒂格.法國高中數(shù)學教學[J].郭玉峰，整理.數(shù)學通報.2009，48（12）：1-4.

[15] 吉本斯，等.知識生產(chǎn)的新模式：當代社會科學與研究的動力學[M].陳洪捷，沈文欽，譯.北京：北京大學出版社，2011：3.

[17] 鮑建生，周超.數(shù)學學習的心理基礎與過程[M].上海：上海教育出版社，2009：185-186

[作者：唐海軍（1982-），男，四川南充人，四川文理學院數(shù)學學院，講師，貴州師范大學數(shù)學科學學院，博士生;王佳佳（1993-），女，四川達州人，四川文理學院數(shù)學學院，助教，碩士;劉雙（1990-），女，四川達州人，四川文理學院數(shù)學學院，助教，碩士;陳芳芳（1989-），女，四川達州人，四川文理學院數(shù)學學院，助教，碩士。]

【責任編輯 孫曉雯】