動水壓下減震連續(xù)梁橋隨機優(yōu)化及減震性能研究

馬安財,譚 平,王社良,周福霖,

(1.西安建筑科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，西安 710055； 2.廣州大學(xué) 工程抗震減震與結(jié)構(gòu)安全教育部重點實驗室，廣州 510405)

近年來，我國跨海橋梁的建設(shè)呈現(xiàn)出空前的增長趨勢。跨海橋梁所處的荷載環(huán)境極為復(fù)雜，要同時承受地震、波浪、強風(fēng)等多種荷載作用，為了提高跨海橋梁地震和波浪耦合作用下的安全性能，發(fā)展減震技術(shù)具有十分重要的工程意義[1]。

跨海橋梁地震響應(yīng)分析中需要考慮流體-結(jié)構(gòu)相互作用，對于直徑較小的橋墩，國內(nèi)外研究者主要采用簡化或改進(jìn)的Morison方程來描述水體對橋梁的動水壓力[2-3]，以此來反映流固耦合相互作用。Yamada等[4]采用修正的Morison方程計算了動水壓力，對地震和海浪激勵下近海樁柱結(jié)構(gòu)上的動力響應(yīng)進(jìn)行了分析；高學(xué)奎等[5]在簡化Morison方程的基礎(chǔ)上采用附加水質(zhì)量考慮水的影響；趙秋紅等[6]對比了各國規(guī)范中動水壓力計算方法，研究了Morison方程的適用范圍。對于直徑較大的橋墩，為避免Morison方程簡化帶來的誤差，則主要通過輻射波浪理論計算動水壓力，在這方面，Li等[7]和Jiang等[8]提出了圓柱形橋墩動水壓力的簡化計算公式；Wang等[9-12]系統(tǒng)地研究了工程中常用的橢圓形、圓端形、矩形及橢圓形空心橋墩的動水壓力簡化計算，并提出了相應(yīng)的動水附加質(zhì)量簡化計算公式；Zhang等[13]結(jié)合流固耦合方法對任意形狀截面橋墩的動水壓力進(jìn)行了研究。

在橋梁減震方面，黏滯阻尼器作為一種穩(wěn)定性高、適用性強的減震裝置，可有效減小橋梁的地震反應(yīng)。在阻尼器設(shè)計過程中，阻尼器參數(shù)優(yōu)化是關(guān)鍵環(huán)節(jié)，傳統(tǒng)方法主要是通過既定地震波作用下結(jié)構(gòu)響應(yīng)對阻尼器參數(shù)的敏感性分析來進(jìn)行優(yōu)化[14-15]。而實際的地震動具有不確定性，采用確定性分析并不能準(zhǔn)確反應(yīng)其隨機特性。對此，趙國輝等人采用頻域法，對連續(xù)梁橋和懸索橋的黏滯阻尼器參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化[16]。但由于黏滯阻尼器的非線性特性，該方法僅適用于自由度較少的結(jié)構(gòu)。針對上述問題，Symans等[17]提出了基于耗能相等的阻尼器線性化方法，Paola等[18]基于均方差最小提出了隨機等價線性化方法，但由于涉及迭代求解，在實際應(yīng)用過程中隨機等價線性化方法應(yīng)用較少[19]。

本文建立了考慮動水壓力作用的2自由度簡化分析模型，提出了橋梁黏滯阻尼器參數(shù)隨機優(yōu)化的Lyapunov方法。通過Morison方程計算了簡化模型的動水壓力，根據(jù)耗能等效準(zhǔn)則對橋中非線性黏滯阻尼器進(jìn)行了等效線性化，以墩頂位移方差最小為目標(biāo)，采用提出的隨機優(yōu)化方法進(jìn)行了橋梁阻尼器參數(shù)優(yōu)化，并研究了動水壓力對減震橋梁地震反應(yīng)的影響和阻尼器的減震性能，對實際跨海橋梁的減震設(shè)計具有參考意義。

1 橋梁動水壓力計算

對于橋墩直徑/波浪波長<0.2的小直徑橋墩，結(jié)構(gòu)物的存在對波浪運動無顯著影響，可采用Morison方程計算動水壓力。對于橫向尺寸較小的圓柱體結(jié)構(gòu)，單位長度上動水壓力的計算公式為

(1)

(2)

地震動作用下橋梁結(jié)構(gòu)的運動方程可表示為

(3)

動水阻力與慣性力相比較小，可忽略不計，式(3)可進(jìn)一步寫為

(4)

2 橋梁分析模型

對于規(guī)則連續(xù)梁橋，可簡化成如圖1所示的兩自由度模型，該模型可很好把握其在地震作用下的動力響應(yīng)特性[21]。其中，處于完全彈性狀態(tài)的橋墩，當(dāng)同時考慮剪切和彎曲變形時，其組合剛度為

(5)

式中:kb為彎曲剛度;kv為剪切剛度;H為橋墩高度;Iz為橋墩截面慣性矩;Av為橋墩剪切面積;E為彈性模量;G為剪切模量。

(a)(b)圖1 減震橋梁模型簡化Fig.1 A simplified bridge model with viscous damper

假定橋墩變形形函數(shù)為

(6)

形成橋墩的附加質(zhì)量

(7)

動水壓力是以分布荷載的形式作用于橋墩上的，先將橋墩單元上的分布動水壓力轉(zhuǎn)化為墩頂?shù)牡刃ЫY(jié)點荷載，為方便使用簡化的Morison方程，再將墩頂?shù)刃ЫY(jié)點荷載轉(zhuǎn)化為墩頂附加動水質(zhì)量。

3 減震橋梁運動方程

3.1 阻尼力模型

非線性黏滯阻尼器的阻尼力為

(8)

以黏滯阻尼往復(fù)一周所耗散的能量與等效阻尼往復(fù)一周所耗散能量相等作為線性化的準(zhǔn)則，可以得到黏滯阻尼器的等效阻尼系數(shù)為

(9)

式中:ce為等效阻尼系數(shù)；ω為對應(yīng)簡諧激勵的圓頻率；v0為阻尼器加載的最大位移；λ為

λ=22+αΓ2(1+α/2)/Γ(2+α)

(10)

式中，Γ(·)為gamma函數(shù)。

3.2 運動方程

安裝黏滯阻尼器后橋梁在地震作用下的運動方程為

(11)

式中，Ce為設(shè)置了黏滯阻尼器的附加阻尼矩陣。

式(11)轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間形式

(12)

式中：

對本文簡化模型

(13)

式中:m1=m*為橋墩墩頂附加質(zhì)量，m2為橋梁上部結(jié)構(gòu)的集中質(zhì)量，mw為轉(zhuǎn)化到墩頂?shù)母郊觿铀|(zhì)量；c1、c2分別為橋墩和支座的阻尼系數(shù)；k1、k2分別為橋墩和支座的等效剛度。

4 隨機地震響應(yīng)分析

Clough-Penzien模型為常用隨機地震激勵模型

(14)

可轉(zhuǎn)化為狀態(tài)方程

(15)

式中：

由結(jié)構(gòu)運動狀態(tài)方程(12)和激勵狀態(tài)方程(15)可得擴展的系統(tǒng)狀態(tài)方程為

(16)

式中：

令響應(yīng)的方差矩陣為EY=E(YYT)，Eg=2πBS0BT為輸入的協(xié)方差矩陣，當(dāng)輸入為穩(wěn)態(tài)時，可得到描述響應(yīng)方差的Lyapunov方程

AEY+EYAT+Eg=0

(17)

求解上式即可得到結(jié)構(gòu)響應(yīng)方差。

5 阻尼器參數(shù)優(yōu)化

由阻尼力計算式(8)可知，黏滯阻尼器速度指數(shù)α、阻尼系數(shù)cα取不同值時對結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響也不同。在減震設(shè)計中需對設(shè)置黏滯阻尼器的橋梁進(jìn)行阻尼器參數(shù)α、cα優(yōu)化，研究參數(shù)變化對結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響規(guī)律，為阻尼器設(shè)計參數(shù)的確定提供依據(jù)。

從提高結(jié)構(gòu)安全性能的角度考慮，以墩頂位移方差最小化為優(yōu)化目標(biāo)，即：

(18)

(19)

約束條件為：s.t.:cα min≤cα≤cα max

αmin≤α≤αmax

式中:Sxx(ω)為墩頂位移響應(yīng)的自譜密度;cα min、cα max分別為阻尼系數(shù)的下限和上限;αmin、αmax分別為阻尼指數(shù)的下限和上限。

某一跨海連續(xù)梁橋，橋墩為圓柱實體墩，直徑3.0 m，墩高28.2 m，水深20 m，上部結(jié)構(gòu)質(zhì)量取橋墩相鄰兩個半跨的質(zhì)量m2=5×105kg，以集中質(zhì)量的形式作用在支座上，橋墩彈性模量為3.0×104MPa，等效剛度為1.587×107N/m，墩身等效到墩頂?shù)募匈|(zhì)量為186 880 kg，支座等效剛度為7.69×106N/m，結(jié)構(gòu)阻尼比取為0.05，支座阻尼比取為0.10。橋墩直徑和水深之比為0.15，根據(jù)文獻(xiàn)[22]的研究可采用Morison方程計算動水壓力。橋梁抗震設(shè)防烈度為8度，設(shè)計基本地震動加速度為0.2g，場地類別為II類。在隨機反應(yīng)分析時Clough-Penzien譜參數(shù)采用文獻(xiàn)[23]的方法進(jìn)行計算。基巖的單邊譜密度為S0=13.336 cm2/(rad·s3)，ωg=15.7 rad /s，ξg=0.72，取ξf=ξg，ωf=0.15ωgrad /s。

首先建立了對應(yīng)本文簡化分析模型的梁單元有限元模型，采用峰值為0.1g的El Centro波作為地震動輸入，通過對有限元模型動力特性和時程分析的比較來驗證本文簡化模型的合理性。經(jīng)計算，本文模型前兩階周期分別為2.01 s、0.61 s，有限元模型前2階周期為2.03 s、0.66 s，前兩階自振周期接近程度較高。圖2給出了兩種模型橋面縱向位移反應(yīng)時程曲線的比較，從中可看出，本文模型和有限元模型橋面位移反應(yīng)時程曲線吻合程度較好，最大值分別為52 mm和55 mm，誤差基本滿足5%的要求，說明本文簡化分析模型合理有效。

在墩頂與梁體之間設(shè)置2套黏滯阻尼器，應(yīng)用本文提出的方法進(jìn)行黏滯阻尼器減震優(yōu)化。圖3和圖4給出了墩頂位移方差隨阻尼系數(shù)cα和速度指數(shù)α的變化關(guān)系。由圖3可看出，墩頂位移方差隨阻尼系數(shù)cα的增大先減小后逐漸增大，對于不同α值的曲線，在cα=1.5×105附近普遍接近最小值。由圖4可看出，墩頂位移方差隨著速度指數(shù)α的增大整體上是減小的，只有cα=1.5×105的曲線在速度指數(shù)α=0.45附近取得了最小值。通過綜合比較，選擇α=0.45、cα=1.5×105為該橋的最優(yōu)阻尼器參數(shù)。

圖2 橋面縱向位移時程曲線Fig.2 Longitudinal displacement time history curve

圖3 墩頂位移方差隨阻尼系數(shù)cα的變化Fig.3 Pier top displacement variance versus damping coefficient

圖4 墩頂位移方差隨速度指數(shù)α的變化Fig.4 Pier top displacement variance versus velocity index

表1列出了α取0.45時cα分別取1.0×105和2.0×105，cα取1.0×105時α分別取0.40和0.50的四組組合和本文優(yōu)化結(jié)果對應(yīng)的墩頂位移方差。從中可以看出，本文優(yōu)化結(jié)果對應(yīng)的方差在鄰近范圍最小，說明本文方法對黏滯阻尼器的優(yōu)化結(jié)果是合理的，也說明了本文方法的有效性。

表1 阻尼器參數(shù)對應(yīng)的墩頂位移方差

6 減震橋梁性能研究

首先進(jìn)行模態(tài)分析，再利用El Centro波和Kobe波進(jìn)行時程反應(yīng)分析，分析中結(jié)構(gòu)重要性系數(shù)按照文獻(xiàn)[24]規(guī)定取1.7。表2列出了分別考慮動水壓力作用(有水)和不考慮動水壓力作用(無水)結(jié)構(gòu)的第一、二階頻率及其變化率?？煽闯觯嚎紤]動水壓力作用后，一階頻率降低了0.6 %，二階頻率降低了9.9%，表明水體的存在改變了結(jié)構(gòu)的動力特性。

表2 橋梁自振頻率

為分析動水壓力對橋梁地震響應(yīng)的影響，對不設(shè)阻尼器時的抗震橋梁，計算了考慮動水壓力作用(有水)和不考慮動水壓力作用(無水)兩種情況下橋梁的地震反應(yīng)。表3列出了墩頂水平位移、支座位移、墩底彎矩和墩底剪力的地震反應(yīng)峰值及變化率。圖5給出了El Centro波和Kobe波作用下墩頂位移時程曲線。從中可看出：考慮動水壓力作用后，El Centro波作用下的墩頂位移、墩底彎矩、墩底剪力普遍增大了10.8%左右，支座位移增大了7.2%；Kobe波作用下的墩頂位移、墩底彎矩、墩底剪力普遍增大了4.7%左右，支座位移增大了7.9%。地震作用下，處在水中的橋墩地震反應(yīng)受動水壓力的影響整體上較為明顯，動水壓力的存在放大了橋梁的動力響應(yīng)。因此，對于跨海橋梁，在減震設(shè)計中考慮動水壓力是必要的。

表3 有/無動水壓力作用下橋梁地震反應(yīng)峰值

(a) El Centro波

(b) Kobe波圖5 有/無動水壓力作用下橋梁墩頂位移時程曲線Fig.5 Time history curves of bridge pier top displacementwith/without hydrodynamic pressure

為了衡量控制效果引入了減震率的概念，定義如下

(20)

式中:Ri為第i個自由度的減震率;di,u(t)和di,c(t)分別為抗震和減震情況下結(jié)構(gòu)第i個自由度的地震反應(yīng)。

表4列出了El Centro波和Kobe波作用下考慮動水壓力影響的減震和非減震橋梁的墩頂水平位移、支座位移、墩底彎矩和剪力的峰值及其變化率，圖6給出了El Centro波作用下相應(yīng)的時程曲線。從中可以看出：對于考慮了動水壓力的黏滯阻尼器減震橋梁，El Centro波作用下的墩頂位移、墩底彎矩、墩底剪力的減震率在12.3%～14.3%，支座位移的減震率為26.7%；Kobe波作用下的墩頂位移、墩底彎矩、墩底剪力的減震率在8.9%～10.6%，支座位移的減震率為29.5%。本文設(shè)計的黏滯阻尼器對橋墩的減震效果比較明顯，對支座位移的減震效果尤為明顯。采用黏滯阻尼器對跨海橋梁進(jìn)行減震控制可有效減小結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)，改善橋梁的抗震安全性。

表4 控制效果比較

(a) 墩頂位移(b) 支座變形(c) 墩底彎矩(d) 墩底剪力圖6 橋梁地震反應(yīng)時程曲線Fig.6 Seismic response time history curves of bridge

圖7給出了El Centro波作用下阻尼器的滯回曲線，可看出在地震作用下黏滯阻尼器滯回曲線飽滿、規(guī)則、耗能效果明顯，考慮動水壓力作用的橋梁由于地震反應(yīng)更大其黏滯阻尼器的耗能效果也更明顯。

圖7 有/無動水壓力作用下橋梁黏滯阻尼器滯回曲線Fig.7 Hysteresis curve of viscous damper of bridgewith/without hydrodynamic pressure

7 結(jié) 論

本文提出了考慮動水壓力作用的橋梁簡化分析模型，在此基礎(chǔ)上采用隨機振動分析的Lyapunov方程進(jìn)行了黏滯阻尼器參數(shù)優(yōu)化，并研究了動水壓力對減震橋梁地震反應(yīng)的影響和阻尼器的減震性能，得出如下結(jié)論：

(1) 本文提出了考慮動水壓力作用的橋梁黏滯阻尼器參數(shù)隨機優(yōu)化的Lyapunov方程方法，并通過簡化的橋梁分析模型驗證了方法的有效性。

(2) 本文算例表明考慮動水壓力作用后，橋梁的一階頻率降低了0.6 %，二階頻率降低了9.9%，水體的存在改變了橋梁結(jié)構(gòu)的動力特性。

(3) 考慮動水壓力作用后，El Centro波作用下的墩頂位移、墩底彎矩、墩底剪力普遍增大了10.8%左右，支座位移增大了7.2%；Kobe波作用下的墩頂位移、墩底彎矩、墩底剪力普遍增大了4.7%左右，支座位移增大了7.9%。地震作用下，處在水中的橋墩其地震反應(yīng)受動水壓力的影響整體上較為明顯，動水壓力的存在放大了橋梁的動力響應(yīng)。對于跨海橋梁，在減震設(shè)計中考慮動水壓力是必要的。

El Centro波作用下的墩頂位移、墩底彎矩、墩底剪力的減震率在12.3%～14.3%之間，支座位移的減震率為26.7%；Kobe波作用下的墩頂位移、墩底彎矩、墩底剪力的減震率在8.9%～10.6%之間，支座位移的減震率為29.5%。

(4) El Centro波作用下橋梁墩頂位移、墩底彎矩、墩底剪力的減震率在12.3%～14.3%之間，支座位移的減震率為26.7%；Kobe波作用下的墩頂位移、墩底彎矩、墩底剪力的減震率在8.9%～10.6%之間，支座位移的減震率為29.5%。地震作用下黏滯阻尼器滯回曲線飽滿、規(guī)則、耗能效果明顯。考慮動水壓力作用的橋梁黏滯阻尼器的耗能效果更加明顯。阻尼器的設(shè)置可有效降低橋梁的地震反應(yīng)，對支座位移的減震效果尤為明顯。

本文的兩自由度簡化模型對于以剪切變形為主的中、低墩橋梁，結(jié)果較為準(zhǔn)確，對以彎曲為主的高墩橋梁，由于質(zhì)量參與和高階振型的影響，誤差較大；由于Lyapunov直接求解方差法僅限于平穩(wěn)隨機模型或等效平穩(wěn)模型，因此本文方法不能進(jìn)行完全非平穩(wěn)隨機地震激勵下的黏滯阻尼器參數(shù)優(yōu)化。