從“淺嘗輒止”到“尋根究底”

柏德華

摘要：數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生探尋數(shù)學(xué)知識背后的思想方法，使學(xué)生“知其然”，更“知其所以然”;要讓學(xué)生在掌握知識的基礎(chǔ)上，體驗到數(shù)學(xué)思維帶來的挑戰(zhàn)和愉悅，感受到理性思辨的力量。教學(xué)《2、5的倍數(shù)的特征》一課，不停留于“淺嘗輒止”，僅關(guān)注知識的表象，而著力于“尋根究底”，追問知識背后的“為什么”，注意思維的科學(xué)性和嚴(yán)謹(jǐn)性，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)深入知識的堂奧。由此得到幾點思考：數(shù)學(xué)課堂要培養(yǎng)學(xué)生的理性思維，讓研究“尋根究底”;要培養(yǎng)學(xué)生的探究能力，讓學(xué)習(xí)“觸類旁通”;要培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維，讓思考“邏輯自洽”。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)知識;數(shù)學(xué)思維;《2、5的倍數(shù)的特征》

一、“淺嘗輒止”：《2、5的倍數(shù)的特征》教學(xué)問題掃描

之前參加教學(xué)視導(dǎo)，筆者連續(xù)幾天聽了同一個課題——“2、5的倍數(shù)的特征”（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級下冊32-33頁）的三節(jié)課。三節(jié)課不約而同地呈現(xiàn)出大致相同的教學(xué)流程：以百數(shù)表為學(xué)習(xí)素材，先讓學(xué)生在表中圈出2、5的倍數(shù)，通過觀察初步得出它們的特征，然后再舉例驗證，最后概括出2、5的倍數(shù)的特征，并讓學(xué)生運用該特征判斷一些數(shù)是不是2、5的倍數(shù)。綜觀教學(xué)過程，結(jié)合課堂中對學(xué)生學(xué)習(xí)狀態(tài)的觀察，筆者發(fā)現(xiàn)了一些問題：

一是教師沒有有效激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知參與，學(xué)生處于“淺學(xué)習(xí)”狀態(tài)。由于百數(shù)表中的數(shù)排列規(guī)整，2、5的倍數(shù)又呈列狀分布，特征十分明顯，所以學(xué)生幾乎不用動腦筋就能發(fā)現(xiàn)2、5的倍數(shù)的特征。學(xué)生輕松說出2、5的倍數(shù)的特征后，三位執(zhí)教教師都沒有進(jìn)一步深入下去，追問學(xué)生特征背后的原因，所以學(xué)生對2、5的倍數(shù)的特征“知其然而不知其所以然”。

二是研究方法對于后續(xù)內(nèi)容（3的倍數(shù)的特征）的學(xué)習(xí)不具有統(tǒng)攝性。如何判斷一個數(shù)是不是2、5的倍數(shù)，教材呈現(xiàn)（教師講授）的研究方法是觀察個位上的數(shù)。所以，下一節(jié)課研究3的倍數(shù)的特征時，學(xué)生想到的自然也是觀察個位，這樣就為新知的學(xué)習(xí)帶來了負(fù)遷移。換句話說，學(xué)生研究2、5的倍數(shù)特征的方法不能有效遷移到3的倍數(shù)特征的探究上來，這種只觀察個位的研究方法對后續(xù)學(xué)習(xí)不具有統(tǒng)攝性。因此，研究2、5的倍數(shù)的特征，還應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生從“位值制”的角度分析每一位數(shù)字，從而從整體結(jié)構(gòu)上發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

三是教材的知識邏輯不自洽極易導(dǎo)致教師的教學(xué)疏忽。以5的倍數(shù)為例，我們知道它的特征是：個位上是5或0。也就是說，“個位上是5或0”是“5的倍數(shù)”的充要條件，因此，課堂教學(xué)必須要向?qū)W生說明以下兩點：（1）一個數(shù)如果是5的倍數(shù)，那么它的個位上一定是5或0（與其等價的逆否命題是：一個數(shù)如果個位上不是5或0，那么這個數(shù)一定不是5的倍數(shù)）;（2）一個數(shù)如果個位上是5或0，那么這個數(shù)一定是5的倍數(shù)（與其等價的逆否命題是：一個數(shù)如果不是5的倍數(shù)，那么這個數(shù)個位上就一定不是5或0）。這兩點合在一起，才是5的倍數(shù)的特征的完整內(nèi)涵。仔細(xì)研讀教材，就會發(fā)現(xiàn)教材內(nèi)容有所缺失：只研究了（1）而忽略了（2）。事實上，三位執(zhí)教教師也都沒有注意到這個問題，他們的課堂教學(xué)呈現(xiàn)出的是：（1）成立;（2）自然也是正確的，無須另外說明。但教材在研究3的倍數(shù)的特征時，顯然又注意到了這一點，相關(guān)描述為：“如果一個數(shù)不是3的倍數(shù)，這個數(shù)各位上數(shù)的和會是3的倍數(shù)嗎？找?guī)讉€這樣的數(shù)算一算?！苯處熢陂喿x教材時如果不注意到這個問題，各課時就會顧此失彼，造成教學(xué)疏忽。課堂上，教師只有兼顧上述兩點，引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行深入的思考、辨析，想通命題背后的原理，才能幫助學(xué)生形成對2、5的倍數(shù)特征的科學(xué)、全面和深刻的認(rèn)識。

二、“尋根究底”：《2、5的倍數(shù)的特征》一課教學(xué)改進(jìn)

基于上述思考與分析，筆者嘗試在《2、5的倍數(shù)的特征》（以“5的倍數(shù)的特征”為例，“2的倍數(shù)的特征”的教學(xué)思路大致相同，不做贅述）一課教學(xué)時，帶領(lǐng)學(xué)生“尋根究底”。具體教學(xué)過程如下：

（一）認(rèn)識“一個數(shù)如果是5的倍數(shù)，那么它的個位上一定是5或0”

師上節(jié)課，同學(xué)們學(xué)習(xí)了因數(shù)和倍數(shù)，你能舉出一些5的倍數(shù)嗎？

生5、10、15、20、25、30……

師 （出示百數(shù)表）我們把這些數(shù)按照一定的順序放在百數(shù)表中。請同學(xué)們拿出百數(shù)表，在表中圈出5的倍數(shù)。

（學(xué)生獨立在百數(shù)表中圈出5的倍數(shù)，教師巡視。）

師觀察圈出的5的倍數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生我發(fā)現(xiàn)這些數(shù)的個位數(shù)字是5或0。

生我發(fā)現(xiàn)5的倍數(shù)的個位不是5，就是0。

師僅僅依靠百數(shù)表中的這20個5的倍數(shù)，我們就能得到這個結(jié)論了嗎？

生（齊）不能！

生我們還要舉出大于100的5的倍數(shù)，看一下末尾數(shù)字是不是5或0。

師請同學(xué)們拿出計算器。大于100的第一個5的倍數(shù)是——（生：5×21）算算看等于多少？（生：105）個位是幾？（生：5）5×22呢？（生：110）個位是幾？（生：0）誰再來舉例。

生5×37。

生（齊）185，個位是5。

生5×498。

生（齊）2490，個位是0。

……

師同學(xué)們舉出了這么多5的倍數(shù)，有沒有發(fā)現(xiàn)個位不是5或0的？

生（齊）沒有。

師看來，（邊說邊板書）“一個數(shù)如果是5的倍數(shù)，那么它的個位上一定是5或0”這句話是——

生（齊）正確的。

（教師面帶微笑朝向?qū)W生，做遲疑狀。多數(shù)學(xué)生仍堅持原來的看法，少數(shù)學(xué)生略顯猶疑，個別學(xué)生陷入思考。）

生不一定。萬一舉出一個5的倍數(shù)，個位不是5或0呢？

師敢于質(zhì)疑，好樣的！是啊，“一個數(shù)如果是5的倍數(shù)，那么它的個位上一定是5或0”這個結(jié)論，我們是通過舉例觀察得到的。當(dāng)然，舉再多的例子，也不可能窮盡所有5的倍數(shù)，所以，要說明這句話是正確的，我們還得從數(shù)的原理上想明白其中的道理。同學(xué)們，認(rèn)真想一想：5的倍數(shù)，它的個位上為什么不是5就是0，而不可能是其他數(shù)字呢？

（教室里出現(xiàn)暫時的靜默，過了一會兒，陸續(xù)有學(xué)生舉起了手。）

生第一個5的倍數(shù)是5，接著是10、15、20、25、30、35……從5開始，五個五個地數(shù)，個位上只能是5、0、5、0、5、0、5……

師你是通過五個五個地數(shù)數(shù)來理解的，有道理！

生5的倍數(shù)都可以用5乘幾得到。一五得五，二五一十，三五一十五……五九四十五，五的乘法口訣每句的末尾不是5，就是0。

師你是用乘法口訣理解的。

……

（二）認(rèn)識“一個數(shù)如果個位上是5或0，那么這個數(shù)一定是5的倍數(shù)”

師同學(xué)們已經(jīng)知道，一個數(shù)如果是5的倍數(shù)，那么它的個位上一定是5或0。如果一個數(shù)只知道個位上是5，其他數(shù)位不知道是幾，那么它一定是5的倍數(shù)嗎？（多媒體出示圖1，十位和百位由電腦隨機生成數(shù)字）請同學(xué)們用計算器算一算，看看它是不是5的倍數(shù)。

師（電腦隨機生成三位數(shù)145）是5的倍數(shù)嗎？（生：是）除以5等于多少？（生：29。電腦隨機生成三位數(shù)695）是5的倍數(shù)嗎？（生：是）除以5等于多少？（生：139。電腦隨機生成三位數(shù)875）是5的倍數(shù)嗎？（生：是）除以5等于多少？（生：175）

……

師會不會出現(xiàn)一個個位是5的三位數(shù)，不是5的倍數(shù)呢？

生（齊）不會。

師這是為什么呢？

（教室里陷入沉默，學(xué)生一時不明白其中的道理。）

師（多媒體出示圖2，邊演示邊講解）我們以235為例。十位上的3表示3個十，1個十里有2個5，是5的倍數(shù)，那么無論幾個十都是5的倍數(shù)。1個百里有10個十，20個5，是5的倍數(shù)，那么無論幾個百也都是5的倍數(shù)。所以不管十位上是幾，百位上是幾，一定都是5的倍數(shù)，不用考慮;同理，千位、萬位、十萬位……都不用考慮了。一個數(shù)是不是5的倍數(shù)只看個位就行了。235個位上是5，所以235是5的倍數(shù)。

生（恍然大悟）我明白了！如果去掉個位上的數(shù)的話，就是230，末尾是0，230可以看成23個十，一定是5的倍數(shù)，所以只要看個位是不是5的倍數(shù)就行了。個位上5的倍數(shù)只有5或0，所以個位上是5或0的數(shù)，一定是5的倍數(shù)。

生不管數(shù)有多少位，個位前面的數(shù)一定是5的倍數(shù)，所以只要看個位。個位是5的倍數(shù)，這個數(shù)就是5的倍數(shù);個位不是5的倍數(shù)，這個數(shù)就不是5的倍數(shù)。

……

師大家通過討論，進(jìn)一步明確了（同步板書）“一個數(shù)如果個位上是5或0，那么這個數(shù)一定是5的倍數(shù)”。

師（小結(jié)）同學(xué)們，通過剛才的學(xué)習(xí)，我們得到了兩個結(jié)論。（教師手指板書，學(xué)生齊讀）這兩條合在一起就是“5的倍數(shù)的特征”。

三、幾點思考

關(guān)于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，有人說：三流教師教知識，二流教師教方法，一流教師教思想。這句話告訴我們，數(shù)學(xué)教師要善于引導(dǎo)學(xué)生探尋數(shù)學(xué)知識背后的思想方法，“以思想方法的分析帶動具體數(shù)學(xué)知識內(nèi)容的教學(xué)”;要能讓學(xué)生在掌握知識的基礎(chǔ)上，體驗到數(shù)學(xué)思維帶來的挑戰(zhàn)和愉悅，感受到理性思辨的力量。換言之，教師帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，不能“淺嘗輒止”，僅僅停留于知識的表象，而要“尋根究底”，追問知識背后的“為什么”，并注意思維的科學(xué)性和嚴(yán)謹(jǐn)性，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)深入知識的堂奧。如此，學(xué)生獲得的數(shù)學(xué)知識才是鮮活的，可生長的，富有生命力的。

（一）數(shù)學(xué)課堂要培養(yǎng)學(xué)生的理性思維，讓研究“尋根究底”

理性思維是一種建立在證據(jù)和邏輯推理基礎(chǔ)上的思維方式，要求思考問題時“言之有理”“持之有故”。數(shù)學(xué)學(xué)科極其重要的育人價值就是訓(xùn)練學(xué)生的理性思維，培養(yǎng)學(xué)生的理性精神，使學(xué)生不輕信、不盲從，學(xué)會“打破砂鍋問到底”。

上述教學(xué)，不停留于僅讓學(xué)生通過簡單的觀察就輕率地得出結(jié)論，而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考特征背后的原因，從數(shù)的本源上想明白其中的道理。比如，當(dāng)學(xué)生通過觀察百數(shù)表，舉例驗證得出“一個數(shù)如果是5的倍數(shù)，那么它的個位上一定是5或0”時，教師并沒有讓學(xué)生輕易接受這個結(jié)論，而是反問學(xué)生為什么是這樣的。實踐證明，根據(jù)以往的知識積累和學(xué)習(xí)經(jīng)驗，學(xué)生完全可以在自己的認(rèn)知水平上理解其中的道理。再如，學(xué)生認(rèn)識“一個數(shù)如果個位上是5或0，那么這個數(shù)一定是5的倍數(shù)”時，教師通過小棒圖的直觀演示，從“位值制”的角度為學(xué)生揭示其中的奧秘。在直觀圖的啟發(fā)下，學(xué)生理解了判斷5的倍數(shù)的特征不能只看個位數(shù)，而是要通盤考慮每一位上的數(shù);由于個位前面的每一位上的數(shù)都是5的倍數(shù)，所以只要看個位上的數(shù)。這樣追根溯源地研究5的倍數(shù)的特征（2的倍數(shù)的特征同樣如此），學(xué)生對知識的理解就能做到融會貫通。

（二）數(shù)學(xué)課堂要培養(yǎng)學(xué)生的探究能力，讓學(xué)習(xí)“觸類旁通”

數(shù)學(xué)新課程改革特別重視培養(yǎng)學(xué)生的探究能力。學(xué)生能自主探究的絕不干預(yù);自主探究有困難的，教師要充分發(fā)揮主導(dǎo)作用，搭建“腳手架”，幫助學(xué)生尋找方法，啟發(fā)學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)。

探究一個數(shù)的倍數(shù)的特征具有較強的趣味性和探索性。2、5的倍數(shù)的特征探究理應(yīng)對學(xué)生后續(xù)研究3的倍數(shù)的特征具有一定的啟發(fā)作用。然而，現(xiàn)實情況常常是，學(xué)生學(xué)習(xí)了“2、5的倍數(shù)的特征”后，繼續(xù)學(xué)習(xí)“3的倍數(shù)的特征”時，往往還是觀察數(shù)的個位，思維陷入窠臼難以自拔。出現(xiàn)這種問題，主要原因在于教師帶領(lǐng)學(xué)生尋找2、5的倍數(shù)的特征時，停留于觀察個位上數(shù)字的表面特征，沒有深究“為什么判斷一個數(shù)是不是2、5的倍數(shù)只要看個位，而不需要看其他數(shù)位”，沒有通過尋找背后的真相探究出一種研究倍數(shù)特征的“通法”。上述“5的倍數(shù)的特征”教學(xué)，沒有停留在“淺學(xué)習(xí)”的層次，而是引導(dǎo)學(xué)生利用“位值制”原理對數(shù)進(jìn)行重組（235=200+30+5），通過分析每一個數(shù)位上的數(shù)，促進(jìn)學(xué)生真正理解5的倍數(shù)特征的本質(zhì)。經(jīng)過如此深入的探討，學(xué)生對于2、5的倍數(shù)的特征“知其然”，更“知其所以然”。更為重要的是，這種研究方法能有效遷移到3的倍數(shù)特征的學(xué)習(xí)上，從而使得該方法有了“通法”的性質(zhì)，以后學(xué)生再運用同類方法探究4（25）、8（125）、9等數(shù)的倍數(shù)的特征時，能做到“舉一反三”“觸類旁通”。

（三）數(shù)學(xué)課堂要培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維，讓思考“邏輯自洽”

數(shù)學(xué)是講究邏輯的學(xué)科，數(shù)學(xué)課堂是訓(xùn)練學(xué)生邏輯思維能力的主陣地。數(shù)學(xué)教學(xué)更應(yīng)講求邏輯性，關(guān)注思維的科學(xué)性和嚴(yán)謹(jǐn)性。因此，根據(jù)形式邏輯的要求，數(shù)學(xué)課堂中的概念、判斷、推理等思維形式要符合形式邏輯的基本規(guī)律。

如前所述，教學(xué)“5的倍數(shù)的特征”時，教師需要讓學(xué)生明白5的倍數(shù)的特征包括兩方面的內(nèi)容：（1）一個數(shù)如果是5的倍數(shù)，那么它的個位上一定是5或0（其逆否命題同樣成立）;（2）一個數(shù)如果個位上是5或0，那么這個數(shù)一定是5的倍數(shù)（其逆否命題同樣成立）。綜合這兩點，才可以判斷一個數(shù)是或不是5的倍數(shù)。比如，從思維的邏輯性上講，判斷4060是5的倍數(shù)，根據(jù)是（2），因為4060的個位數(shù)字是0;判斷273不是5的倍數(shù)，根據(jù)是（1），因為273的個位數(shù)字不是5或0。數(shù)學(xué)教師要能理清上述數(shù)學(xué)知識之間的邏輯關(guān)系，課堂教學(xué)才能做到條理清晰、層層推進(jìn)、絲絲入扣。培養(yǎng)學(xué)生思維的科學(xué)性和嚴(yán)謹(jǐn)性，讓思考“邏輯自洽”是教學(xué)最基本的要求。

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