數(shù)學(xué)表征：兒童數(shù)學(xué)學(xué)習的銜接性隱喻

【摘 要】在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)表征就是兒童數(shù)學(xué)學(xué)習的一種隱喻，它將兒童對數(shù)學(xué)對象學(xué)習的內(nèi)在理解通過不同的表征方式外顯，讓學(xué)習過程有痕跡，讓思維過程看得見。教學(xué)蘇教版五下“圓”這一單元時，教師可以立足整體視野設(shè)計學(xué)習活動，促進兒童深度表征，提升其數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)表征;大單元學(xué)習;數(shù)學(xué)思維;銜接性隱喻

【中圖分類號】G623.5? 【文獻標志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2021）78-0039-03

【作者簡介】潘香君，江蘇省常州市武進區(qū)星河實驗小學(xué)（江蘇常州，213000）教育科研部主任，高級教師，常州市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人。

近年來，隱喻作為一種思維方式和認知現(xiàn)象在學(xué)校教學(xué)中受到廣泛關(guān)注。在教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)，由于數(shù)學(xué)自身抽象的特點，有些學(xué)生難以理解數(shù)學(xué)知識，對數(shù)學(xué)學(xué)習的理解往往停留在淺表層，不擅長對單項知識點進行系統(tǒng)化建構(gòu)，不能熟練地遷移運用方法。隱喻可以將數(shù)學(xué)中的抽象化為具體，將未知化為已知，助推學(xué)生認識和表達復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，并通過發(fā)展學(xué)生的多元表征能力，讓他們在數(shù)學(xué)學(xué)習過程中建構(gòu)體系化的知識，孕育數(shù)學(xué)思想，最終指向其思維的發(fā)展。

一、隱喻與數(shù)學(xué)表征的內(nèi)涵解讀

在狹義層面，隱喻是比喻的一種類型;在廣義層面，隱喻是一種思維方式和認知現(xiàn)象，是人類認知和文化建構(gòu)的基本方式。它是指利用熟悉的事物去構(gòu)建對未知事物的理解，所以必然存在于教學(xué)實踐中。

數(shù)學(xué)表征是數(shù)學(xué)學(xué)科的關(guān)鍵能力，既可以反映兒童數(shù)學(xué)學(xué)習的過程，又能呈現(xiàn)兒童數(shù)學(xué)學(xué)習的結(jié)果。它是指兒童利用已有的經(jīng)驗，借助熟悉的事物，去構(gòu)建對未知事物理解的外顯方式。數(shù)學(xué)表征可分為內(nèi)在表征與外在表征，我們研究較多的是外在表征。外在表征是指需要學(xué)生理解和掌握的數(shù)學(xué)知識點等學(xué)習對象的外在形式。這種外在形式可以通過動作、圖示、語言等方式外顯學(xué)生的認知過程以及理解程度。動作表征、圖式表征、語言表征等其實就是兒童在認知與理解等方面的隱喻方式。因此，可以將數(shù)學(xué)表征看作兒童數(shù)學(xué)學(xué)習的銜接性隱喻，它能在認知與思維之間架起一座橋梁，從而有助于兒童更好地建構(gòu)認知與發(fā)展思維。

二、用好數(shù)學(xué)表征這個銜接性隱喻的策略

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要注重引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習中發(fā)展表征能力，用好這個銜接性隱喻。下面，筆者以蘇教版五下“圓”的大單元學(xué)習為例，談一談怎樣來引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)深度表征，有效實現(xiàn)數(shù)學(xué)表征的銜接性隱喻的作用。

教學(xué)前，筆者嘗試進行大單元設(shè)計（如表1），給學(xué)生搭建多元表征的平臺，建構(gòu)各種信息的聯(lián)合體，編織知識、方法的結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，以期促進學(xué)生積累豐富的活動經(jīng)驗，聯(lián)通內(nèi)外表征，讓其思維過程看得見。

[單元主題 學(xué)習安排 學(xué)習內(nèi)容 學(xué)習活動 圓 前學(xué) 圖形的特征、周長與面積 課前整理已學(xué)平面圖形的特征及研究方法 合學(xué) 圓的特征、周長、面積 觀察，實驗，探究 創(chuàng)學(xué) 靈活運用圓的相關(guān)知識展開練習 每節(jié)課堂練習，對比思考 拓學(xué) 生活中的圓探究 主題探究，集體分享 ][表1 “圓”的大單元設(shè)計]

（一）在前學(xué)中形成結(jié)構(gòu)化表征

所有的學(xué)習都是基于原有經(jīng)驗的遷移。在學(xué)習“圓”這一單元之前，教師先組織學(xué)生回憶已認識的平面圖形，以三個問題激發(fā)他們回顧反思：在認識這些平面圖形的過程中，我們研究了它們的哪些特征？是怎樣開展研究的？如果繼續(xù)研究平面圖形“圓”，你會研究它的哪些特征？怎樣研究呢？請你用自己喜歡的方式整理相關(guān)內(nèi)容。大部分學(xué)生借助思維導(dǎo)圖整理已學(xué)知識、方法，教師在圖示表征中解讀到了學(xué)生內(nèi)在結(jié)構(gòu)化、模型化、深層化的思考。

1.結(jié)構(gòu)化：從點狀走向塊狀。

從學(xué)生的思維導(dǎo)圖中，教師看出他們已經(jīng)能抓取每一課時的重點內(nèi)容。于是，引導(dǎo)學(xué)生通過整理與交流，提煉研究平面圖形的基本點，即聚焦邊、角的特征開展研究，并探索平面圖形的周長與面積。學(xué)生在核心問題引領(lǐng)下展開思考，勾勒結(jié)構(gòu)化的知識圖。

2.模型化：從經(jīng)驗走向結(jié)構(gòu)。

數(shù)學(xué)中的模型思想是建立在學(xué)生體會和真正理解數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上的，這在學(xué)生的思維導(dǎo)圖中可以看出來。學(xué)生在其中獲得了對平面圖形的研究經(jīng)驗，從而推想在學(xué)習圓的知識時也可以研究這些內(nèi)容：什么是圓？怎樣畫圓？圓的面積怎么算？由此及彼，學(xué)生的學(xué)習逐漸從經(jīng)驗走向結(jié)構(gòu)，主動創(chuàng)造豐富的學(xué)習過程。

（二）在合學(xué)中體驗多元化表征

1.動作表征：孕育概念理解。

動作表征是以實際動作再現(xiàn)知識經(jīng)驗，用自己的身體來影響周圍世界的一種方式。在“你能想辦法畫出一個圓嗎？”這一活動中，有的學(xué)生借助透明膠帶、學(xué)具籃里的硬幣或圓片描畫圓，有的自制工具畫圓，更多學(xué)生選擇直接使用圓規(guī)畫圓。在經(jīng)歷不同方法畫圓到學(xué)會用圓規(guī)畫圓的過程中，學(xué)生能夠初步感知圓是怎樣的圖形。學(xué)生雖然不能直接抽象定義圓，但能體會到定點就是圓心，定長就是半徑，圓是封閉的曲線，為其后續(xù)學(xué)習奠定了基礎(chǔ)。在畫圓過程中，學(xué)生還能發(fā)現(xiàn)圓的一些特征：有無數(shù)條半徑，而且同一個圓中的半徑都相等，圓心決定圓的位置，半徑?jīng)Q定圓的大小……深入理解了圓的特征。

2.圖形表征：探尋公式關(guān)聯(lián)。

圖形表征是借助圖形進行表征，將抽象的問題變得形象直觀。在探究圓的面積時，教材中是將圓轉(zhuǎn)化成長方形，讓學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)長方形的長是圓周長的一半， 長方形的寬是圓的半徑，根據(jù)長方形的面積推導(dǎo)出圓的面積。而在前學(xué)課中，學(xué)生根據(jù)經(jīng)驗提出猜想：圓可以轉(zhuǎn)化成長方形、平行四邊形、三角形、梯形推導(dǎo)出面積公式嗎？他們經(jīng)歷了將圓轉(zhuǎn)化成長方形推導(dǎo)面積公式的實踐過程后，又大膽實踐將圓轉(zhuǎn)化成三角形（如圖1）來推導(dǎo)其面積公式，并通過對比、觀察、計算得出：三角形的底是圓周長的[14]，即[14] × 2πr = [12] πr;三角形的高是圓半徑的4倍，即4r;根據(jù)三角形的面積=底×高÷2，可得出圓的面積= [12] πr × 4r ÷ 2 = πr2。在圖形表征中，學(xué)生形象地觀察兩種圖形對應(yīng)的關(guān)系，探尋兩者的關(guān)聯(lián)變化，思維更加開闊了。

（三）在創(chuàng)學(xué)中建立關(guān)聯(lián)性表征

在教學(xué)中，教師要注意啟發(fā)學(xué)生運用已經(jīng)習得的經(jīng)驗去開啟新的認知。練習中有這樣一道生活情境題：一塊草坪上的噴水裝置最遠射程是12米，這個噴水裝置最多能噴射多少平方米？此題中的噴水裝置就是現(xiàn)實生活中草坪、花圃的灌溉系統(tǒng)，學(xué)生結(jié)合圖片觀察能理解“射程”是圓的半徑，噴出水的范圍形成了圓的面積。教學(xué)時，教師不能就此戛然而止，而應(yīng)該趁熱打鐵，出示變式題：如果讓你來改編這一題，你還會怎樣改編呢？靜靜思考后，學(xué)生思維的火花開始綻放，有學(xué)生提出：公園里音樂噴泉的最遠射程是10米，它最多能噴射多少平方米？降落傘的繩最長的是8米，它打開后的面積最大是多少？聚焦本質(zhì)特征，關(guān)聯(lián)生活情境，助推學(xué)生深度學(xué)習，不僅應(yīng)注重從知識到知識的延續(xù)，還應(yīng)學(xué)會從生活中抽象出數(shù)學(xué)問題進行解決。

（四）在拓學(xué)中深化多重性表征

1.微主題探究：多元表征外顯發(fā)散思維。

學(xué)完“圓”后，教師鼓勵學(xué)生找找生活中的圓，如牛奶瓶口（底）的面、小區(qū)里的圓形花壇、紐扣的面等，并引導(dǎo)他們靈活運用數(shù)學(xué)知識解決生活中圓的實際問題。怎樣才能求出牛奶瓶蓋面的周長和面積呢？首先需要想辦法測量出它的半徑或直徑，借助兩把三角尺和直尺可以測量出直徑，然后可以通過計算分別求出周長和面積。學(xué)生思考后還總結(jié)出像這樣比較小的圓面可以用尺量法解決，比較大的圓還可以用不同的方法解決。

2.大主題深探：多元表征彰顯聚合思維。

為什么生活中許多物體的面要設(shè)計成圓形呢？學(xué)生利用各種資源開展“車輪為什么是圓的”主題探究。學(xué)生通過前期搜集資料、互動討論，聚焦“車輪為什么是圓的”這一核心主題，確定研究的小課題，設(shè)計富有挑戰(zhàn)性的任務(wù)。在研究過程中，有的小組動手制作各種形狀的車輪模型模擬運動，在對比中感受圓形車輪的優(yōu)勢;有的小組到數(shù)學(xué)場館中，對方輪車進行測量、分析、比較，并形成文字報告。各小組通過不同的研究方式，借助動作表征、模型表征、文字表征等呈現(xiàn)研究過程與結(jié)果。最后，在集體交流時，小組間的多元評價促進了學(xué)生言語表征能力的發(fā)展。

綜上所述，在“圓”的大單元學(xué)習中，通過前學(xué)、合學(xué)、創(chuàng)學(xué)、拓學(xué)等多樣化的學(xué)習活動，借助多元表征，學(xué)生逐漸明晰了圓的概念本質(zhì)，并能活用知識解決問題。當兒童的數(shù)學(xué)表征逐漸走向深度，對于數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解能夠進行多元化展示，表征這一隱喻架構(gòu)起認知與思維的橋梁的作用也就很好地實現(xiàn)了。

【參考文獻】

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