基于狀態(tài)估計(jì)的高速受電弓魯棒預(yù)測(cè)控制

張 靜 宋寶林 謝松霖 張翰濤 劉志剛

（1. 西南交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 成都 611756 2. 西南交通大學(xué)電氣工程學(xué)院 成都 611756）

0 引言

目前，高速列車普遍采用電力牽引方式。受電弓是安裝在高速列車上的一種從接觸網(wǎng)上集取電流的專用設(shè)備，因此受電弓和接觸網(wǎng)之間平穩(wěn)的接觸狀態(tài)是保證列車受流質(zhì)量?jī)?yōu)良的關(guān)鍵[1]，高速鐵路受電弓-接觸網(wǎng)系統(tǒng)示意圖如圖1所示。在高速列車受流質(zhì)量的評(píng)價(jià)體系中，接觸力是其非常重要的指標(biāo)。隨著高速列車速度的提升，受電弓與接觸網(wǎng)之間復(fù)雜的耦合振動(dòng)會(huì)更加劇烈，體現(xiàn)在接觸力的波動(dòng)變大，受流質(zhì)量急劇變差，脆弱的弓網(wǎng)系統(tǒng)已經(jīng)成為高速列車舒適性和可靠性提升的嚴(yán)重障礙[2]。當(dāng)接觸力波動(dòng)幅度過(guò)大時(shí)，弓網(wǎng)系統(tǒng)容易出現(xiàn)離線、燃弧等現(xiàn)象，使得受流質(zhì)量變差，受電弓也容易出現(xiàn)故障損壞。接觸力過(guò)大時(shí)，既加重了受電弓滑板的磨損，同時(shí)也增加了運(yùn)維成本。根據(jù)中國(guó)鐵路總公司統(tǒng)計(jì)資料，牽引供電系統(tǒng)故障造成的鐵路事故在2008年、2009和2010年分別占到了當(dāng)年事故總數(shù)的28.8%、40.4%、29.6%，因此研究高速運(yùn)行中受電弓-接觸網(wǎng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和改進(jìn)措施對(duì)高速鐵路安全運(yùn)行有重要的意義[3]。

圖1 高速鐵路受電弓-接觸網(wǎng)系統(tǒng)示意圖Fig.1 Schematic diagram of pantograph-catenary system of high speed railway

針對(duì)弓網(wǎng)接觸力波動(dòng)的問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)高速弓網(wǎng)關(guān)系進(jìn)行了大量的分析與研究，比如優(yōu)化受電弓結(jié)構(gòu)[4]、優(yōu)化接觸網(wǎng)結(jié)構(gòu)[5-6]和優(yōu)化受電弓靜態(tài)抬升力[7]等。由于受電弓結(jié)構(gòu)優(yōu)化難以及時(shí)調(diào)整，所以適應(yīng)不同類型的接觸網(wǎng)的靈活性較差。如果針對(duì)既有線路進(jìn)行接觸網(wǎng)結(jié)構(gòu)優(yōu)化，將涉及接觸網(wǎng)的大規(guī)模改造，需要花費(fèi)巨大的人力物力，成本極高。優(yōu)化受電弓靜態(tài)抬升力的作用效果又十分有限。

為解決上述問(wèn)題，學(xué)者們提出受電弓主動(dòng)控制方法以減小弓網(wǎng)接觸力的波動(dòng)。受電弓主動(dòng)控制是根據(jù)弓網(wǎng)系統(tǒng)的部分狀態(tài)量，運(yùn)用現(xiàn)代控制理論，對(duì)受電弓施加控制力，通過(guò)調(diào)節(jié)受電弓弓頭抬升量來(lái)減小弓網(wǎng)接觸力的波動(dòng)。與上面提到的方法相比，受電弓主動(dòng)控制的適用性較高，該控制方法不需要針對(duì)具體類型的受電弓和接觸網(wǎng)，控制算法確定的情況下只需調(diào)節(jié)控制參數(shù)便能應(yīng)用于所有類型的弓網(wǎng)系統(tǒng)，并且受電弓主動(dòng)控制只需適當(dāng)改造受電弓，無(wú)需優(yōu)化接觸網(wǎng)的結(jié)構(gòu)，無(wú)論是新建線路還是既有線路皆可應(yīng)用，成本較低。

受電弓主動(dòng)控制系統(tǒng)包括控制算法、量測(cè)系統(tǒng)和控制結(jié)構(gòu)等。其中，控制算法是受電弓主動(dòng)控制研究的核心和重點(diǎn)。文獻(xiàn)[8]基于弓網(wǎng)接觸力的伺服控制模型，設(shè)計(jì)了弓網(wǎng)接觸力的線性二次型調(diào)節(jié)器（Linear Quadratic Regulator, LQR）。仿真結(jié)果表明，調(diào)節(jié)器能有效減小弓網(wǎng)接觸力波動(dòng)，改善弓網(wǎng)受流質(zhì)量。文獻(xiàn)[9]在弓網(wǎng)耦合振動(dòng)系統(tǒng)全局輸入-輸出線性化模型的基礎(chǔ)上，提出一種基于狀態(tài)反饋線性化的弓網(wǎng)系統(tǒng)全局線性化主動(dòng)控制策略。相較于LQR最優(yōu)控制策略，對(duì)期望弓網(wǎng)接觸壓力均值都有更好的跟蹤效果。文獻(xiàn)[10]將魯棒控制問(wèn)題轉(zhuǎn)換為最優(yōu)控制問(wèn)題，利用Lyapunov穩(wěn)定性理論描述了一個(gè)合適的線性狀態(tài)反饋控制律，以保證閉環(huán)系統(tǒng)的二次穩(wěn)定性和性能魯棒性，并通過(guò)仿真研究證明了有效性。文獻(xiàn)[11]根據(jù)建立的弓網(wǎng)模型和接觸力歷史數(shù)據(jù)，利用預(yù)測(cè)控制技術(shù)，預(yù)測(cè)下一時(shí)刻接觸力，使實(shí)際值接近于理論值。結(jié)果表明控制策略能有效抑制離線電弧的發(fā)生，改善了受流質(zhì)量。文獻(xiàn)[12]運(yùn)用模糊自適應(yīng)終端滑模控制解決弓網(wǎng)優(yōu)載荷伺服控制問(wèn)題，結(jié)果表明控制算法降低了對(duì)弓網(wǎng)模型精確性的要求，具有較好的伺服跟蹤性能。文獻(xiàn)[13]利用非線性系統(tǒng)的微分幾何理論，構(gòu)造微分同胚變換和狀態(tài)反饋表達(dá)式，得到了受電弓線性化模型，設(shè)計(jì)反饋控制律解決弓網(wǎng)接觸力的跟蹤問(wèn)題。研究結(jié)果表明，所提出的反饋線性化控制策略能有效解決弓網(wǎng)接觸力的跟蹤問(wèn)題，為一定工況下弓網(wǎng)最優(yōu)接觸力的跟蹤控制提供可行方案。

綜上可知，大多數(shù)受電弓主動(dòng)控制策略屬于狀態(tài)反饋控制方法，控制目標(biāo)大都為減小接觸力的波動(dòng)，并沒(méi)有考慮作動(dòng)器的輸出限制等實(shí)際問(wèn)題；部分文獻(xiàn)只對(duì)弓網(wǎng)接觸力進(jìn)行了估計(jì)，沒(méi)有提及受電弓其他狀態(tài)量的獲取方法，在基于狀態(tài)反饋的控制中，狀態(tài)量的獲取與精確性極為重要?？刂扑惴ǖ尿?yàn)證和分析大都在簡(jiǎn)單弓網(wǎng)模型上進(jìn)行。在簡(jiǎn)單弓網(wǎng)模型中，接觸網(wǎng)通常被看作為一根可變剛度的彈簧，與實(shí)際的接觸網(wǎng)結(jié)構(gòu)差別很大，不能完全反映接觸網(wǎng)上波動(dòng)傳播和弓網(wǎng)系統(tǒng)振動(dòng)狀態(tài)。

本文以高速鐵路受電弓-接觸網(wǎng)系統(tǒng)為研究對(duì)象，以減小弓網(wǎng)接觸力的波動(dòng)，即降低接觸力的標(biāo)準(zhǔn)差為主要目標(biāo)，提出一種基于狀態(tài)估計(jì)的受電弓魯棒預(yù)測(cè)控制策略。首先，考慮到受電弓工作環(huán)境的強(qiáng)烈電磁干擾，提出一種考慮量測(cè)數(shù)據(jù)丟失的魯棒卡爾曼濾波方法以獲取受電弓的狀態(tài)量，為控制器提供精確的受電弓狀態(tài)估計(jì)值；然后，根據(jù)增廣后的受電弓-接觸網(wǎng)系統(tǒng)狀態(tài)空間方程，設(shè)計(jì)基于狀態(tài)估計(jì)的魯棒預(yù)測(cè)控制方法；最后，在引用的非線性弓網(wǎng)系統(tǒng)模型上，驗(yàn)證了所提出的控制策略的有效性和魯棒性。

1 問(wèn)題描述

1.1 弓網(wǎng)系統(tǒng)模型

本文引用文獻(xiàn)[14]中的弓網(wǎng)系統(tǒng)模型，該弓網(wǎng)系統(tǒng)模型通過(guò)受電弓歸算質(zhì)量模型和接觸網(wǎng)有限元模型結(jié)合得到。

受電弓歸算質(zhì)量模型的動(dòng)力學(xué)方程為

式中，m1、m2、m3分別為受電弓弓頭、上框架、下框架的質(zhì)量；k1、k2、k3分別為受電弓弓頭、上框架、下框架的剛度；c1、c2、c3分別為受電弓弓頭、上框架、下框架的阻尼；x1、x2、x3分別為受電弓弓頭、上框架、下框架的位移；分別為受電弓弓頭、上框架、下框架的速度；分別為各個(gè)質(zhì)量塊的加速度；Fpc為弓網(wǎng)之間的動(dòng)態(tài)接觸力；Fl為靜態(tài)抬升力；u為主動(dòng)控制力。

控制器可安裝在有弓頭、上下框架之間和下框架等位置，本文統(tǒng)一安裝于下框架。

接觸網(wǎng)有限元模型的動(dòng)力學(xué)方程表示為

式中，Mc為接觸網(wǎng)的集中質(zhì)量矩陣；Kc為整體剛度矩陣；Cc為阻尼矩陣；和Xc分別為接觸網(wǎng)各個(gè)節(jié)點(diǎn)的加速度、速度及位移；Fc為外力。

根據(jù)式（1）和式（2），弓網(wǎng)系統(tǒng)模型表示為

1.2 控制目標(biāo)

在設(shè)計(jì)減小弓網(wǎng)接觸力波動(dòng)的控制器之前，應(yīng)考慮以下幾個(gè)方面。

1）減小弓網(wǎng)接觸力波動(dòng)：控制器的主要目標(biāo)是在不影響弓網(wǎng)接觸力平均值或影響較小的情況下降低接觸力的標(biāo)準(zhǔn)差，即減小實(shí)時(shí)接觸力Fpc(t)與接觸力參考值Fr之間的差值

式中，e(t)為實(shí)時(shí)接觸力與參考值的誤差。

2）作動(dòng)器輸出限制：作為工程應(yīng)用研究，實(shí)際中任何一種作動(dòng)器都不可能輸出無(wú)限能量。為了保證執(zhí)行機(jī)構(gòu)的穩(wěn)定性能，必須在合理范圍內(nèi)限制控制力的大小。假定輸出最大值為umax，則控制力的范圍為

3）弓頭抬升量限制：列車獲取電能過(guò)程中，弓頭抬升量是保證接觸網(wǎng)正常工作的關(guān)鍵，必須保證主動(dòng)控制不會(huì)讓弓頭抬升量超過(guò)安全范圍。設(shè)抬升量最大值為x1max，則

在魯棒預(yù)測(cè)控制器的設(shè)計(jì)階段，需要一個(gè)面向控制的模型。接觸線上剛度的不均勻分布是導(dǎo)致受電弓-接觸網(wǎng)系統(tǒng)波動(dòng)的主要原因，因此可以通過(guò)簡(jiǎn)化接觸網(wǎng)對(duì)受電弓的影響來(lái)建立面向控制的受電弓-接觸網(wǎng)系統(tǒng)模型。文獻(xiàn)[15]利用有限元接觸網(wǎng)模型計(jì)算得到接觸網(wǎng)靜態(tài)剛度系數(shù)，再用最小二乘法擬合獲得平均剛度系數(shù)和剛度變化系數(shù)，即可得接觸網(wǎng)剛度的表達(dá)式為

式中，v為車速；k0為接觸網(wǎng)平均剛度系數(shù)；l為接觸網(wǎng)跨距；l1為接觸網(wǎng)相鄰吊弦的間距；α1、α2、α3、α4、α5為接觸網(wǎng)剛度變化系數(shù)。

結(jié)合式（1）和式（7），實(shí)時(shí)弓網(wǎng)接觸力的表達(dá)式為Fpc(t)=k(t)x1。令系統(tǒng)狀態(tài)量則弓網(wǎng)系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為

式中，A、B、C為弓網(wǎng)系統(tǒng)狀態(tài)空間方程的系數(shù)矩陣；u為系統(tǒng)輸入；y為弓網(wǎng)接觸力。系數(shù)矩陣具體表達(dá)式為

魯棒預(yù)測(cè)控制器是通過(guò)最小化目標(biāo)函數(shù)J∞(k)得到控制力u(k+i|k)，目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式為

式中，Q1和R1為對(duì)稱正定加權(quán)矩陣；x(k+i|k)為受電弓狀態(tài)量，即位移和速度。因此minJ∞(k)是對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)量的優(yōu)化。而控制器的主要目標(biāo)是減少接觸力參考值與實(shí)際接觸力的差值，弓網(wǎng)接觸力是弓網(wǎng)系統(tǒng)的輸出量而非狀態(tài)量，因此需要將接觸力跟蹤誤差的積分增廣至弓網(wǎng)系統(tǒng)狀態(tài)空間方程中。

結(jié)合式（4）～式（6），則式（8）增廣形式為

式中，y1(t)為受電弓弓頭抬升量；中的C(t-i)表達(dá)式為C(t-i)=[k(t-i) 0 0 0 0 0]。

因此，整個(gè)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)換為設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)反饋控制律，即

式中，G(t)為控制增益矩陣，其由魯棒預(yù)測(cè)控制器計(jì)算得到。

2 受電弓狀態(tài)估計(jì)

由式（9）和式（10）可知，控制力的計(jì)算需要受電弓的狀態(tài)量。然而，受電弓工作環(huán)境有強(qiáng)烈的電磁干擾，檢測(cè)到的數(shù)據(jù)會(huì)包含大量的噪聲成分，并有量測(cè)數(shù)據(jù)隨機(jī)丟失的情況，同時(shí)在受電弓上安裝多個(gè)傳感器也會(huì)降低控制系統(tǒng)的可靠性。因此，本文通過(guò)狀態(tài)估計(jì)方法估計(jì)受電弓的狀態(tài)，不僅減少了傳感器數(shù)量，而且還能獲得較高精確度的受電弓狀態(tài)量。可觀測(cè)的狀態(tài)量為受電弓質(zhì)量塊的垂直位移，采用改進(jìn)后的卡爾曼濾波方程實(shí)時(shí)估計(jì)每個(gè)質(zhì)量塊的垂直位移和速度。

弓網(wǎng)系統(tǒng)的離散狀態(tài)空間方程可以表示為

式中，Ak和Bk分別為與式（8）中A和B有關(guān)的系數(shù)矩陣；yk為量測(cè)輸出；ωk為過(guò)程噪聲；νk為量測(cè)噪聲；ωk和νk為不相關(guān)的零均值高斯白噪聲，其協(xié)方差矩陣為Qk和Rk；xk為k時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)量；uk為系統(tǒng)輸入。

γk是值為1或0的伯努利分布序列。γk=1表示弓網(wǎng)系統(tǒng)獲得量測(cè)值，γk=0表示量測(cè)失敗即數(shù)據(jù)丟失，且不同時(shí)刻的γk是相互獨(dú)立的，其統(tǒng)計(jì)特性為

當(dāng)γk=1時(shí)，yk=Hkxk+νk；當(dāng)γk=0時(shí)，量測(cè)失敗，系統(tǒng)不能得到量測(cè)值，此時(shí)定義當(dāng)前時(shí)刻的虛觀測(cè)值為[16]

令數(shù)據(jù)獲得時(shí)的觀測(cè)值為yreal=Hkxk+νk，虛觀測(cè)值代替數(shù)據(jù)丟失時(shí)的觀測(cè)信息，則等效的觀測(cè)方程為

結(jié)合式（11）和式（15）給出標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波算法。

由于虛觀測(cè)值是在傳感器觀測(cè)值丟失時(shí)通過(guò)歷史狀態(tài)預(yù)測(cè)得到的，因此虛觀測(cè)值相比于傳感器真實(shí)觀測(cè)值會(huì)有很大的誤差，若直接將虛觀測(cè)值代入卡爾曼濾波方程，則會(huì)增大狀態(tài)估計(jì)的誤差，同時(shí)由于環(huán)境的復(fù)雜性等原因，量測(cè)數(shù)據(jù)丟失的現(xiàn)象是不可避免的，經(jīng)典的卡爾曼濾波方法不適合解決觀測(cè)不確定的狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題[16-22]。為此應(yīng)用基于Huber的魯棒卡爾曼濾波算法對(duì)受電弓狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)[16]。將卡爾曼濾波方程的式（19）和式（20）修改為

結(jié)合式（16）～式（19）和式（22），得到受電弓狀態(tài)量量測(cè)數(shù)據(jù)丟失情況下的虛觀測(cè)魯棒卡爾曼濾波算法，為控制增益矩陣和控制力的計(jì)算提供實(shí)時(shí)受電弓狀態(tài)估計(jì)值。

3 魯棒預(yù)測(cè)控制器

受電弓復(fù)雜的工作環(huán)境會(huì)導(dǎo)致受電弓參數(shù)攝動(dòng)，而傳統(tǒng)模型預(yù)測(cè)控制在參數(shù)攝動(dòng)的情況下，其控制效果會(huì)下降，為此設(shè)計(jì)受電弓魯棒預(yù)測(cè)控制器[23]。將式（9）離散化，得到增廣后的弓網(wǎng)系統(tǒng)離散狀態(tài)空間方程為

式中，Q1和R1為對(duì)稱正定加權(quán)矩陣，它表示在k時(shí)刻進(jìn)行滾動(dòng)優(yōu)化時(shí)，應(yīng)使模型參數(shù)在Ω內(nèi)任意變化時(shí)對(duì)應(yīng)于“最壞”情況的無(wú)窮時(shí)域性能指標(biāo)最優(yōu)。解決“極小-極大”優(yōu)化問(wèn)題的方法是給出極大問(wèn)題的上界，將“極小-極大”優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)換為極小化問(wèn)題。

為了解決控制變量數(shù)目無(wú)窮的問(wèn)題，采用單一狀態(tài)反饋控制律u(k+i|k) =Gx(k+i|k),i≥ 0，把系統(tǒng)狀態(tài)保持在一個(gè)不變集內(nèi)。

通過(guò)以上的轉(zhuǎn)換，解決了“極小-極大”優(yōu)化問(wèn)題和控制變量數(shù)目無(wú)窮的問(wèn)題，k時(shí)刻，G的表達(dá)式為

式中，Y從以下線性目標(biāo)最小化問(wèn)題的解中獲得

4 仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證上述提出的狀態(tài)估計(jì)算法和魯棒預(yù)測(cè)控制算法的有效性，取DSA380型受電弓和京津線接觸網(wǎng)參數(shù)，見(jiàn)表1和表2。

表1 DSA380型受電弓歸算質(zhì)量模型參數(shù)Tab.1 Parameters of calculation quality model of DSA380 pantograph

表2 接觸網(wǎng)結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.2 Structural parameters of catenary

（續(xù)）

首先驗(yàn)證量測(cè)數(shù)據(jù)丟失情況下的估計(jì)算法在非線性弓網(wǎng)模型中的精確性，取初始值為圖2為受電弓位移狀態(tài)的量測(cè)值、估計(jì)值和仿真值，圖2a～圖2c分別表示受電弓質(zhì)量塊一、二和三的垂向位移的量測(cè)值、估計(jì)值和實(shí)際值，虛線為量測(cè)值，實(shí)線為估計(jì)值，點(diǎn)畫線為仿真值。圖3為受電弓速度狀態(tài)的估計(jì)值和仿真值，圖3a～圖3c分別為質(zhì)量塊一、二和三的垂向速度的估計(jì)值和仿真值。量測(cè)值是在量測(cè)數(shù)據(jù)部分丟失和工作環(huán)境有強(qiáng)烈噪聲干擾的情況下，傳感器檢測(cè)獲得的系統(tǒng)位移；仿真值是在不考慮任何外界干擾的情況下，仿真計(jì)算出的理論計(jì)算值。

仿真計(jì)算結(jié)果表明：圖2的方均根誤差分別為0.001 4，0.001 4和0.001 4，圖3的方均根誤差分別為0.007 1，0.009 3和0.007 1，驗(yàn)證了狀態(tài)估計(jì)算法的精確性。

圖2 受電弓位移狀態(tài)的量測(cè)值、估計(jì)值和仿真值Fig.2 Measured values, estimated values and simulation value of pantograph displacement state

圖3 受電弓速度狀態(tài)的估計(jì)值和仿真值Fig.3 Estimated values and simulation values of pantograph speed state

用非線性弓網(wǎng)模型驗(yàn)證所提出的控制器的有效性，設(shè)弓頭抬升量最大值x1max為0.1m，控制力最大值umax為200N，控制參數(shù)系數(shù)矩陣的參數(shù)攝動(dòng)范圍在10%以內(nèi)。本文根據(jù)上述參數(shù)，在360km/h、300km/h和250km/h速度下分別進(jìn)行弓網(wǎng)接觸力仿真計(jì)算，圖4為在非線性弓網(wǎng)模型中控制前后的接觸力。

圖4 不同速度下接觸力控制前后比較Fig.4 Comparison of contact force before and after control at different speeds

仿真結(jié)果表明：即使在受電弓參數(shù)攝動(dòng)的情況下，控制器仍能表現(xiàn)出優(yōu)良特性，大多數(shù)位置的接觸力的極大值減小，極小值增大，不同速度下的接觸力標(biāo)準(zhǔn)差都有所降低，在 360km/h、300km/h和250km/h速度下分別降低了 19.18%、21.16%和16.21%，接觸力平均值降低了1.2%、4.7%和7.3%。在不同工況下，控制器在影響接觸力平均值較小的情況下，能有效降低接觸力的標(biāo)準(zhǔn)差，驗(yàn)證了控制器的有效性和魯棒性。

5 結(jié)論

本文提出一種基于狀態(tài)估計(jì)的受電弓魯棒預(yù)測(cè)控制器，以減輕弓網(wǎng)之間的接觸力波動(dòng)，提高高速列車弓網(wǎng)受流質(zhì)量?？紤]受電弓工作環(huán)境中電磁干擾的影響和量測(cè)數(shù)據(jù)隨機(jī)丟失的情況，采用帶虛觀測(cè)的魯棒卡爾曼濾波算法實(shí)時(shí)估計(jì)受電弓狀態(tài)。為了降低接觸力的波動(dòng)，提高列車受流質(zhì)量，同時(shí)考慮作動(dòng)器輸出限制和受電弓弓頭垂向位移的約束，提出一種基于狀態(tài)估計(jì)的受電弓魯棒預(yù)測(cè)控制策略。本文通過(guò)仿真驗(yàn)證了估計(jì)算法的精確性和控制器的有效性及魯棒性。仿真結(jié)果表明，即便在受電弓-接觸網(wǎng)系統(tǒng)參數(shù)攝動(dòng)的情況下，提出的控制策略仍能有效降低接觸力的波動(dòng)，改善高速列車弓網(wǎng)受流質(zhì)量。