永磁電動(dòng)懸浮系統(tǒng)三維解析建模與電磁力優(yōu)化分析

巫 川 李冠醇 王 東

（海軍工程大學(xué)艦船綜合電力技術(shù)國(guó)防科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 武漢 430033）

0 引言

永磁電動(dòng)懸浮系統(tǒng)（Permanent Magnet-Electrodynamic Suspension, PM-EDS）通過(guò)永磁體與導(dǎo)體板相對(duì)運(yùn)動(dòng)在導(dǎo)體板內(nèi)感應(yīng)出渦流，與源磁場(chǎng)相互作用產(chǎn)生電磁力使永磁體懸浮于空氣中，具有無(wú)摩擦、能耗低、懸浮氣隙大、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)，在磁懸浮交通、電磁發(fā)射和航天發(fā)射助推領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前景[1-2]。以美國(guó)為主的發(fā)達(dá)國(guó)家正抓緊對(duì)高速永磁電動(dòng)懸浮系統(tǒng)關(guān)鍵技術(shù)進(jìn)行攻關(guān)，美國(guó)通用原子能公司（GA）建造了一條基于Inductrack技術(shù)的 200m長(zhǎng)的全尺寸試驗(yàn)系統(tǒng)，勞倫斯利弗莫爾國(guó)家實(shí)驗(yàn)室（LLNL）在 NASA的資助下建立了應(yīng)用于航天電磁發(fā)射的懸浮系統(tǒng)，并取得一系列的研究成果[3]，國(guó)內(nèi)的西南交通大學(xué)[2,4]、國(guó)防科技大學(xué)[3,5]、中科院電工所[6-7]等研究機(jī)構(gòu)也對(duì)永磁電動(dòng)懸浮技術(shù)開(kāi)展了一系列研究，并建立了不同的試驗(yàn)平臺(tái)。電磁力的準(zhǔn)確計(jì)算是對(duì) Halbach陣列永磁電動(dòng)懸浮系統(tǒng)進(jìn)行研究和設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)，結(jié)構(gòu)優(yōu)化是提高系統(tǒng)性能和減少工程化建設(shè)成本的關(guān)鍵，但相關(guān)的文獻(xiàn)調(diào)研表明，在懸浮系統(tǒng)橫向端部效應(yīng)量化分析和全尺寸優(yōu)化方面還需要進(jìn)一步研究。

由于 Halbach永磁陣列的長(zhǎng)和寬均有限，直線(xiàn)型永磁電動(dòng)懸浮系統(tǒng)的磁場(chǎng)在縱向和橫向都會(huì)產(chǎn)生畸變。這會(huì)引起在直線(xiàn)電機(jī)分析中廣泛考慮的端部效應(yīng)[8]，因此電磁場(chǎng)分析在系統(tǒng)研究設(shè)計(jì)過(guò)程中尤其重要。目前常用的電磁場(chǎng)分析方法為有限元法和解析法。其中，有限元法計(jì)算較為準(zhǔn)確，尤其在一些必須考慮3-D電磁場(chǎng)分布的場(chǎng)合應(yīng)用較多，但有限元法計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)且對(duì)計(jì)算設(shè)備性能要求較高，不適合在系統(tǒng)分析設(shè)計(jì)階段使用。針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，許多學(xué)者嘗試采用解析法計(jì)算永磁電動(dòng)懸浮系統(tǒng)的電磁場(chǎng)分布。目前國(guó)際上的研究者主要利用磁矢位和傅里葉空間分解法對(duì)系統(tǒng)的電磁場(chǎng)進(jìn)行2-D建模分析[9-10]，但基于周期無(wú)限長(zhǎng)的 2-D模型忽略了系統(tǒng)橫向端部效應(yīng)和縱向端部效應(yīng)對(duì)電磁力的影響，這使得電磁力計(jì)算結(jié)果與實(shí)際相比有較大誤差；有學(xué)者采用導(dǎo)體板電導(dǎo)率修正系數(shù)等效橫向端部效應(yīng)的方法求解懸浮系統(tǒng)所受的電磁力[11]，但修正系數(shù)只對(duì)氣隙磁場(chǎng)的垂直分量進(jìn)行了矯正，縱向分量未得到矯正，因此電磁力計(jì)算的最后結(jié)果仍存在較大誤差。陳殷和 Z. B. Jonathan博士等采用二階矢量勢(shì)法對(duì)系統(tǒng)的三維電磁場(chǎng)進(jìn)行建模分析[4,12-14]，但該模型基于導(dǎo)體板無(wú)限寬假設(shè)，導(dǎo)體板寬度無(wú)法得到優(yōu)化。王厚生博士對(duì)有限寬導(dǎo)體板的三維電磁場(chǎng)進(jìn)行了分析[6,15]，但建模過(guò)程中源磁場(chǎng)計(jì)算存在較大誤差并且忽略了導(dǎo)體板橫向分界面磁場(chǎng)透射對(duì)導(dǎo)體板渦流的影響。P. Subhra博士研究了橫向邊界面源磁場(chǎng)對(duì)導(dǎo)體板的影響[16-17]，較為準(zhǔn)確地計(jì)算出了電磁力，但磁輪與直線(xiàn)形永磁陣列相比磁場(chǎng)分布差別較大，同時(shí)只研究了永磁體相對(duì)于導(dǎo)體板特定位置的電磁解析模型。目前關(guān)于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)橫向端部效應(yīng)影響的研究仍存在空白，尤其是導(dǎo)體板寬度和永磁體寬度對(duì)系統(tǒng)電磁力的影響尚不明確。由于電磁力解析模型計(jì)算的限制，以往對(duì)永磁電動(dòng)懸浮系統(tǒng)優(yōu)化方面的研究多基于 2-D模型和導(dǎo)體板無(wú)限寬假設(shè)的3-D模型，無(wú)法對(duì)全系統(tǒng)尤其是導(dǎo)體板寬度進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)[18-20]，而對(duì)于永磁電動(dòng)懸浮系統(tǒng)，導(dǎo)體板鋪設(shè)在軌道上，其寬度顯著影響系統(tǒng)成本，因此明確永磁體陣列寬度和導(dǎo)體板寬度對(duì)系統(tǒng)橫向端部效應(yīng)的影響，將導(dǎo)體板寬度納入優(yōu)化過(guò)程，對(duì)系統(tǒng)基于工程應(yīng)用背景下的輕量化和小型化研究具有重要意義。

以圖1所示基于五模塊Halbach陣列的永磁電動(dòng)懸浮系統(tǒng)為研究對(duì)象，建立包含系統(tǒng)橫向端部效應(yīng)和縱向端部效應(yīng)的三維電磁場(chǎng)解析模型，通過(guò)對(duì)比 2-D、3-D解析模型計(jì)算結(jié)果與 3-D有限元仿真結(jié)果，驗(yàn)證了所建三維解析模型計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確可靠性。利用三維解析模型對(duì)永磁電動(dòng)懸浮系統(tǒng)進(jìn)行參數(shù)化分析，研究結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)浮阻比和浮重比兩個(gè)優(yōu)化指標(biāo)的影響。最后利用多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法（Multi-Objective Particle Swarm Optimization, MOPSO）對(duì)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)尺寸進(jìn)行了迭代尋優(yōu)，通過(guò)對(duì)比MOPSO設(shè)計(jì)解和基于參數(shù)分析的系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)解，證明本文提出的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法快速可靠。

圖1 永磁電動(dòng)懸浮系統(tǒng)3-D結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 3-D structural schematic view of PM-EDS system

1 系統(tǒng)建模及驗(yàn)證

1.1 模型分析

圖2為五模塊Halbach陣列永磁電動(dòng)懸浮系統(tǒng)xOy和yOz截面展開(kāi)圖。系統(tǒng)將所處的空間劃分為Ⅰ～Ⅴ五個(gè)區(qū)域，各結(jié)構(gòu)的尺寸參數(shù)如圖2所示，其中，τ為永磁體極距，h為永磁體厚度，2w0為永磁體寬度，g為氣隙，d導(dǎo)體板厚度，wz為導(dǎo)體板橫向伸出寬度，l0為Halbach陣列周期延拓長(zhǎng)度。為方便分析，對(duì)系統(tǒng)三維模型做如下假設(shè)[1,11,16]：①導(dǎo)體板在x方向無(wú)限延伸，在z方向?qū)挾扔邢蓿虎谟来朋w陣列位于導(dǎo)體板橫向?qū)挾戎行?，?dǎo)體板厚度有限；③Halbach永磁體陣列沿x軸以速度vx運(yùn)動(dòng)且遠(yuǎn)小于光速，系統(tǒng)電磁場(chǎng)為似穩(wěn)電磁場(chǎng)；④各區(qū)域的物理參數(shù)是均勻的、各向同性的。

圖2 永磁電動(dòng)懸浮系統(tǒng)xOy和yOz截面圖Fig.2 The xOy and yOz section views of PM-EDS

基于Maxwell電磁場(chǎng)方程組和磁矢位[1-2]

經(jīng)分析推導(dǎo)可得導(dǎo)體板區(qū)域的磁矢位微分方程為

式中，μ為磁導(dǎo)率；σ為電導(dǎo)率。對(duì)于非導(dǎo)體板域，由于電導(dǎo)率為0，所以其磁矢位方程為

對(duì)于導(dǎo)體板域，根據(jù)文獻(xiàn)[16-17]，將導(dǎo)體板內(nèi)的感應(yīng)電流等效為源磁場(chǎng)分別通過(guò)邊界T、B和邊界e、r透射入導(dǎo)體板激發(fā)的感應(yīng)電流的疊加結(jié)果，則導(dǎo)體板內(nèi)磁矢位A可表示為

式中，下標(biāo) 1、2表示源磁場(chǎng)分別通過(guò)T、B邊界、e、r邊界與導(dǎo)體板反應(yīng)產(chǎn)生的感應(yīng)場(chǎng)的磁矢位。

研究表明，垂直于邊界面的渦流分量并不會(huì)因?yàn)樵创艌?chǎng)的變化有明顯改變[17]，且不考慮漏磁情況下垂直于源場(chǎng)透射邊界面的渦流分量不存在[6]，因此在理想情況下解析計(jì)算可以忽略垂直于源場(chǎng)透射邊界面的渦流分量，可以得出

1.2 邊界條件

假定導(dǎo)體板區(qū)域和空氣域的磁導(dǎo)率相同，在T邊界面，根據(jù)安培環(huán)路定理，磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量相等，即有

根據(jù)磁通連續(xù)性定理有

式中，上標(biāo)r表示導(dǎo)體板渦流在區(qū)域Ⅱ激發(fā)的感應(yīng)磁場(chǎng)；上標(biāo)s表示永磁體激發(fā)的源磁場(chǎng)。B、e、r邊界面的磁場(chǎng)銜接條件同邊界面T相同。

為了實(shí)現(xiàn)磁矢位A各分量解耦，引入庫(kù)侖規(guī)范，則有

根據(jù)文獻(xiàn)[16]在導(dǎo)體板各邊界面上有

其中，nⅡ?yàn)檫吔缑娴姆较蛳蛄?，在x方向上有

其他各區(qū)域的外層邊界條件為

1.3 各區(qū)域磁矢位方程通解

將式（5）代入式（2），運(yùn)用分離變量法[21]先求出源磁場(chǎng)通過(guò)上、下邊界T、B與導(dǎo)體板反應(yīng)產(chǎn)生的渦旋磁場(chǎng)磁矢位，考慮到z方向的渦流分布情況及式（9）和式（10），則區(qū)域Ⅱ中各分量的雙重傅里葉級(jí)數(shù)解[16]為

式中，2.5τ+2l0為x方向上考慮系統(tǒng)縱向端部效應(yīng)的修正周期，認(rèn)為縱向端部磁場(chǎng)在l0長(zhǎng)度內(nèi)衰減為0；2wd=2(w0+wz)為導(dǎo)體板的橫向?qū)挾?。同理，區(qū)域Ⅱ中各分量的通解為

對(duì)于非導(dǎo)體Ⅰ區(qū)域，考慮導(dǎo)體板中渦流在此區(qū)域產(chǎn)生的磁場(chǎng)要與區(qū)域Ⅱ中的場(chǎng)一一對(duì)應(yīng)[16-17]，由式（11）可解得

區(qū)域Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ內(nèi)磁矢位解的形式同區(qū)域Ⅰ類(lèi)似。

1.4 源場(chǎng)計(jì)算

由式（6）和式（7）可以看出，在邊界條件中需要源場(chǎng)值，采用面電流法[22]對(duì)五模塊永磁體構(gòu)成的 Halbach陣列的外部磁場(chǎng)進(jìn)行建模求解，最后對(duì)源場(chǎng)進(jìn)行雙重傅里葉級(jí)數(shù)變換。分析邊界條件發(fā)現(xiàn)，源場(chǎng)磁通密度的數(shù)學(xué)表達(dá)形式與磁矢位A的各分量有關(guān)。為使源場(chǎng)與感應(yīng)場(chǎng)逐項(xiàng)關(guān)聯(lián)便于求解，源場(chǎng)磁通密度各分量的傅里葉級(jí)數(shù)形式必須和感應(yīng)場(chǎng)有相同本征值，因此在T邊界面的源磁場(chǎng)經(jīng)過(guò)傅里葉變換后的數(shù)學(xué)表達(dá)形式為

1.5 電磁力計(jì)算驗(yàn)證

將計(jì)算出的源場(chǎng)和各域磁矢位的通解代入邊界條件，可求解出通解中的未知數(shù)，進(jìn)而根據(jù)式（1）求出磁通密度分布，采用麥克斯韋應(yīng)力張量法求解懸浮系統(tǒng)受到的電磁力，面T、面B受到的電磁力為F1，面e、r受到的電磁力為F2。

對(duì)于面T、B，有

對(duì)于面e、r，有

所以，導(dǎo)體板所受的總電磁力各方向分量為

為了驗(yàn)證解析模型準(zhǔn)確性，利用Ansys Maxwell軟件建立3-D有限元仿真模型，如圖3所示，永磁電動(dòng)懸浮系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 永磁電動(dòng)懸浮系統(tǒng)基本尺寸參數(shù)Tab.1 The basical parameters of PM-EDS

圖3 3-D有限元模型Fig.3 3-D finite element model

圖 4為二維解析模型（2D_model）[1,2,8,11,23]與本文建立的三維解析模型（3D_model）電磁力計(jì)算結(jié)果的對(duì)比，以三維有限元仿真結(jié)果（3D_FEA）作為參考標(biāo)準(zhǔn)。分析圖中的計(jì)算結(jié)果可以看出，本文建立的三維解析模型相較于傳統(tǒng)的二維解析模型能大幅度提高電磁力的計(jì)算精度，且計(jì)算結(jié)果與有限元結(jié)果基本一致，這驗(yàn)證了三維解析模型的計(jì)算準(zhǔn)確性和可靠性。圖5為導(dǎo)體板橫向中心處磁感應(yīng)強(qiáng)度沿x軸的分布情況，三維解析模型對(duì)磁場(chǎng)的計(jì)算結(jié)果同有限元仿真結(jié)果能較好地吻合，進(jìn)一步證明了模型的準(zhǔn)確可靠性。

圖4 不同模型電磁力計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig.4 The comparison of electromagnetic force calculations using different models

圖6為本文建立的三維解析模型與三維有限元模型在不同導(dǎo)體板寬度下的電磁力計(jì)算結(jié)果。從圖中可以看出，在不同導(dǎo)體板寬度下解析模型的電磁力計(jì)算結(jié)果與有限元仿真結(jié)果相差不大，驗(yàn)證了模型能夠計(jì)算導(dǎo)體板有限寬時(shí)系統(tǒng)所受的電磁力，這為下一步量化分析永磁體寬度和導(dǎo)體板寬度對(duì)系統(tǒng)橫向端部效應(yīng)的影響奠定了基礎(chǔ)。

圖5 磁感應(yīng)強(qiáng)度在導(dǎo)體板橫向中心沿x軸的分布情況Fig.5 The distribution of magnetic flux density along xaxis at center of the plate width.

圖6 不同導(dǎo)體板寬度下三維解析模型與有限元模型電磁力計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig.6 The comparison of electrimagnetic force calculations using 3D_ model and 3D_FEA in case of different conductive plate widths

2 參數(shù)分析

基于三維解析模型對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行參數(shù)分析，研究結(jié)構(gòu)參數(shù)變化對(duì)永磁電動(dòng)懸浮系統(tǒng)性能的影響。令永磁體陣列始終位于導(dǎo)體板橫向?qū)挾戎行?，以式?9）定義的系統(tǒng)浮阻比和浮重比為優(yōu)化指標(biāo)，改變特定參數(shù)分析優(yōu)化指標(biāo)受到的影響，給出最優(yōu)參數(shù)取值標(biāo)準(zhǔn)。

式中，F(xiàn)y和Fx分別為懸浮系統(tǒng)所受的懸浮力和電磁阻力，已在式（18）中計(jì)算得出；MG為Halbach永磁體陣列所受的重力，可通過(guò)永磁體陣列的體積和密度直接計(jì)算。

已有的研究表明，Halbach永磁陣列單塊永磁體的最優(yōu)長(zhǎng)度與氣隙有關(guān)，即 Halbach的最優(yōu)極距長(zhǎng)度與氣隙的選取高度有關(guān)[23]，為避免工作的重復(fù)性，本文主要研究除極距外的其他結(jié)構(gòu)參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)優(yōu)化指標(biāo)的影響。單獨(dú)研究某個(gè)參數(shù)的取值是毫無(wú)意義的，這里主要分析各參數(shù)與極距之比的最優(yōu)取值標(biāo)準(zhǔn)，以保證結(jié)果的通用性。在對(duì)永磁體參數(shù)進(jìn)行分析時(shí)，先將導(dǎo)體板寬度設(shè)定為無(wú)限寬以消除其對(duì)系統(tǒng)性能的影響，然后參數(shù)化分析永磁體寬度與極距之比對(duì)優(yōu)化指標(biāo)的影響，接著研究永磁體寬度與厚度之間是否存在耦合關(guān)系。在上述分析的基礎(chǔ)上研究永磁體厚度與極距之比對(duì)優(yōu)化指標(biāo)的影響，然后分析導(dǎo)體板寬度與永磁體寬度之比變化對(duì)優(yōu)化指標(biāo)的影響，最后研究導(dǎo)體板厚度對(duì)優(yōu)化指標(biāo)的影響。最終，給出各參數(shù)的最優(yōu)取值標(biāo)準(zhǔn)。

2.1 永磁體參數(shù)分析

圖7和圖8分別為不同極距下和不同永磁體厚度下優(yōu)化指標(biāo)受永磁體寬度與極距之比變化的影響。

圖7表明隨著永磁體寬度的增加，系統(tǒng)的浮重比先增大后保持不變，浮阻比基本不受影響，極距變化對(duì)最優(yōu)永磁體寬度與極距之比取值無(wú)影響，2w0/τ的最優(yōu)值取為2.5。通過(guò)改變永磁體厚度掃描分析永磁體寬度與厚度對(duì)系統(tǒng)性能的耦合影響，圖8表明永磁體厚度變化對(duì)最優(yōu) 2w0/τ取值基本無(wú)影響，認(rèn)為永磁體寬度與厚度對(duì)系統(tǒng)性能的影響是彼此解耦的，因此對(duì)永磁體厚度優(yōu)化的研究可采用二維解析模型以加快分析進(jìn)程。

圖7 不同極距下優(yōu)化指標(biāo)受永磁體寬度與極距之比變化的影響Fig.7 The impact of the ratio of permanent magnet width to pole pitch on optimization objectives in case of different pole pitches

圖8 不同永磁體厚度下優(yōu)化指標(biāo)受永磁體寬度與極距之比變化的影響Fig.8 The impact of the ratio of permanent magnet width to pole pitch on optimization objectives in case of different magnet thicknesses

不同極距下浮重比受永磁體厚度與極距之比變化的影響如圖9所示。圖9表明隨著永磁體厚度的增加，系統(tǒng)的浮重比先增大后減小，永磁體厚度與極距之比（h0/τ）存在最優(yōu)取值。將圖中不同極距下浮重比極值和該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的h0/τ提取出來(lái)，繪制圖10所示的最優(yōu)h0/τ和極距之間的關(guān)系圖，分析可以看出，隨著極距的增長(zhǎng)，h0/τ的最優(yōu)取值逐漸趨近于0.4。當(dāng)極距較小時(shí)，最優(yōu)h0/τ較大，這是因?yàn)椋涸跇O距較小時(shí)，永磁體厚度與極距的比值要進(jìn)一步增大才能使氣隙磁場(chǎng)的縱向分量達(dá)到最大值，以獲得最大浮重比。當(dāng)處于浮重比極值附近時(shí)，把h0/τ的最優(yōu)取值修正為0.4，畫(huà)出圖10中的修正線(xiàn)，可以看出修正值與實(shí)際值之間的浮重比最大差值不超過(guò)5%，完全可將修正值代替實(shí)際值，因此綜合分析最優(yōu)h0/τ取為 0.4。

圖9 不同極距下浮重比受永磁體厚度與極距之比變化的影響Fig.9 The impact of the ratio of permanent magnet thickness to pole pitch on lift to weight in case of different pole pitches

圖10 極距對(duì)永磁體厚度與極距最優(yōu)比值的影響Fig.10 The impact of pole pitch on the optimal ratio of permanent magnet thickness to pole pitch

2.2 導(dǎo)體板參數(shù)分析

永磁電動(dòng)懸浮系統(tǒng)本質(zhì)為動(dòng)態(tài)感應(yīng)渦流場(chǎng)模型，導(dǎo)體板的結(jié)構(gòu)尺寸對(duì)渦流的分布有很大的影響，進(jìn)而影響系統(tǒng)的電磁力。有關(guān)研究表明當(dāng)磁極的橫向?qū)挾扰c極距之比大于一定值時(shí)，電機(jī)的端部效應(yīng)可以忽略不計(jì)[8]。圖11所示為不同永磁體寬度下浮重比受導(dǎo)體板寬度與永磁體寬度之比變化的影響。圖11表明隨著永磁體寬度的增加，導(dǎo)體板寬度對(duì)系統(tǒng)橫向端部效應(yīng)的影響逐漸變小。但考慮 2w0/τ的最優(yōu)取值為2.5，在此前提下必須考慮系統(tǒng)的橫向端部效應(yīng)，分析可得最優(yōu)導(dǎo)體板寬度與永磁體寬度之比wd/w0可取為1.5。

在渦流場(chǎng)分析中趨膚效應(yīng)的存在會(huì)影響導(dǎo)體板厚度的選取，圖12所示為導(dǎo)體板厚度對(duì)電磁阻力隨速度變化的影響。圖12的二維解析模型計(jì)算結(jié)果表明在低速時(shí)隨著導(dǎo)體板厚度的增加，電磁阻力峰值會(huì)逐漸降為一個(gè)穩(wěn)定值，高速時(shí)系統(tǒng)阻力受導(dǎo)體板厚度變化的影響不大，為減小推進(jìn)損耗，在速度小于 50m/s的低速區(qū)間可將導(dǎo)體板厚度取為15mm，在中高速運(yùn)動(dòng)區(qū)間段可根據(jù)實(shí)際運(yùn)行速度進(jìn)一步減小厚度，降低建設(shè)成本。

圖12 導(dǎo)體板厚度對(duì)電磁阻力隨速度變化的影響Fig.12 The impact of the conductive plate thickness on drag force changing along vx

2.3 參數(shù)分析系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)法

2.1節(jié)和2.2節(jié)參數(shù)分析首次探究了導(dǎo)體板寬度對(duì)系統(tǒng)橫向端部效應(yīng)的影響，研究了結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)橫向端部效應(yīng)的影響，給出的結(jié)構(gòu)參數(shù)最優(yōu)取值標(biāo)準(zhǔn)可有效加快系統(tǒng)優(yōu)化的速度，減少優(yōu)化時(shí)間成本?；趨?shù)分析系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)法的永磁電動(dòng)懸浮系統(tǒng)優(yōu)化步驟總結(jié)如下：根據(jù)氣隙和實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景選定系統(tǒng) Halbach陣列的極距，根據(jù)參數(shù)分析將永磁體的寬度取為極距的2.5倍，厚度取為極距的0.4倍。確定永磁體結(jié)構(gòu)后，可將導(dǎo)體板寬度取為永磁體寬度的 1.5倍，對(duì)于導(dǎo)體板厚度，在速度小于50m/s的低速區(qū)間可將導(dǎo)體板的厚度取為15mm，中高速運(yùn)動(dòng)區(qū)間結(jié)合二維計(jì)算方法選取合適的厚度。

3 多目標(biāo)優(yōu)化

3.1 優(yōu)化函數(shù)

利用多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法對(duì)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，優(yōu)化目標(biāo)為系統(tǒng)浮重比和浮阻比最大化，其中優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)定義為

優(yōu)化時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)行速度vx=200m/s，g=10mm，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)組成的參數(shù)集合矢量如式（20）所示，每一個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化范圍由第 2節(jié)參數(shù)分析確定，見(jiàn)表2，其他參數(shù)固定不變（見(jiàn)表1）。

表2 優(yōu)化設(shè)計(jì)參數(shù)取值范圍Tab.2 The ranges of optimization design

3.2 多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法

多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法（MOPSO）目前已發(fā)展為比較成熟的優(yōu)化算法之一，其算法中的粒子具備記憶功能，粒子之間可以相互交流自己存儲(chǔ)的信息，在代表全局最優(yōu)解的粒子和代表局部最優(yōu)解的粒子的共同引導(dǎo)之下迭代尋優(yōu)，最終使整個(gè)粒子群不斷收斂到最優(yōu)解集上。多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法的主要關(guān)系函數(shù)為[24-25]

式中，n為目前為止的迭代次數(shù)；i為種群的第i個(gè)粒子；xi為粒子的位置，即式（21）中的優(yōu)化參數(shù)矢量；vi為粒子的速度，即迭代尋優(yōu)時(shí)參數(shù)集合矢量的增量；Pbesti和Gbest分別為迭代過(guò)程中每個(gè)粒子的局部最優(yōu)解和整個(gè)種群的全局最優(yōu)解；ω為慣性權(quán)重，代表該粒子當(dāng)前速度對(duì)迭代得到的該粒子的下一代位置的影響；c1為自我學(xué)習(xí)因子；c2為社會(huì)學(xué)習(xí)因子；r1和r2為0～1之間的隨機(jī)數(shù)。整個(gè)種群通過(guò)迭代尋優(yōu)找出合適的Pareto最優(yōu)解集，畫(huà)出Pareto前沿面軌跡，最后找出符合設(shè)計(jì)指標(biāo)的最優(yōu)解。

3.3 優(yōu)化結(jié)果

將粒子的初始種群數(shù)量設(shè)置為 100，通過(guò)隨機(jī)數(shù)在參數(shù)取值范圍內(nèi)生成100個(gè)初始化粒子，如果導(dǎo)體板寬度小于永磁體寬度，則將導(dǎo)體板寬度直接設(shè)置為永磁體寬度的 1.5倍，Pareto最優(yōu)解集的大小設(shè)置為100，最大迭代次數(shù)設(shè)置為300。為了防止粒子進(jìn)入局部尋優(yōu)，在迭代過(guò)程中設(shè)置與迭代次數(shù)相關(guān)的突變因子，當(dāng)系統(tǒng)生成的隨機(jī)數(shù)小于突變因子時(shí)，將該粒子的本次迭代解變異為與突變因子有關(guān)的新解。

經(jīng)過(guò)優(yōu)化以后，Pareto前沿面軌跡如圖13所示。選擇其中的A、B、C三個(gè)點(diǎn)作為優(yōu)化設(shè)計(jì)解（優(yōu)化指標(biāo)f1和f2），并與初始設(shè)計(jì)進(jìn)行對(duì)比，其參數(shù)及性能對(duì)比見(jiàn)附表1中MOPSO設(shè)計(jì)解。優(yōu)化點(diǎn)A的浮重比（55.17）和浮阻比（16.51）皆大于初始設(shè)計(jì)點(diǎn)（49.04, 10.04），C點(diǎn)的浮重比（74.12）大于A(yíng)點(diǎn)，但浮阻比（11.14）比A點(diǎn)小且與初始設(shè)計(jì)點(diǎn)接近，B（62.25,14.47）處于整個(gè)軌跡的中點(diǎn)平衡處，對(duì)優(yōu)化設(shè)計(jì)指標(biāo)的權(quán)衡達(dá)到最佳，它及其周?chē)慕馐亲罴言O(shè)計(jì)目標(biāo)選取區(qū)域。

圖13 多目標(biāo)優(yōu)化Pareto前沿面Fig.13 Pareto front of the muti-objective optimization

從附表1中可以看出MOPSO優(yōu)化解的導(dǎo)體板橫向?qū)挾容^大，由優(yōu)化算法尋找出來(lái)的設(shè)計(jì)解是指標(biāo)最優(yōu)解。此時(shí)保持A、B、C三點(diǎn)的極距不變，其他參數(shù)取值采用 2.3節(jié)參數(shù)分析系統(tǒng)優(yōu)化法進(jìn)行計(jì)算，得出附表1中的基于參數(shù)分析的系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)解Ac、Bc、Cc，并計(jì)算出設(shè)計(jì)點(diǎn)的優(yōu)化指標(biāo)，可以看出后者的優(yōu)化指標(biāo)與前者基本接近，誤差不超過(guò)10%，分析得到誤差主要來(lái)源于參數(shù)分析系統(tǒng)優(yōu)化法給出的結(jié)構(gòu)參數(shù)計(jì)算規(guī)則，規(guī)則基礎(chǔ)為相關(guān)指標(biāo)變化的拐點(diǎn)值，拐點(diǎn)以后的增長(zhǎng)被忽略，但優(yōu)化算法計(jì)算了拐點(diǎn)后優(yōu)化指標(biāo)的增長(zhǎng)值，同時(shí)相應(yīng)的結(jié)構(gòu)尺寸也大幅增大，所以最后會(huì)產(chǎn)生一定的誤差。但從附表1的結(jié)果對(duì)比中可以看出，基于參數(shù)分析的系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)解在對(duì)系統(tǒng)性能影響較小的情況下能大幅減小導(dǎo)體板的寬度，降低建設(shè)成本，且優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)間相比于MOPSO可以忽略不計(jì)，這驗(yàn)證了參數(shù)分析給出的最優(yōu)參數(shù)取值標(biāo)準(zhǔn)的可靠性和實(shí)用性，減少了工程設(shè)計(jì)中的計(jì)算量，節(jié)約了設(shè)計(jì)成本，最優(yōu)參數(shù)取值標(biāo)準(zhǔn)見(jiàn)表3。

表3 最優(yōu)參數(shù)取值標(biāo)準(zhǔn)Tab.3 The standard of optimization parameters calculating

4 結(jié)論

準(zhǔn)確計(jì)算電磁力是對(duì)永磁電動(dòng)懸浮系統(tǒng)進(jìn)行深入研究和分析的基礎(chǔ)，本文建立了直線(xiàn)型永磁電動(dòng)懸浮系統(tǒng)三維電磁解析模型，考慮了系統(tǒng)的橫向端部效應(yīng)和縱向端部效應(yīng)計(jì)算問(wèn)題，基于構(gòu)建的三維解析模型分析了結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)性能指標(biāo)的影響，主要結(jié)論如下：

1）建立的三維電磁解析模型考慮了直線(xiàn)型永磁電動(dòng)懸浮系統(tǒng)的橫向端部效應(yīng)和導(dǎo)體板橫向邊界面磁場(chǎng)透射對(duì)系統(tǒng)性能的影響，能夠有效分析導(dǎo)體板寬度對(duì)懸浮系統(tǒng)性能的影響。解析模型適用于直線(xiàn)型永磁電動(dòng)懸浮系統(tǒng)永磁體與導(dǎo)體板任意位置關(guān)系，更具通用性。與二維計(jì)算模型相比，大幅提高了電磁力計(jì)算精度，與3-D有限元仿真相比，將單個(gè)設(shè)計(jì)解的電磁力計(jì)算時(shí)間縮短為20s左右，大大節(jié)約了計(jì)算時(shí)間。

2）基于參數(shù)分析對(duì)直線(xiàn)型永磁電動(dòng)懸浮系統(tǒng)的橫向端部效應(yīng)進(jìn)行了量化研究，提出一種系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，得到了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)最優(yōu)取值標(biāo)準(zhǔn)，見(jiàn)表 3。通過(guò)對(duì)比參數(shù)分析系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)解和MOPSO的優(yōu)化解，表明在對(duì)系統(tǒng)性能影響較小的情況下參數(shù)分析系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)法能大幅減小導(dǎo)體板的寬度，降低系統(tǒng)建設(shè)成本，且優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)間相較于MOPSO計(jì)算時(shí)間可以忽略不計(jì)，減少了工程設(shè)計(jì)中的計(jì)算量，節(jié)約了設(shè)計(jì)成本。

目前作者所在的課題組正有序推進(jìn)桶式旋轉(zhuǎn)試驗(yàn)平臺(tái)的建設(shè)，下一步將利用試驗(yàn)平臺(tái)驗(yàn)證理論模型的準(zhǔn)確性。

附 錄

附表1 MOPSO設(shè)計(jì)解與參數(shù)分析系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)解對(duì)比App.Tab.1 The comparison of design given by optimization based on parameter analysis and that given by MOPSO