平板型永磁直線同步電機推力特性的優(yōu)化設(shè)計

李雄松 崔鶴松 胡純福 劉 曉 黃守道

（1. 湖南大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院 長沙 410082 2. 國網(wǎng)臺州供電公司 臺州 318000 3. 機械工業(yè)北京電工技術(shù)經(jīng)濟研究所 北京 100070）

0 引言

直線電機的特點是無需中間傳動裝置即可實現(xiàn)直線運動，具有結(jié)構(gòu)簡單、推力密度高[1]、定位精度高、可靠性高[2]和擴展性強等諸多優(yōu)點。因此具有十分廣泛的應(yīng)用，如高精密數(shù)控機床[3]、地鐵[4]、激光切割[5]、電磁彈射系統(tǒng)[6]及海洋波浪能的發(fā)電裝置[7]等。

然而，在結(jié)構(gòu)上直線電機初級鐵心開斷，其存在邊端效應(yīng)，且在平板型永磁同步直線電機（Permanent Magnet Linear Synchronous Motor,PMLSM）中更加顯著。另外，對于有鐵心的平板型永磁同步直線電機，其初級鐵心還需開槽嵌入線圈，存在齒槽效應(yīng)。由邊端效應(yīng)引起的邊端力和齒槽效應(yīng)引起的齒槽力導(dǎo)致電機具有較大推力波動，嚴重影響電機的穩(wěn)定運行。因此，如何采取有效措施減少推力波動，提高輸出的平均推力，以獲得良好的推力特性是至關(guān)重要的。

針對此問題，在電機本體結(jié)構(gòu)上，國內(nèi)外學(xué)者做了大量的研究[8-18]。削弱邊端力方面，文獻[8]分別建立關(guān)于邊端力的分析模型，提出最佳初級鐵心長度。文獻[10]提出雙邊初級和雙邊次級結(jié)構(gòu)，形成閉合磁回路以有效地抑制邊端力。文獻[11]提出初級輔助極結(jié)構(gòu)，通過優(yōu)化輔助極幾何形狀和位置來削弱邊端力。文獻[13]提出雙邊初級錯位半個極距。文獻[14]提出初級端部弧形結(jié)構(gòu)以達到削弱邊端力的目的。削弱齒槽力方面，文獻[15]提出格柵型次級的新型拓撲結(jié)構(gòu)；文獻[16]提出采用不等槽口寬度配合減小齒槽轉(zhuǎn)矩；文獻[17]研究初級鐵心齒開虛擬槽個數(shù)與齒槽力的規(guī)律；文獻[18]研究磁極偏移來消除齒槽諧波，推導(dǎo)出具體的磁極偏移距離公式。盡管這些方法有效地減小了推力波動，但可能會降低可控性或降低平均推力，且優(yōu)化的設(shè)計參數(shù)和目標單一。因此，多設(shè)計參數(shù)多目標的優(yōu)化設(shè)計是很有必要的。

本文基于有限元分析，從電機本體結(jié)構(gòu)入手，實現(xiàn)平板型永磁直線同步電機多設(shè)計參數(shù)多目標的優(yōu)化設(shè)計。本文首先介紹平板型永磁直線同步電機的拓撲結(jié)構(gòu)和設(shè)計參數(shù)的有限元分析；然后介紹Taguchi法的敏感性分析，從12個設(shè)計參數(shù)中選出6個敏感參數(shù)；介紹Kriging模型與多目標粒子群優(yōu)化算法相結(jié)合的優(yōu)化設(shè)計方法；最后進行了實驗驗證。

1 電機結(jié)構(gòu)及參數(shù)

圖 1a為 12槽 10極平板型永磁直線同步電機的拓撲結(jié)構(gòu)。圖1b給出了13個設(shè)計參數(shù)，包括初級鐵心長度ls，弧形輔助極位置d、高度h、弧形半徑R和弧度θ，磁極寬度wpm和高度hpm，半閉口槽寬度bs0、bs1、bs2和高度hs0、hs1、hs2。

圖1 12槽10極永磁直線同步電機拓撲結(jié)構(gòu)和設(shè)計參數(shù)Fig.1 Topology and design parameters of 12-slot 10-pole permanent magnet linear synchronous motor(PMLSM)

表1給出了12槽10極平板型永磁直線同步電機的基本結(jié)構(gòu)參數(shù)。對于13個設(shè)計參數(shù)，初始設(shè)計值分別是初級鐵心長度ls為256mm，輔助極位置d和高度h皆為0mm，弧形半徑R為4mm，弧度θ為0°，磁極寬度wpm為20mm，磁極高度hpm為4.5mm，半閉口槽寬度bs0為6mm、bs1為12mm、bs2為12mm，半閉口槽高度hs0為2mm、hs1為1mm、hs2為37mm。

表1 12槽10極平板型永磁直線同步電機基本結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 Basic structure parameters of 12s10p PMLSM

由于篇幅有限，本文僅對初級鐵心長度ls、輔助極位置d、高度h、弧形半徑R和弧度θ、磁極寬度wpm和高度hpm、半閉口槽寬度bs0這八個設(shè)計參數(shù)進行有限元分析，研究各個參數(shù)對平板型永磁直線同步電機推力特性的影響，其余保持原始值不變。

1）初級鐵心長度ls

初級鐵心長度主要影響永磁直線同步電機邊端力的大小。根據(jù)理論可知，使得永磁直線同步電機邊端力最小的初級鐵心長度落在kτ+τ/2（k為正整數(shù)，τ為極距）處。為了定量分析初級鐵心長度對永磁直線同步電機邊端力的影響，初級鐵心長度范圍設(shè)為240～264mm，遞增量為1mm，邊端力有限元結(jié)果及其前3次分量如圖2所示?？梢钥闯?，使得邊端力最小的最佳初級鐵心長度為254.5mm，幅值為29.2N，邊端力最大和最小可相差72.7N。

圖2 初級鐵心長度ls對永磁直線同步電機邊端力的影響Fig.2 The impact of primary core length on Side force of PMLSM

2）弧形輔助極

弧形輔助極有四個設(shè)計參數(shù)，分別為輔助極位置d、高度h、弧形半徑R和弧度θ。采用控制變量分析法，單獨對每個設(shè)計參數(shù)進行有限元分析，其他保持原始值不變，結(jié)果如圖3所示?？梢钥闯觯膫€設(shè)計參數(shù)主要影響永磁直線同步電機的推力波動，對平均推力影響不顯著?？沙醪脚卸?，當輔助極位置d為1mm、高度h為2mm、弧形半徑R為16mm、弧度θ為50°時，可獲得較好的推力特性。

圖3 弧形輔助極對永磁直線同步電機推力波動的影響Fig.3 The impact of arc-shaped auxiliary pole on thrust ripple of PMLSM

3）槽口寬度bs0

對于永磁直線同步電機初級鐵心的半閉口槽，其包含六個設(shè)計參數(shù)，其中槽口寬度bs0對氣隙磁場的影響最大。與旋轉(zhuǎn)電機不同，永磁直線同步電機的端部為半填槽，槽口寬度為bs0的一半。將半填槽口寬度和中間槽口寬度看作兩個獨立設(shè)計參數(shù)，有限元參數(shù)化分析結(jié)果如圖4所示。圖4a顯示半填槽口寬度為4.5mm、中間槽口寬度為10.5mm時推力波動達到最小值，圖4b顯示半填槽口寬度為3mm、中間槽口寬度為6mm時平均推力達到最大值，兩者沒落在同一點處，優(yōu)化時應(yīng)合理設(shè)計。

圖4 槽口寬度對推動波動和平均推力的影響Fig.4 The impact of notch width on thrust ripple and average thrust of PMLSM

4）磁極寬度wpm和高度hpm

圖5a顯示隨著磁極寬度wpm的增大，永磁直線同步電機的平均推力呈緩慢遞增趨勢，推力波動先減小后增大。圖5b顯示永磁直線同步電機的平均推力和推力波動與磁極高度hpm近似成正比關(guān)系。綜合分析可得，磁極尺寸的增大有助于提高永磁直線同步電機的平均推力，同時會使推力波動增大，永磁材料的成本增加，設(shè)計時應(yīng)統(tǒng)籌考慮。

圖5 磁極寬度和高度與永磁直線同步電機平均堆力與推力波動的關(guān)系Fig.5 The impact of magnet width and height on thrust ripple and average thrust of PMLSM

2 參數(shù)敏感性分析

影響永磁同步直線電機平均推力和推力波動的設(shè)計參數(shù)有很多，為降低優(yōu)化問題維度，提高優(yōu)化效率，本文采用Taguchi法對12個設(shè)計參數(shù)（輔助極位置d和高度h、弧形半徑R和弧度θ，磁極寬度wpm和高度hpm，半閉口槽寬度bs0、bs1、bs2和高度hs0、hs1、hs2）進行敏感性分析，初級鐵心長度ls因間接體現(xiàn)在輔助極設(shè)計參數(shù)中被略去。通過Taguchi法的信噪比分析和方差分析，選出敏感參數(shù)，為后文多目標優(yōu)化奠定基礎(chǔ)。具體過程是將12個設(shè)計參數(shù)分為兩組：第一組是關(guān)于弧形輔助極和磁極的六個設(shè)計參數(shù)d、h、R、θ、wpm、hpm；第二組是關(guān)于半閉口槽的六個設(shè)計參數(shù)bs0、bs1、bs2、hs0、hs1、hs2，分別進行參數(shù)敏感性分析。

2.1 第一組設(shè)計參數(shù)敏感性分析

首先，建立一張關(guān)于六個設(shè)計參數(shù)的L25(56)正交表，即進行變量數(shù)為6、變量水平數(shù)為5、試驗次數(shù)為25。接著，利用有限元分析計算出每次試驗的目標值，包括推力波動和平均推力，填入表中；然后，對正交表進行信噪比分析和方差分析，推力波動的信噪比目標選擇“望小”，平均推力的信噪比目標選擇“望大”，信噪比分析和方差分析結(jié)果分別如圖6和表2所示。

圖6 第一組參數(shù)信噪比分析Fig.6 Signal noise ratio analysis of the first set of parameters

表2 第一組設(shè)計參數(shù)方差分析Tab.2 Analysis of variance of the first set of design parameters

由圖6和表2可看出，對推力波動敏感的設(shè)計參數(shù)是d和h，而對平均推力敏感的設(shè)計參數(shù)是wpm和hpm。將d、h、wpm、hpm這四個變量選出確定為優(yōu)化變量。至于對推力波動和平均推力影響比重都小的弧形半徑R和弧度θ，根據(jù)圖6的信噪比分析結(jié)果將兩者值固定為R=16mm，θ=50°。

2.2 第二組設(shè)計參數(shù)敏感性分析

同樣的步驟對第二組關(guān)于半閉口槽的六個設(shè)計參數(shù)再操作一次，信噪分析比和方差分析結(jié)果分別如圖7和表3所示。

圖7 第二組參數(shù)信噪比分析Fig.7 Signal noise ratio analysis of the second set of parameters

表3 第二組設(shè)計參數(shù)方差分析Tab.3 Analysis of variance of the second set of design parameters

圖7信噪比分析結(jié)果和表3方差分析結(jié)果顯示，半閉口槽的六個設(shè)計參數(shù)中對推力波動最敏感的參數(shù)是bs0，對平均推力敏感的參數(shù)是bs1和bs2。

本文最終采用原始bs1=bs2的平行槽結(jié)構(gòu)，確定bs0和bs1為優(yōu)化變量。其他參數(shù)影響比重小，分別固定為：hs0=1mm、hs1=2.5mm、hs2=34mm。

綜上，確定弧形輔助極的位置d和高度h、磁極的寬度wpm和高度hpm、半閉口槽的槽口寬度bs0和槽寬bs1共六個設(shè)計參數(shù)為優(yōu)化變量，為下文的多目標優(yōu)化奠定基礎(chǔ)。

3 多目標優(yōu)化

本文以上述六個敏感設(shè)計參數(shù)為優(yōu)化變量，其約束條件為

優(yōu)化目標是獲得小的推力波動和大的平均推力，目標函數(shù)采用標幺值

式中，F(xiàn)pk2pk為推力波動；Fpk2pk0為推力波動原始值；Favg為平均推力；Favg0為平均推力原始值。

本文研究一種 Kriging代理模型與多目標粒子群優(yōu)化算法相結(jié)合的優(yōu)化設(shè)計方法，優(yōu)化過程為：

（1）試驗設(shè)計，對六個優(yōu)化變量采用拉丁超立方試驗設(shè)計，獲取分布均勻的樣本空間，有限元分析獲取對應(yīng)的目標函數(shù)值。

（2）代理模型，選取代理模型構(gòu)建樣本點中變量與目標函數(shù)值之間的函數(shù)關(guān)系。對于 Kriging模型，采用期望提高的加點準則，優(yōu)化第一階段多目標粒子群優(yōu)化的目標函數(shù)為推力波動和平均推力的期望提高E[f1]和E[f2]，目的是采用盡量少的樣本點獲取高精度預(yù)測的模型。

（3）多目標粒子群優(yōu)化，也稱優(yōu)化第二階段，以推力波動和平均推力為優(yōu)化目標，算法中引入變異操作，獲得兩目標函數(shù)解的Pareto前沿。

3.1 試驗設(shè)計

利用 Matlab的 lhsdesign函數(shù)來獲得基于maxmin準則的拉丁超立方試驗設(shè)計，樣本空間維度和樣本點數(shù)同樣設(shè)為6和80，迭代次數(shù)設(shè)為200。對采樣后的樣本分別建立有限元模型，通過有限元分析得到每個樣本點的推力波動和平均推力值。

3.2 代理模型

試驗設(shè)計獲得80個樣本點后，分別利用多項式響應(yīng)面模型和 Kriging模型來建立優(yōu)化變量與目標函數(shù)之間代理模型。多項式響應(yīng)面模型為

Kriging模型無具體的表達式，其回歸部分為二次型，隨機部分的相關(guān)函數(shù)采用高斯函數(shù)。代理模型建立后，利用第2節(jié)中的25組樣本點進行檢驗，結(jié)果見表4。

表4 代理模型檢驗Tab.4 Check of surrogate model

可以看出，平均推力與優(yōu)化變量的函數(shù)關(guān)系簡單，多項式模型和 Kriging模型皆能獲得比較好的擬合效果。而對于推力波動，其與優(yōu)化變量的函數(shù)關(guān)系復(fù)雜，非線性程度高，兩模型都未能取得很好的擬合效果。但 Kriging模型通過期望提高的加點準則，樣本點由初始的80個加到116個，最后獲得較為理想的擬合效果。

3.3 基于Kriging模型的多目標粒子群優(yōu)化

本文中，采用 Kriging模型輔助的多目標粒子群優(yōu)化（Multi-Objective Particle Swarm Optimization,MOPSO）來實現(xiàn)永磁直線同步電機的多目標優(yōu)化。其中，粒子的適應(yīng)度計算由Kriging模型來完成，算法中引入變異操作，避免MOPSO算法過早陷入局部最優(yōu)的可能性。

粒子群算法的結(jié)構(gòu)形式十分簡單，其主體部分是粒子速度和位置的更新公式，即

式中，vi為粒子速度；xi為粒子位置；ω為慣性權(quán)重；rand()為介于（0,1）之間的隨機數(shù)；c1和c2是學(xué)習(xí)因子。

整個優(yōu)化過程在Matlab中進行迭代運算，兩目標函數(shù)值隨著迭代次數(shù)變化的分布如圖8所示。

圖8 不同迭代次數(shù)時的目標函數(shù)值分布Fig.8 Distribution of objective function values at different iterations

可以看出，當?shù)螖?shù)達到500時，MOPSO算法變化趨勢不大，基本可以認為尋優(yōu)結(jié)束。優(yōu)化后的電機參數(shù)見表5，優(yōu)化結(jié)果見表6和表7。

表5 平板型永磁直線同步電機設(shè)計參數(shù)優(yōu)化結(jié)果Tab.5 Optimization results of design parameters for flat-type PMLSM

表6 平板型永磁直線同步電機優(yōu)化結(jié)果Tab.6 Optimization results of flat-type PMLSM

表7 平板型永磁直線同步電機斜極優(yōu)化結(jié)果Tab.7 The skew optimization results of PMLSM

由表6可以看出，若以減小推力波動為主要目標，MOPSO優(yōu)化1的電機能獲得最小的推力波動，其與原始推力波動相比減小了77%，對應(yīng)的平均推力與原始平均推力相比下降了2%；若兼顧減小推力波動和提高平均推力，MOPSO優(yōu)化 2的電機相比于原始電機，推力波動減小64%的同時其平均推力提高了6.6%?；赥aguchi法優(yōu)化的電機，其推力波動和平均推力也分別獲得 48%的減小和 5%的提高，雖然優(yōu)化效果沒有MOPSO優(yōu)化2那么顯著，但在單位體積永磁體的平均推力方面最大，該優(yōu)化有效地提高了永磁體利用率。

優(yōu)化后的電機主要殘留6次以上諧波，可采用磁極斜極技術(shù)進一步地削弱推力波動。表7顯示斜極8mm的原始電機，推力波動由100N減小到28.5N，減小了71.5%，平均推力由627N降到595.3N，下降了 5.06%。而斜極 8mm的 MOPSO優(yōu)化 2的電機，推力波動進一步從36.35N減小到8N，減小了78%，平均推力由668.65N降到640N，下降了4.3%。可以看出，斜極是減小推力波動的有效措施，但過大的斜極距離將會使電機平均推力大幅度降低。因此小距離的斜極對平均推力影響很小，且抑制推力波動效果顯著。

4 實驗驗證

依據(jù)本文優(yōu)化的設(shè)計參數(shù)，就平板型永磁直線同步電機的實驗測試平臺所需裝置及器件進行了選型。在完成測試平臺的設(shè)計后，加工出樣機和測試平臺部件，搭建出了實驗測試平臺如圖9所示。

圖9 平板型永磁直線同步電機實驗測試平臺Fig.9 Flat-type PMLSM experimental test platform

測得電機在126mm/s速度下的實驗和有限元反電動勢波形如圖10所示。

圖10 實驗與有限元反電動勢Fig.10 Back EMF of experiment and finite element

圖 10a顯示，1.5～3s由于斜極其反電動勢幅值略微減小。實驗反電動勢峰值為 12V，計算得到反電動勢常數(shù)為 95.2V/(m/s)，而有限元分析的反電動勢峰值為12.5V，計算得反電動勢常數(shù)為99.2V/(m/s)，二者相差4.2%，波形基本吻合。基于反電動勢常數(shù)與推力常數(shù)成正比，故反電動勢實驗可以驗證推力的優(yōu)化，由此可見電機的實際優(yōu)化效果與仿真一致，斜極也起到了優(yōu)化的效果，在幾乎沒有減小平均推力的情況下推力波動得到了抑制。

5 結(jié)論

本文對12槽10極平板型永磁直線同步電機進行優(yōu)化設(shè)計。電機設(shè)計參數(shù)的有限元分析結(jié)果顯示，初級鐵心最佳長度與理論分析的kτ+τ/2略有偏差，但理論結(jié)果為快速鎖定最佳長度有參考價值；初級弧形輔助極主要對推力波動有影響，影響顯著的設(shè)計參數(shù)為輔助極位置和高度；中間槽和端部半填槽兩者的槽口寬度優(yōu)化時推力波動最小和平均推力最大未落在同一點處，磁極用量與推力波動和平均推力基本呈正比關(guān)系，這些在優(yōu)化設(shè)計時應(yīng)統(tǒng)籌考慮。

在優(yōu)化過程中，基于 Taguchi法的敏感性分析有助提煉敏感的設(shè)計參數(shù)，結(jié)果顯示弧形輔助極的位置d和高度h、磁極的寬度wpm和高度hpm、半閉口槽的槽口寬度bs0和槽寬bs1是影響推力特性的敏感參數(shù)。通過對這六個敏感參數(shù)進行拉丁超立方試驗設(shè)計和 Kriging輔助的多目標粒子群優(yōu)化，優(yōu)化后的平板型永磁直線同步電機的推力波動較原始減小了64%，平均推力提高了6.6%。優(yōu)化后的平板型永磁直線同步電機推力中主要殘留6次諧波，配合斜極，其推力波動可進一步達到92%的減小量且平均推力仍保有2%的提高。最后，實驗與有限元分析的反電動勢進行對比，波形吻合，且兩者反電動勢常數(shù)相差 4.2%，實驗驗證了有限元分析的正確性。