用軟件工具探究拋體運(yùn)動(dòng)的最值問(wèn)題

摘? 要：掌握常用軟件工具，在教學(xué)中根據(jù)需要隨時(shí)調(diào)用，是教師信息素養(yǎng)的重要方面，也是提高教學(xué)質(zhì)量的重要途徑。文章結(jié)合拋體運(yùn)動(dòng)碰撞障礙物時(shí)的最小值問(wèn)題，用Algodoo軟件模擬運(yùn)動(dòng)過(guò)程、獲得數(shù)據(jù)，探究不同初速度下物體具有不同的碰撞速度存在著最小值的問(wèn)題。還用GeoGebra探究其他情境的最值問(wèn)題，軟件的運(yùn)用和繪圖功能提高了探究工作的效率。利用軟件從不同視角展示物理規(guī)律，對(duì)科學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)有重要作用。

關(guān)鍵詞：軟件工具;Algodoo;GeoGebra;信息技術(shù);平拋運(yùn)動(dòng);最小值

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? 文章編號(hào)：1003-6148（2021）2-0046-3

《普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》要求，物理教學(xué)要主動(dòng)開(kāi)發(fā)適合教學(xué)、提高教學(xué)質(zhì)量的信息產(chǎn)品，拓寬物理學(xué)習(xí)的途徑，促進(jìn)物理教學(xué)方式的改革。一些軟件是物理教學(xué)的重要工具。如Algodoo、GeoGebra、幾何畫(huà)板、仿真物理實(shí)驗(yàn)室。教師熟練掌握這些軟件工具，需要的時(shí)候恰當(dāng)?shù)卣{(diào)用它們，對(duì)教師的教和學(xué)生的學(xué)都是大有裨益的。下面以探究拋體運(yùn)動(dòng)最值問(wèn)題為例，展示Algodoo、GeoGebra 的獨(dú)特功能。

1? ? 問(wèn)題的提出

假定有探險(xiǎn)者被困在懸崖峭壁的一個(gè)山洞里，直升機(jī)前來(lái)救援，如圖1所示。考慮到安全因素，直升機(jī)不能距離巖壁太近，只能從直升機(jī)向山洞投放受困者的生存必需品。如果從直升機(jī)上平拋物品，要求物品落入山洞時(shí)的動(dòng)能最小，以保證物品的安全，采用什么初速度和高度投放物品才能滿足上述要求呢？

2? ? 模型的建構(gòu)和推理

建立如圖2所示的坐標(biāo)系，直升機(jī)拋物的初始位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，懸崖為距離原點(diǎn)為L(zhǎng)的豎線，方程為：x=L（1）

物體做平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)：

x=v0t（2）

豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)：

y=■gt2（3）

由以上三式可得：

y=■（4）

設(shè)物體的質(zhì)量為m，它落到山洞口的動(dòng)能為：

Ek=■mv■■+mgy（5）

（4）式代入（5）式得：

Ek=■mv■■+mg■=■m（v■■+■）（6）

由于v■■×■=g2L2為定值，當(dāng)v■■=■時(shí)，Ek存在最小值。

由v■■=■得v■■=gL，代入（4）式得y=■=2.5 m

落入洞口的動(dòng)能Ek=mgL

理論推導(dǎo)得出的結(jié)論是，直升機(jī)在高出洞口2.5 m處，以v0=■=7 m/s的速度平拋，落入洞口的動(dòng)能為最小，假定物體質(zhì)量m=10 kg，最小值為Ek=mgL=490 J。

3? ? Algodoo環(huán)境下的探究

這種實(shí)驗(yàn)實(shí)際驗(yàn)證有一定困難，Algodoo提供了逼真的模擬環(huán)境，我們可以利用該軟件工具去探究。

在空間創(chuàng)建一個(gè)平臺(tái)，用固定工具把它固定在背景上，平臺(tái)摩擦系數(shù)設(shè)定為零。右側(cè)5 m處創(chuàng)建豎直擋板，相當(dāng)于懸崖，也用固定工具把它固定在背景上。如圖3所示。

在平臺(tái)上面創(chuàng)建小球，質(zhì)量設(shè)定為10 kg，半徑設(shè)為0.02 m（這樣設(shè)定便于把物體看作質(zhì)點(diǎn)，因?yàn)橘|(zhì)量密度太大與現(xiàn)實(shí)有差距）。小球的摩擦系數(shù)設(shè)定為0，彈性系數(shù)設(shè)定為零，初速度設(shè)定為7 m/s，去掉空氣阻力的影響，運(yùn)行軟件，物體的運(yùn)動(dòng)如圖3所示。

打開(kāi)小球的“顯示圖表”功能，默認(rèn)是速度圖，讓小球恢復(fù)到初始位置，再運(yùn)行軟件，獲得其運(yùn)動(dòng)的速度圖像。從圖像可以得到，小球碰壁的瞬時(shí)速度是 v=9.916 m/s，如圖4所示。

運(yùn)算得到物體碰壁的動(dòng)能：

Ek=■mv■■=■×10×9.9162=491.6 J

物體碰壁時(shí)動(dòng)能的理論值為490 J，而模擬值是491.6 J，偏大0.3%，這是什么原因造成的呢？我們截取圖中的碰撞細(xì)節(jié)（圖5），發(fā)現(xiàn)物體“進(jìn)入巖壁”才反彈。該軟件的算法是，在某一位置和狀態(tài)（速度、角動(dòng)量等）下，再取一個(gè)固定的時(shí)間小量，計(jì)算新的狀態(tài)，如此重復(fù)，如果某次位置和巖壁位置重疊，說(shuō)明碰撞產(chǎn)生，再把碰撞因子考慮進(jìn)去，計(jì)算新的位置和狀態(tài)，因此出現(xiàn)進(jìn)入物體的偏差，這就是偏差的原因。

為了對(duì)比不同初速度運(yùn)動(dòng)的差異，我們把物體的初速度分別設(shè)定為6.0 m/s、6.5 m/s、7.0 m/s、

7.5 m/s、8.0 m/s，平拋軌跡如圖6所示。

分別記錄物體的速度圖像，如圖7所示，可以看到，碰壁后物體速度發(fā)生突變，圖像出現(xiàn)拐點(diǎn)，速度圖的最高點(diǎn)即為碰壁時(shí)的速度。

（從左到右對(duì)應(yīng)的初速度分別為8.0 m/s、7.5 m/s、7.0 m/s、6.5 m/s、6.0 m/s）

截取圖7的局部，把碰壁速度（拐點(diǎn)）連接起來(lái)，得到一條曲線（圖8的點(diǎn)線），最小值的位置和理論計(jì)算結(jié)果是一致的，如圖8所示。通過(guò)這些情境、圖像和數(shù)據(jù)，能讓學(xué)生真切地感受到理論推導(dǎo)的價(jià)值。

4? ? 問(wèn)題的拓展

如果把上述問(wèn)題中的“豎立峭壁”變成其他形狀，比如傾斜的直線、圓、拋物線等，我們利用GeoGebra的運(yùn)算和繪圖功能進(jìn)行探究。

在GeoGebra 的繪圖窗口里，建立“滑動(dòng)條”a表示物體的初速度，v0=a，范圍設(shè)定為0到15，用來(lái)改變不同的初速度對(duì)應(yīng)的拋物線軌跡。

拋物線方程為y=■，在命令欄輸入該函數(shù)，獲得拋物線。如圖9左圖所示。

過(guò)縱軸y=5和橫軸x=7兩點(diǎn)作一傾斜線段表示斜坡，交拋物線于F點(diǎn)，提取F點(diǎn)的縱坐標(biāo)h，則物體在F點(diǎn)的動(dòng)能為Ek=mgh+■ma2。

設(shè)m=0.003 kg，相當(dāng)于一只乒乓球的質(zhì)量，g=10 m/s2。建立點(diǎn)M[x（F），Ek]，選擇M點(diǎn)的“開(kāi)啟追蹤”功能。拖動(dòng)滑塊a， M點(diǎn)隨之移動(dòng)并留下軌跡，如圖9右圖所示，軌跡是一條曲線，該曲線直觀地表示出不同初速度物體對(duì)應(yīng)的末動(dòng)能變化，曲線有最小值點(diǎn)。這里我們借助GeoGebra 探究問(wèn)題，減少了探究的難度，提高了探究的效率。

我們還可以改變“巖壁”的形狀為拋物線、半圓、四分之一圓，用上述方法進(jìn)行探究。

5? ? 軟件工具的功能和優(yōu)勢(shì)

在“探究拋體落到不同形狀的障礙物上的動(dòng)能最值問(wèn)題”案例中，如果僅僅有理論推導(dǎo)，學(xué)生缺少感性體驗(yàn)，對(duì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)也僅僅停留在較淺的層次。

Algodoo 中搭建的物件具有常見(jiàn)的物理屬性，如彈性、摩擦等，運(yùn)行的結(jié)果與真實(shí)仿真度極高，可以作為科學(xué)研究的工具。在本案例中，可以探究不同初速度條件下物體的下落和碰撞情境，還能輸出需要的各種數(shù)據(jù)，便于我們選擇研究，而整個(gè)設(shè)計(jì)過(guò)程是很快捷的，不需要編程。

GeoGebra 具有的計(jì)算和繪圖功能，能使問(wèn)題的拓展研究不再拘泥于理論推導(dǎo)，而是直觀的圖像處理，設(shè)計(jì)過(guò)程也十分便捷。

以上僅僅用到了Algodoo和GeoGebra軟件的少量功能，這些軟件的功能十分強(qiáng)大，需要我們進(jìn)一步去開(kāi)發(fā)和應(yīng)用。軟件工具的使用對(duì)學(xué)生未來(lái)的發(fā)展和將來(lái)從事科學(xué)研究是有幫助的。

參考文獻(xiàn)：

[1]喬永海，張曉爽.軟件工具與高中物理教學(xué)深度融合的探索[J].中小學(xué)數(shù)字化教學(xué)，2020（05）：83-85.

[2]喬永海.用GeoGebra繪制定質(zhì)量理想氣體的三維圖像[J].物理教學(xué)探討，2020，38（08）：48-50.

（欄目編輯? ? 王柏廬）