淺談材料力學中簡易法快速畫梁的剪力圖和彎矩圖

杜超凡 陶陽

[摘 要] 文章以作用于梁上的橫向分布力集度與剪力、彎矩的微分關系為基礎，歸納總結了幾種荷載作用下剪力圖、彎矩圖的特征。掌握這些特征就能不寫內力方程而根據(jù)外力直接畫出相應的剪力圖和彎矩圖。

[關鍵詞] 剪力圖;彎矩圖;微分關系;積分關系

[中圖分類號] G642.0? ?[文獻標識碼] A? ?[文章編號] 1674-9324（2021）04-0157-04? ? [收稿日期] 2020-08-13

一、引言

“材料力學”是工科學生的一門必修課，其中剪力圖和彎矩圖的繪制是本門課的重點也是難點，尤其對土木工程專業(yè)的學生而言尤為重要，也是后續(xù)課程“結構力學”的基礎。

教材[1-3]中介紹的繪制剪力圖和彎矩圖的方法主要有兩種：一種是用截面法寫剪力方程和彎矩方程，再根據(jù)所列方程作圖。寫剪力方程和彎矩方程的時候，要在外力荷載規(guī)律變化的截面進行分段，對于作用于梁上的荷載只有一種或兩種的情況，對截面分段較少，所以這種方法簡單、直觀。但若作用于梁上的荷載種類較多時，分段寫剪力方程和彎矩方程將是一個非常煩瑣的過程，而且極易出錯，所以這種方法使用較少。另一種方法是基于橫向分布力集度與剪力、彎矩的微分關系和積分關系，根據(jù)剪力圖和彎矩圖在外力荷載作用下的規(guī)律，由控制截面上的內力值連線即可，不用寫內力方程而直接畫出相應的內力圖。這種方法簡便、高效，也被稱為簡易法。該方法的關鍵是要能熟練掌握不同荷載作用下剪力圖和彎矩圖的特征。本文以橫向分布力集度與剪力、彎矩的微分關系為基礎，歸納總結了幾種荷載下內力圖的特征，具體講述如何利用這些特征用簡易法快速、高效、準確地畫剪力圖和彎矩圖。

二、橫向分布力集度與剪力、彎矩的微分關系

應用這些關系以及剪力圖和彎矩圖的規(guī)律，就能得到剪力圖和彎矩圖的一些特征（需要說明的是，以下彎矩圖特征都是以彎矩向下為正總結的）。

1.若某段梁上無分布荷載作用，即q（x）=0，剪力F為常數(shù)，剪力圖為平行于x軸的水平線;彎矩M為x的一次函數(shù)，彎矩圖為一條斜直線。根據(jù)該梁段兩端的彎矩值就能確定這條斜直線。

2.若某段梁上的有均布荷載作用，即q（x）為常數(shù)，則剪力F為x的一次函數(shù)，剪力圖為斜直線;彎矩M為x的二次函數(shù)，彎矩圖為二次拋物線。當q>0，剪力圖斜率為正，是增函數(shù)，所以上斜;彎矩圖斜率為增函數(shù)，所以為上凸的拋物線;當q<0，同樣的分析過程，剪力圖下斜，彎矩圖為下凸的拋物線。拋物線的凹凸方向關鍵看q的箭頭指向。q的箭頭指向哪里，拋物線就往哪凸。q箭頭向上，拋物線就上凸，箭頭向下，拋物線就下凸。在剪力F=0處，對應著拋物線的頂點，即彎矩的極值點。

3.若某截面有集中力作用，在集中力作用的截面剪力圖會發(fā)生突變，突變值為集中力大小，突變方向與集中力作用方向一致。若集中力作用方向向上，從左到右剪力圖就向上突變。當剪力發(fā)生突變但沒有改變符號，則彎矩圖斜率雖然發(fā)生了改變，但沒有變號，彎矩圖上會有向上的尖角，但這個尖點的彎矩值不是極值點;當剪力發(fā)生突變而且改變了符號，則彎矩圖斜率發(fā)生了改變，而且變了號，則彎矩圖上的尖點就是彎矩的極值點。若集中力作用方向向下，從左到右剪力圖就向下突變。彎矩圖會有向下的尖角，同理，只有剪力突變異號彎矩圖的尖角才是極值點。

4.若某截面有集中力偶作用，在集中力偶作用處對剪力圖無影響，彎矩圖在該截面會發(fā)生突變，突變值為該集中力偶的大小。突變方向從左向右順流而下，逆流而上，即順時針的集中力偶彎矩圖向下突變，逆時針的集中力偶彎矩圖向上突變。

5.自由截面以及鉸接處，若無集中力偶作用，則彎矩為零。

三、橫向分布力集度與剪力、彎矩的積分關系

四、舉例

外伸梁AB承受荷載如圖1所示，作該梁的剪力圖和彎矩圖。

1.由靜力平衡方程求C、B兩處的支反力。

2.畫剪力圖。從左到右畫，對于平衡問題，剪力從零開始，到零結束。A截面作用有向下的集中力，所以剪力圖要向下突變，從零開始，突變值3kN，AC段沒有分布荷載作用，q=0，剪力圖為水平線。C截面有向上的集中力作用，剪力圖向上突變，突變值為F的大小，所以到4.2kN。CD段有均布荷載作用，所以剪力圖是斜直線。D截面剪力值由截面法取右半部分析可得-3.8kN。DB段沒有分布荷載作用，剪力圖水平線。B截面有向上的集中力作用，所以剪力圖向上突變，突變值FB的大小，正好回到零點。如果這里沒有回到零點，說明支反力或控制截面的剪力值有誤，需檢查并修改，起到一個校核的作用。同時標明剪力的單位及正負號（圖2）。

3.畫彎矩圖。從左到右畫，對于平衡問題，剪力從零開始，到零結束。A截面是自由截面且沒有集中力偶作用，所以彎矩為零。C截面彎矩即AC段剪力圖面積得-3kN·m。AC段沒有分布荷載，彎矩圖是斜直線。CD段有均布荷載作用，彎矩圖拋物線。均布荷載箭頭向下，所以拋物線向下凸。畫拋物線通常選3個截面，分別是均布荷載的起端、末端及剪力為零處對應的彎矩值即拋物線頂點。由剪力圖可求得剪力為零處的位置，根據(jù)積分關系就能求得該處的彎矩值為1.41 kN·m，D截面左側彎矩值為-2.2 kN·m。D截面處有集中力偶作用，彎矩圖要發(fā)生突變。集中力偶的方向是順時針，順流而下，所以彎矩圖向下突變，突變值6 kN·m，突變到3.8 kN·m。DB段沒有分布荷載作用，所以彎矩圖是斜直線。B截面是鉸接處，沒有集中力偶作用，彎矩為零。標明彎矩的單位及正負號（圖3）。

五、總結

本文以橫向分布力集度與剪力、彎矩的微分關系為基礎，總結歸納了幾種荷載作用下剪力圖和彎矩圖的特征，具體講述了如何用簡易法畫內力圖。利用它們之間的積分關系，可由內力圖面積快速求出控制截面的內力值。掌握這些特征，就可以不用寫內力方程而根據(jù)外力直接畫出相應的內力圖，簡單、高效。

參考文獻

[1]鄧宗白，陶陽，吳永端.材料力學[M].北京：科學出版社，2013.

[2]劉鴻文.材料力學（Ⅰ）[M].北京：高等教育出版社，2011.

[3]孫訓方.材料力學[M].（第5版）北京：高等教育出版社，2009.