基于Toeplitz矩陣重構(gòu)的無人機(jī)相干信號(hào)DOA估計(jì)算法

曹聰慧 蘭強(qiáng) 侯群

（1.江漢大學(xué)人工智能學(xué)院；人工智能研究院，湖北 武漢 430056；2.東風(fēng)汽車財(cái)務(wù)有限公司，湖北 武漢 430056）

1 引言

近年來，無人機(jī)(UAV)等低空目標(biāo)急劇增加，UAV的成本逐漸降低，開發(fā)廠家增多，規(guī)模加大[1]。2016年艾瑞咨詢的報(bào)告預(yù)測(cè)到2025年國內(nèi)民用UAV有可能會(huì)形成750億人民幣的規(guī)模[2]。無人機(jī)在軍事作戰(zhàn)、航空攝影和錄像、測(cè)繪、搜索救援、環(huán)境監(jiān)測(cè)和精準(zhǔn)農(nóng)業(yè)等軍事和民用相關(guān)產(chǎn)業(yè)中都有巨大的應(yīng)用前景[3]。除了良性用途之外，UAV造成的危害和安全隱患也已經(jīng)逐漸引起了公眾的關(guān)注。對(duì)無人機(jī)的失控和漏檢可能會(huì)對(duì)軍事作戰(zhàn)、空中交通、人類生活和隱私構(gòu)成嚴(yán)重的威脅[4-6]。而無人機(jī)射頻檢測(cè)是被動(dòng)接收UAV本身發(fā)出的射頻信號(hào)，通過特征提取和信號(hào)分析，來對(duì)UAV進(jìn)行檢測(cè)和DOA估計(jì)。

目前，對(duì)于目標(biāo)檢測(cè)和DOA估計(jì)的研究較多。S.Jardak提出了一種新的多目標(biāo)射頻檢測(cè)方法，將天線陣列劃分為多個(gè)重疊集合，每個(gè)集合由四個(gè)天線組成，并提出兩種算法來組合多組輸出提高檢測(cè)性能，該算法能夠定位兩個(gè)目標(biāo)，并且二維角度估計(jì)都保持有較低的誤差[7]。Y.Fu等對(duì)調(diào)頻立體聲信號(hào)的結(jié)構(gòu)和模糊函數(shù)進(jìn)行了詳細(xì)分析，闡述了側(cè)峰被動(dòng)識(shí)別方法，該方法可以消除假目標(biāo)并被動(dòng)檢測(cè)出真實(shí)目標(biāo)[8]。文獻(xiàn)[9]利用從基站和客戶端設(shè)備發(fā)出的所有有用射頻信號(hào)實(shí)現(xiàn)被動(dòng)相干定位。H.Y.Zhao設(shè)計(jì)了用于多基站雷達(dá)射頻檢測(cè)的線性融合框架[10]。通過采用基于修正偏轉(zhuǎn)系數(shù)的優(yōu)化算法，確定了最佳加權(quán)系數(shù)，并對(duì)全局檢測(cè)器進(jìn)行了估計(jì)，得到了全局檢測(cè)器的近似表達(dá)式。文獻(xiàn)[11]基于廣義貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)開發(fā)了多檢測(cè)系統(tǒng)，該系統(tǒng)可用于聯(lián)合識(shí)別和估計(jì)目標(biāo)。文獻(xiàn)[12]利用DVB-T機(jī)會(huì)發(fā)射機(jī)，解決了多徑情景下的移動(dòng)目標(biāo)射頻檢測(cè)問題。Zaimbashi等人提出的一致最強(qiáng)大不變量測(cè)器來檢測(cè)機(jī)動(dòng)目標(biāo)射頻信號(hào)[13]。文獻(xiàn)[14]提出了一種球-時(shí)空-狀態(tài)空間稀疏大孔徑陣列模型，它結(jié)合了目標(biāo)范圍、方向和多普勒效應(yīng)以及陣列幾何結(jié)構(gòu)與擴(kuò)展卡爾曼濾波器一起被集成，可同時(shí)檢測(cè)多個(gè)射頻信號(hào)。

綜上，現(xiàn)有的射頻檢測(cè)算法主要側(cè)重于機(jī)會(huì)輻射源射頻信號(hào)的檢測(cè)和參數(shù)估計(jì)，而針對(duì)能自身輻射信號(hào)的UAV射頻檢測(cè)算法還相對(duì)較少。本文設(shè)計(jì)了基于Toeplitz矩陣重構(gòu)的無人機(jī)相干信號(hào)DOA估計(jì)算法，能夠?qū)AV進(jìn)行方向估計(jì)，準(zhǔn)確率較高。

2 陣列模型設(shè)計(jì)

若考慮有N個(gè)UAV射頻信號(hào)入射到如均勻圓陣模型中，陣元數(shù)為M，以圓心為參考點(diǎn)，前L個(gè)UAV信號(hào)相干，后N-L個(gè)UAV信號(hào)非相干。其中，第m個(gè)陣元收到的信號(hào)可表示為：

其中，si(t)是第i個(gè)UAV的復(fù)包絡(luò)，r是圓陣的半徑，r選擇UAV信號(hào)跳頻頻段2.4 GHz-2.5 GHz的中心頻率2.45 GHz對(duì)應(yīng)波長的一半，λi是第i個(gè)UAV信號(hào)中心頻率對(duì)應(yīng)的波 長，nm(t)為AWGN，其 方 差 是σ2，均 值 為0，βi，i=1,2,…,L為衰落系數(shù)。均勻圓陣收到的UAV信號(hào)矢量形式如下式表示：

其中，陣列流型可表示為：

其中，方向矢量a(θi,φi)可表示為：

上式不符合范德蒙德結(jié)構(gòu)。普通的均勻圓陣很難直接用于UAV信號(hào)的解相干，需要將較復(fù)雜的均勻圓陣使用模式激勵(lì)算法轉(zhuǎn)換為虛擬均勻線陣，構(gòu)建符合范德蒙德結(jié)構(gòu)的陣列流型，從而實(shí)現(xiàn)UAV信號(hào)的解相干。利用變換矩陣T對(duì)式(2)進(jìn)行變換可以表示為：

其中，變換矩陣T可以表示為：

而

其中，Jk(β)是km階第一類貝塞爾函數(shù)是模式激勵(lì)算法中的最大模式數(shù)。在滿足2h+1≤M條件下，經(jīng)過變換以后虛擬線陣流型矩陣如式(9)所示。

由此，上式符合范德蒙德的結(jié)構(gòu)形式，可使用該形式的陣列流型進(jìn)一步對(duì)UAV信號(hào)進(jìn)行解相干和DOA估計(jì)。經(jīng)矩陣變換后的虛擬線陣是K=2h+1個(gè)陣元組成的，陣元間距為d。

3 基于Toeplitz矩陣重構(gòu)的無人機(jī)相干信號(hào)DOA估計(jì)

由上節(jié)轉(zhuǎn)換后的陣列模型可看出，當(dāng)參考陣元是中間陣元時(shí)，虛擬線陣收到的信號(hào)如式(10)所示：

協(xié)方差矩陣可以表示為

其中，第km行、第kn列的元素可以表示為：

其中，

其中，是噪聲協(xié)方差，且：

為了對(duì)無人機(jī)信號(hào)解相干，需要重構(gòu)矩陣。故利用協(xié)方差矩陣第m行元素構(gòu)建Toeplitz矩陣Rp(?)，如式(17)所示：

可知，Rp(?)是(h+1)×(h+1)維矩陣，式(17)中Ar滿足范德蒙德結(jié)構(gòu)，該矩陣包含各個(gè)UAV信號(hào)的信息，若?i≠?j，則矩陣中各列互不相關(guān)，故rank(Ar)=N。而D(km)=diag(d1,d2,…,dN)，若 對(duì)角 陣 元素 都 不 為0，則 可 知rank(D(km))=N，因此可對(duì)UAV信號(hào)進(jìn)行解相干。同時(shí)也用第kn列元素構(gòu)建Toeplitz矩陣Rq(?)，可以表示為：

同樣，上式中的A?r也符合范德蒙德結(jié)構(gòu)形式，該矩陣也包含各個(gè)UAV信號(hào)的信息，A?r和D(kn)的秩也為N。為了更精確地估計(jì)DOA，這里根據(jù)Toeplitz矩陣的性質(zhì)，對(duì)上述協(xié)方差矩陣做一定變形，使用整個(gè)協(xié)方差矩陣對(duì)UAV方向做估計(jì)，如下式所示：

設(shè)計(jì)了一種新協(xié)方差矩陣形式，如下式所示：

可看出，該算法在對(duì)角矩陣秩不變的基礎(chǔ)上，做了整體平滑，既能對(duì)UAV信號(hào)解相干，又能減輕噪聲影響，從而能有效增加DOA估計(jì)精度。接下來通過對(duì)解相干后的協(xié)方差矩陣做特征分解，解算出其兩種子空間矩陣，然后利用子空間算法來對(duì)UAV信號(hào)進(jìn)行高分辨率的二維DOA估計(jì)。

4 性能仿真

假設(shè)空間內(nèi)有3個(gè)入射的UAV信號(hào)，其中信號(hào)1和信號(hào)2為具有相同中心頻率的相干信號(hào)，其中心頻率都為2.42 GHz，波 達(dá) 方 向 角?1和?2分 別 為(θ1,φ1)=(81°,149°)和(θ2,φ2)=(84°,152°)。而信號(hào)3為獨(dú)立于信號(hào)1和信號(hào)2的信號(hào)，其的中心頻率為2.46 GHz，俯仰與方位角是83°與30°快拍數(shù)是1000，SNR是5dB。7陣元數(shù)虛擬線陣在進(jìn)行完Toeplitz矩陣重構(gòu)與特征分解之后的空間譜如圖1所示，其中，方位角采樣間隔是0.5°，其的采樣范圍是0°～360°，俯仰角采樣間隔是0.5°，其采樣范圍是45°～90°。

可看出，該算法可實(shí)現(xiàn)對(duì)相干UAV信號(hào)的二維DOA估計(jì)，估計(jì)出的三個(gè)UAV信號(hào)的俯仰角為80.4 °、84.5 °和83.2 °，方位角分別為150.1 °、152.4 °和30.3 °，此次實(shí)驗(yàn)的UAV信號(hào)二維DOA估計(jì)誤差小于等于1.1 °。圖2為不同信噪比下，兩種算法的均方根誤差，可見，均方根誤差隨著信噪比的增加而逐漸降低，并且，提出的算法的性能要優(yōu)于FBSS算法。

圖2 兩種算法的精度性能

5 結(jié)語

本文建立了7陣元數(shù)虛擬線陣模型，無人機(jī)相干信號(hào)作為入射的射頻信號(hào)，據(jù)無人機(jī)信號(hào)的特點(diǎn)，通過對(duì)協(xié)方差矩陣進(jìn)行Toeplitz矩陣重構(gòu)，提出了基于Toeplitz矩陣重構(gòu)的無人機(jī)相干信號(hào)DOA估計(jì)算法，并實(shí)現(xiàn)了對(duì)無人機(jī)信號(hào)的二維DOA估計(jì)，最后仿真并分析了該算法的性能。仿真分析表明本文方法的DOA估計(jì)準(zhǔn)確率較高，性能較好。