基于鉆孔高壓壓水試驗(yàn)非線性流模擬計(jì)算錯(cuò)動帶滲透參數(shù)*

周志芳 王 哲 李雅冰 沈 琪 李思佳 陳 朦

(①河海大學(xué)地球科學(xué)與工程學(xué)院，南京 211100，中國)(②生態(tài)環(huán)境部南京環(huán)境科學(xué)研究所，南京 210042，中國)

0 引 言

在工程項(xiàng)目建設(shè)過程中，往往需要開展大量水文地質(zhì)、工程地質(zhì)工作，為工程設(shè)計(jì)及安全施工提供決策依據(jù)(王洪波等，2018)。其中：壓水試驗(yàn)已被廣泛應(yīng)用于巖土工程、水利水電工程和采礦工程等工程項(xiàng)目中(黃震等，2014;楊志斌等，2018)，隨著我國高壩樞紐工程和高水頭電站的興建，工程地質(zhì)問題愈發(fā)突出(王啟國等，2018;趙偉華等，2018)，高壓壓水試驗(yàn)變得愈加重要。由于高壓壓水試驗(yàn)過程中會施加很高的水壓力，且往往伴隨著很大的滲流速度，這種情況下很容易出現(xiàn)非線性滲流。目前，生產(chǎn)實(shí)踐中主要根據(jù)達(dá)西流公式計(jì)算水文地質(zhì)參數(shù)，該方法不能滿足高水頭、高流速環(huán)境下的工程需要(黃勇等，2013)，因此非常有必要對高壓壓水試驗(yàn)過程中出現(xiàn)的非線性滲流展開研究。

目前為止，F(xiàn)orchheimer方程和Izbash方程已被廣泛應(yīng)用于描述非線性滲流運(yùn)動，前者有明確的理論基礎(chǔ)和物理意義(Whitaker，1996)；后者為經(jīng)驗(yàn)公式。兩種方程均能較好地表征非線性滲流運(yùn)動(Chen et al.，2015)。很多學(xué)者對非線性滲流情況下的壓水試驗(yàn)進(jìn)行了研究(孟如真等，2014;畢宏偉等，2018;黃勇等，2018)。Quinn et al.(2011,2020)注意到壓水試驗(yàn)過程中可能出現(xiàn)的兩種非線性滲流運(yùn)動，并提出了一種基于雷諾數(shù)的方法來提高非線性情況下滲透系數(shù)計(jì)算結(jié)果的可靠度。Zhang et al.(2013)開展了不同圍壓條件下裂隙巖體內(nèi)非線性滲流試驗(yàn)，研究表明兩種非線性方程均能很好地描述試驗(yàn)過程中出現(xiàn)的非線性滲流規(guī)律，并量化了非線性系數(shù)b。劉明明等(2016)對現(xiàn)行規(guī)范公式進(jìn)行了拓展，建立了基于Forchheimer方程的裂隙巖體非線性參數(shù)計(jì)算公式。Zhou et al.(2018)結(jié)合現(xiàn)場試驗(yàn)，研究總結(jié)了高壓壓水試驗(yàn)的典型類型曲線，通過考慮不同的P-Q曲線來確定適當(dāng)?shù)臐B透系數(shù)。周志芳等(2020a)將線性流情況下滲透系數(shù)K的倒數(shù)作為非線性系數(shù)a，在此基礎(chǔ)上提出一種非線性系數(shù)b的計(jì)算方法，但這種確定a的方法可能存在一些問題。以上研究都是在穩(wěn)定流的前提下，這些方法往往不能充分利用試驗(yàn)過程中的全部數(shù)據(jù)，無法反映試驗(yàn)過程中任意時(shí)刻下水頭和流速的變化情況，因此求得的參數(shù)存在一定的局限性。

對于非穩(wěn)定非線性滲流也有一些學(xué)者進(jìn)行了研究。Wen et al.(2008a，2008b，2009，2013)充分研究了定流量抽水試驗(yàn)情況下非穩(wěn)定非線性滲流的解析解與數(shù)值解，包括有無滲漏、完整井與非完整井等各種邊界條件，并進(jìn)行了理論分析。Wang et al.(2015)基于Izbash公式推導(dǎo)了微水試驗(yàn)的非穩(wěn)定非線性流數(shù)值解，在此基礎(chǔ)上研究了試驗(yàn)過程中非線性參數(shù)對水頭的影響。Li et al.(2020)基于Izbash公式得到了變流量情況下非穩(wěn)定非線性流的數(shù)值解，并對參數(shù)的敏感性進(jìn)行了分析。這些非穩(wěn)定非線性流的研究大都基于定流量或變流量抽水試驗(yàn)，而對于高壓壓水試驗(yàn)情況下階梯水頭的非穩(wěn)定非線性研究鮮有報(bào)道。

綜上所述，盡管對于高壓壓水試驗(yàn)的非線性參數(shù)的計(jì)算方法已有一定程度的研究，但仍存在一些不足。本文基于Forchheimer方程建立了基于高壓壓水試驗(yàn)的階梯水頭非穩(wěn)定非線性滲流數(shù)學(xué)模型，并通過有限差分的方法得到其數(shù)值解，進(jìn)一步對非線性參數(shù)進(jìn)行了討論，在此基礎(chǔ)上結(jié)合工程實(shí)例反演得到錯(cuò)動帶的非線性參數(shù)，對該方法進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 參數(shù)確定的原理

1.1 高壓壓水試驗(yàn)的滲流模型及其數(shù)值解

現(xiàn)場高壓壓水試驗(yàn)系統(tǒng)如圖1所示。在鉆孔內(nèi)施加階梯壓力的水頭，會形成一個(gè)倒置的降落漏斗。有如下假定：該系統(tǒng)中錯(cuò)動帶均質(zhì)各向同性，厚度處處相等、保持不變，產(chǎn)狀水平且側(cè)向無限延伸；錯(cuò)動帶中的滲流為非線性流且流向是水平的；試驗(yàn)前天然狀態(tài)下潛水面保持水平，且該系統(tǒng)為完整井并以階梯壓力注水。根據(jù)以上假設(shè)條件，高壓壓水試驗(yàn)過程中地下水運(yùn)動的數(shù)學(xué)模型為：

圖1 高壓壓水試驗(yàn)系統(tǒng)示意圖Fig.1 The schematic diagram of high-pressure packer test system

(1)

h(r，0)=0

(2)

h(∞，t)=0

(3)

h(rw，t)=H(t)

(4)

式中：r為徑向距離(m)；t為壓水時(shí)間(min)；v(r，t)為t時(shí)刻徑向距離r處的流速(m·min-1)；h(r，t)為t時(shí)刻徑向距離r處的水頭(m)；μ*為錯(cuò)動帶的儲水系數(shù)；M為錯(cuò)動帶的厚度(m)；rw為鉆孔半徑(m)；H(t)為階梯水頭(m)，可由h=Δp/γw換算得到，其中，γw為水的容重，即1MPa的壓強(qiáng)可近似等于100m的水頭h。

由于高壓壓水試驗(yàn)過程中，壓水孔附近有很高的水頭和滲流速度，這種情況下往往會出現(xiàn)非線性滲流，因此可采用非線性方程進(jìn)行表征。因?yàn)镮zbash方程為經(jīng)驗(yàn)公式，且在描述徑向非線性流問題上有一定局限(Wen et al.，2011)，而Forchheimer方程具有明確的物理意義，所以本文采用后者來描述高壓壓水試驗(yàn)過程中的非線性滲流，F(xiàn)orchheimer方程可表示為：

(5)

式中：β和k均為非線性參數(shù)，其中，β表示非線性流中的慣性系數(shù)(min·m-1)，k可表示錯(cuò)動帶的表觀滲透系數(shù)(m·min-1)。值得注意的是，當(dāng)β等于0時(shí)，式(5)即為達(dá)西定律，此時(shí)k就等于錯(cuò)動帶的滲透系數(shù)。

本文采用有限差分的方法對方程求解，首先在空間r上進(jìn)行離散化，使用足夠大的徑向距離re來近似表示無窮遠(yuǎn)，即當(dāng)r=re時(shí)，此處的水位變化約等于0。設(shè)節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為N，對空間域[rw，re]進(jìn)行離散，ri表示第i個(gè)節(jié)點(diǎn)處的徑向距離，rw

ri=(ri-1/2+ri+1/2)/2，i=1，2，…，N

(6)

由圖1可知，在壓水井附近的水位變化較大，距離壓水井越遠(yuǎn)則水位變化越小，這種情況下需要在水位變化大的地方設(shè)置更加密集的差分網(wǎng)格，采用取對數(shù)的方式，有：

i=0，1，…，N

(7)

控制方程式(1)的差分格式為：

i=1，2，…，N

(8)

式中：hi和vi分別為在節(jié)點(diǎn)i處的水頭和流速。根據(jù)式(5)可解得流速的表達(dá)式為：

(9)

用差商近似代替導(dǎo)數(shù)，可得：

i=2，3，…，N

(10)

i=1，2，…，N-1

(11)

在邊界處的表達(dá)式為：

(12)

(13)

將式(10)～式(13)代入式(8)，可以得到常微分方程式(8)的求解格式。當(dāng)式中的各項(xiàng)參數(shù)已知，可通過Matlab軟件進(jìn)行編程求解任意時(shí)刻和徑向距離處的水頭及流速值。若已知試驗(yàn)觀測數(shù)據(jù)，則可通過配線法或反演方法對參數(shù)進(jìn)行求解，由于配線法過程中匹配點(diǎn)的選取存在一定的人為誤差，在后文實(shí)例應(yīng)用中將采用反演求參的方法。

1.2 非線性參數(shù)的討論

求解上述問題過程中需要的水文地質(zhì)參數(shù)主要有非線性參數(shù)β和k及錯(cuò)動帶的儲水系數(shù)μ*，有學(xué)者研究表明(Sen，1989)，非線性滲流對錯(cuò)動帶的儲水系數(shù)μ*幾乎沒有影響，且μ*的變化范圍一般在1×10-3～1×10-5之間，所以后文中主要針對非線性參數(shù)β和k進(jìn)行討論。為方便討論，現(xiàn)對上述公式中的變量進(jìn)行假設(shè)賦值，如表1所示。給定的高壓壓水試驗(yàn)階梯水頭壓力值如圖2所示。

表1 變量賦值表Table 1 Variable assignment table

圖2 高壓壓水試驗(yàn)過程中的壓力假定值Fig.2 The assumed pressure schedule of the packer test

非線性參數(shù)β和k對水頭和流速變化的影響如圖3、圖4所示。為驗(yàn)證本文數(shù)值解的準(zhǔn)確性，取β=0將上述數(shù)值解退化為達(dá)西流情況下的解，并與定水頭注水條件下的達(dá)西流解析解進(jìn)行比較(Jacob et al.，1952)，如圖3a所示?？梢妰煞N方法的計(jì)算結(jié)果基本一致，說明本文中的數(shù)值解是可靠的。

圖3 非線性參數(shù)β和k對水頭變化的影響Fig.3 The influence of nonlinear parameters β and k on the change of water heada.β對水頭變化的影響；b.k對水頭變化的影響

由于高壓壓水試驗(yàn)過程具有施加階梯水壓的特點(diǎn)，在升壓時(shí)間節(jié)點(diǎn)前后任意徑向距離處的水頭具有明顯的跳躍式增加，隨后緩慢增加最終趨于穩(wěn)定，且β或k越大其突變增量越小。由圖3a可知，當(dāng)r和k保持不變時(shí)，在某一壓力階段情況下，隨著β的增加，該徑向距離處的水頭逐漸減小，這是因?yàn)棣略龃笫沟妹棵姿^變化所需的時(shí)間增加，且β越大將會使得高壓壓水試驗(yàn)更早地接近穩(wěn)定狀態(tài)(圖4a)，所以較大的β會導(dǎo)致整個(gè)高壓壓水試驗(yàn)期間的水頭總體減小。由圖3b可知，當(dāng)r和β保持不變時(shí)，在某一壓力階段情況下，k越大同樣會導(dǎo)致試驗(yàn)期間的水頭變化越小，可通過式(5)進(jìn)行解釋，β和v保持不變的情況下，k越大則說明水力梯度越小，進(jìn)而對應(yīng)位置處的水頭也越小。另外，從圖3b中還可以看出，k越大，試驗(yàn)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)所需的時(shí)間也越短。

圖4 非線性參數(shù)β和k對流速變化的影響Fig.4 The influence of nonlinear parameters β and k on the change of flow velocitya.β對流速變化的影響；b.k對流速變化的影響

總體來看，圖4中流速的變化與圖3中水頭的變化有相似之處，整個(gè)高壓壓水試驗(yàn)過程中，在升壓時(shí)間節(jié)點(diǎn)前后任意徑向距離處的流速同樣有明顯的跳躍式增加，隨后逐漸減小最終趨于穩(wěn)定，且β越大或k越小其突變增量越小。在某一壓力階段情況下，從圖4a中可以看出，當(dāng)k和r保持不變時(shí)，試驗(yàn)過程中的流速v隨β的增加而減??；同樣地，從圖4b中可以看出，當(dāng)β和r保持不變時(shí)，試驗(yàn)過程中的流速v隨k的增大而增大。非線性參數(shù)β和k對流速的影響均可通過式(5)進(jìn)行解釋，k和?h/?r不變的情況下β增大會導(dǎo)致流速v減小，β和?h/?r不變的情況下k增大會導(dǎo)致流速v增大。綜上所述，如果不考慮試驗(yàn)過程中非線性參數(shù)的影響，仍按照達(dá)西流公式進(jìn)行計(jì)算，將無法得到合適的水文地質(zhì)參數(shù)，將會高估錯(cuò)動帶中的水頭，進(jìn)而高估結(jié)構(gòu)面抵抗?jié)B透破壞的能力，最終對工程穩(wěn)定性產(chǎn)生影響。

2 工程實(shí)例

以白鶴灘水電站壩址區(qū)為例，選定白鶴灘水電站壩址區(qū)兩側(cè)山體內(nèi)的C2層間錯(cuò)動帶為對象進(jìn)行現(xiàn)場高壓壓水試驗(yàn)，對本文給出的方法進(jìn)行驗(yàn)證并確定該錯(cuò)動帶的非線性參數(shù)。

2.1 工程概況

壩址區(qū)兩側(cè)山體內(nèi)的玄武巖中廣泛發(fā)育有緩傾角、貫穿性的層間錯(cuò)動帶，且部分錯(cuò)動帶位于水庫蓄水位以下，對地下廠房滲漏和壩址區(qū)整體滲透穩(wěn)定性有直接影響(周志芳等，2020b)。白鶴灘水電站地下廠房開挖后，進(jìn)一步證實(shí)壩址區(qū)水文地質(zhì)條件復(fù)雜，亟需對錯(cuò)動帶的水文地質(zhì)參數(shù)進(jìn)行研究。C2錯(cuò)動帶主要出露于左岸廠房主變交通洞和截滲洞，錯(cuò)動帶因構(gòu)造錯(cuò)動而形成，其內(nèi)部物質(zhì)成層性較為明顯。地下水侵蝕形成次生泥，厚度1～4cm，錯(cuò)動帶內(nèi)物質(zhì)較為破碎和松散，多發(fā)育有巖屑夾泥和碎礫，其中巖屑寬度1～12cm，碎粒寬度5～50cm。由于夾泥和巖屑夾泥多近水平方向發(fā)育，垂直結(jié)構(gòu)面方向上的透水性減弱，同時(shí)由于上下兩盤圍巖較為破碎，破碎帶寬度多形成節(jié)理或劈理構(gòu)造，透水性增強(qiáng)，因此圍巖裂隙常見滴水或線狀流水。以左岸廠房C2截滲洞處錯(cuò)動帶為例，其出露情況如圖5所示，可見其出露展布起伏變化較大，總體厚度為20～40cm，各充填物在錯(cuò)動帶中的成層狀特征不明顯，部分錯(cuò)動帶中含有巖塊透鏡體。錯(cuò)動帶中夾泥含量較少，巖屑和碎礫發(fā)育較為緊密堅(jiān)硬，黏土含量較低。

圖5 左岸廠房C2截滲洞C2錯(cuò)動帶照片及示意圖Fig.5 The photo and schematic diagram of C2 staggered zone at the interception tunnel of the left bank planta.C2錯(cuò)動帶照片；b.C2錯(cuò)動帶示意圖

2.2 試驗(yàn)方案及數(shù)據(jù)

本文選擇揭露了C2錯(cuò)動帶的CZK57鉆孔組進(jìn)行高壓壓水試驗(yàn)，鉆孔組位于左岸尾閘通氣兼安全洞，鉆孔采用水鉆鉆進(jìn)工藝，共計(jì)完成3個(gè)試驗(yàn)孔，孔口地面高程為636.6m，相應(yīng)的試驗(yàn)孔編號依次為CZK57-0、CZK57-1、CZK57-2。鉆孔完成鉆進(jìn)后，采用高壓清水進(jìn)行洗孔處理，并對鉆孔內(nèi)情況進(jìn)行鉆孔電視記錄。根據(jù)鉆孔電視記錄和鉆孔巖芯編錄成果，鉆孔中C2錯(cuò)動帶出露深度及各鉆孔位置如圖6所示。

圖6 CZK57鉆孔組布置及剖面示意圖Fig.6 The layout and profile diagram of CZK57 boreholea.CZK57鉆孔現(xiàn)場布置圖；b.CZK57鉆孔布置剖面圖

將CZK57-1作為壓水孔，其余兩個(gè)鉆孔作為觀測孔。高壓壓水試驗(yàn)采用梯級升壓法，針對該次試驗(yàn)制定了4級壓力的試驗(yàn)規(guī)程，即0.5MPa(80min)→0.7MPa(80min)→1MPa(80min)→1.5MPa(83min)，按照該過程逐級升壓。為保證施加的水壓能全部作用在錯(cuò)動帶內(nèi)，鉆孔清洗完畢后、試驗(yàn)開始前在錯(cuò)動帶附近安裝了止水栓塞。試驗(yàn)過程中，采用流量表和全自動壓力探頭分別記錄試驗(yàn)孔處的流量和壓力等數(shù)據(jù)，試驗(yàn)結(jié)果如圖7所示。由圖7可見，升壓時(shí)間節(jié)點(diǎn)前后試驗(yàn)孔處流量有明顯的跳躍式增加，各級壓力階段下試驗(yàn)孔內(nèi)的流量呈減小趨勢且減小的速率也越來越小，最終趨于穩(wěn)定，試驗(yàn)結(jié)果與前文中理論分析部分相吻合。

圖7 高壓壓水試驗(yàn)過程中流量及壓力變化情況(CZK57-1)Fig.7 The changes of flow rate and pressure during the packer test(CZK57-1)

2.3 非線性參數(shù)的確定

根據(jù)高壓壓水試驗(yàn)結(jié)果可以反演得到C2錯(cuò)動帶的非線性參數(shù)，本文以PEST反演為例進(jìn)行介紹，PEST參數(shù)估計(jì)方法的基礎(chǔ)為Marquardt-Levenberg算法，其原理為將模型計(jì)算值與實(shí)測值的誤差建立為差異函數(shù)，將參數(shù)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為求取目標(biāo)函數(shù)最小值的問題。操作步驟如下，首先要處理實(shí)測數(shù)據(jù)，由于觀測值為壓水孔處的流量Q(L·min-1)，應(yīng)將其換算為流速v，根據(jù)v=Q/(2πrwM)可換算得到井徑處的流速，并將觀測值保存至數(shù)據(jù)文件。其次，需要獲得模型計(jì)算值，用Matlab編寫由式(8)及式(10)～式(13)組成的數(shù)值解求解程序，進(jìn)而可以計(jì)算得到估計(jì)值。然后，編寫PEST程序計(jì)算所需的模板文件、控制文件和指令文件，其中控制文件是PEST的核心，應(yīng)在該文件中設(shè)置好待優(yōu)化參數(shù)個(gè)數(shù)、初始參數(shù)取值和優(yōu)化參數(shù)的取值范圍等信息。最后運(yùn)行PEST程序進(jìn)行參數(shù)反演，可以得到最優(yōu)的參數(shù)結(jié)果。計(jì)算過程中涉及到的常量與表1內(nèi)數(shù)值相同，設(shè)定β和k的初始值分別為2.0min·m-1和1.0×10-2m·min-1，取值范圍分別為[1.0×10-3，1.0×103]min·m-1和[1.0×10-4，10.0]m·min-1，反演及擬合結(jié)果如圖8所示。

圖8 試驗(yàn)孔流量觀測值與擬合結(jié)果Fig.8 The measured flow rate of the test borehole and the fitting results

在上述給定參數(shù)初值和取值范圍內(nèi)，經(jīng)PEST反演后得到C2錯(cuò)動帶非線性參數(shù)β=1.62 min·m-1，k=9.60×10-3m·min-1，其擬合相關(guān)系數(shù)r2=0.9748，結(jié)果表明高壓壓水試驗(yàn)過程中錯(cuò)動帶內(nèi)的確發(fā)生了非線性滲流，且本方法能得到較好的計(jì)算結(jié)果。從圖8可以看出，擬合曲線與實(shí)際觀測值具有相似的變化規(guī)律，擬合效果較好，局部曲線會與實(shí)測數(shù)據(jù)有一些偏離，可能的原因?yàn)椋含F(xiàn)場試驗(yàn)的地質(zhì)條件往往比較復(fù)雜，較高的水壓力會帶走錯(cuò)動帶內(nèi)一部分充填物，透水介質(zhì)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)會發(fā)生一定的變化，則其滲透系數(shù)或非線性參數(shù)會發(fā)生改變，通常情況下透水介質(zhì)的滲透性會增大，使得實(shí)測流速v增大，進(jìn)而導(dǎo)致擬合曲線與實(shí)測數(shù)據(jù)有一些偏差，在后兩個(gè)壓力階段實(shí)測流速v略高于估計(jì)值，但總體上來看反演及擬合結(jié)果是可靠的。

將本文反演得到的k、β?lián)Q算成周志芳等(2020a)中的a，b分別為a=1/k=62.5s·cm-1，b=β/k=60.8s2·cm-2，結(jié)果與該文獻(xiàn)方法確定的非線性參數(shù)的幾何平均值a=43.36s·cm-1、b=30.63s2·cm-2比較接近，由于該文獻(xiàn)方法是預(yù)設(shè)的a值，然后根據(jù)4個(gè)壓水階段的流量穩(wěn)定值計(jì)算求得b，而本文方法利用了整個(gè)試驗(yàn)過程中的所有流量數(shù)據(jù)點(diǎn)(圖8)，因此本文方法得到參數(shù)結(jié)果更加精確、可靠。

3 結(jié) 論

本文采用有限差分的方法得到了高壓壓水試驗(yàn)情況下錯(cuò)動帶中非線性滲流的數(shù)值解，在此基礎(chǔ)上分析了非線性參數(shù)對水頭和流速的影響，并結(jié)合現(xiàn)場高壓壓水試驗(yàn)反演得到了錯(cuò)動帶的非線性參數(shù)。主要結(jié)論如下：

(1)將本文得到的數(shù)值解(取β=0)與定水頭注水條件下的達(dá)西流解析解進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)兩種方法的計(jì)算結(jié)果基本一致，可以說明本文數(shù)值解是準(zhǔn)確可信的。

(2)由于高壓壓水試驗(yàn)施加階梯水壓的特點(diǎn)，在升壓時(shí)間節(jié)點(diǎn)前后水頭h和流速v均有明顯的跳躍式增加，隨后逐漸趨于穩(wěn)定。當(dāng)非線性參數(shù)k和徑向距離r保持不變時(shí)，非線性參數(shù)β越大則整個(gè)高壓壓水試驗(yàn)過程中的水頭h和流速v都越小；當(dāng)非線性參數(shù)β和徑向距離r保持不變時(shí)，k越大則整個(gè)高壓壓水試驗(yàn)過程中的水頭h越小、流速v越大。另外在高壓壓水試驗(yàn)情況下，較大的β和k均會使得試驗(yàn)?zāi)芨斓剡_(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。

(3)白鶴灘水電站現(xiàn)場高壓壓水試驗(yàn)驗(yàn)證表明，試驗(yàn)過程中錯(cuò)動帶內(nèi)的確存在非線性滲流，且根據(jù)本文推導(dǎo)的非線性流數(shù)值解，采用PEST反演的方法能得到較好的計(jì)算及擬合結(jié)果，該方法利用了整個(gè)試驗(yàn)過程中的所有流量數(shù)據(jù)點(diǎn)，因此得到參數(shù)結(jié)果更加精確、可靠。白鶴灘水電站C2錯(cuò)動帶的非線性參數(shù)β=1.62min·m-1，k=9.60×10-3m·min-1。