小樣本巖土參數(shù)下土質(zhì)邊坡可靠度分析的條件概率法*

蔣良濰 趙 晶 羅 強 張文生③ 熊衛(wèi)平 孔德惠

(①西南交通大學(xué)，土木工程學(xué)院，成都 610031，中國)(②高速鐵路線路工程教育部重點實驗室，成都 610031，中國)(③新加坡國立大學(xué)，土木與環(huán)境工程系，新加坡 117576，新加坡)

0 引 言

作為巖土工程的重要分支，邊坡穩(wěn)定性分析一直備受關(guān)注(介玉新等，2017；葉帥華等，2018；蘇永華等，2019)。邊坡穩(wěn)定性評價中，傳統(tǒng)的安全系數(shù)法將巖土參數(shù)作為定值，并取大于1的經(jīng)驗性穩(wěn)定安全系數(shù)來應(yīng)對各類不確定性的綜合影響，難以客觀地表征邊坡安全性。自20世紀(jì)70年代始，更嚴(yán)密的可靠度分析方法被引入到邊坡工程中(Wu et al.，1970；楊繼紅等，2007；鄭亞楠等，2014；王飛等，2016)，這類方法基于概率統(tǒng)計及隨機過程理論，采用隨機變量描述不確定性因素的概率特征，以可靠指標(biāo)β或破壞概率Pf度量邊坡的安全程度。

邊坡可靠度分析中，對基本變量及計算模型等均考慮不確定性，根據(jù)其來源主要可歸為物理不確定性、模型不確定性和統(tǒng)計不確定性三方面(祝玉學(xué)，1993)。其中，物理不確定性反映巖土物理力學(xué)指標(biāo)的固有離散性及土工參數(shù)間的相互影響；模型不確定性來源于邊坡穩(wěn)定分析模型中對力學(xué)計算和邊界條件的簡化；而統(tǒng)計不確定性主要由于樣本數(shù)量有限引起，體現(xiàn)為樣本統(tǒng)計值隨不同抽樣批次而變化，在小樣本條件下此類問題更為突出。

但相對而言，巖土體的物理不確定性較大(Wu et al.，1970)，且土工參數(shù)多由小樣本勘察統(tǒng)計獲得，樣本估計值會對總體參數(shù)有所偏離，呈現(xiàn)“信息不完備性”的隨機誤差影響。若仍采用將樣本估計值直接代入到可靠度分析(文中簡稱“直接代入法”)，則參數(shù)估計環(huán)節(jié)的隨機誤差將向后續(xù)的可靠度計算環(huán)節(jié)傳遞，分析結(jié)果相應(yīng)會出現(xiàn)圍繞可靠度真值隨機偏離的不確定性現(xiàn)象。

1 可靠度分析條件概率法

1.1 統(tǒng)計不確定性對巖土可靠度分析結(jié)果的影響

適當(dāng)增加勘察取樣數(shù)目即樣本容量n，是減小統(tǒng)計不確定性的常用途徑。從控制可靠度計算結(jié)果離散性角度，Babu et al.(2003)與譚曉慧等(2008)分別基于巖土參數(shù)正態(tài)分布假設(shè)，根據(jù)參數(shù)的物理變異性水平，分析了不同樣本數(shù)目對滑坡破壞概率或可靠指標(biāo)的影響；吳振君等(2013)與趙晶等(2016)采用不同取樣數(shù)目進行計算機隨機抽樣來模擬獲取勘查取樣試驗數(shù)據(jù)，分別討論了軟土和普通土邊坡的合理樣本數(shù)目取值。

但工程實際中限于條件或經(jīng)濟性，勘察資料仍多屬于小樣本數(shù)據(jù)(勘察取樣數(shù)目最低甚至僅為n=6)，在這種“信息不完備”既有條件下，盡可能改善可靠度計算結(jié)果的可信度，有助于巖土工程可靠度分析的進一步應(yīng)用。

1.2 基于條件概率原理的可靠度分析改進方法

(1)

圖1 有限樣本估計總體均值的偏差及其發(fā)生概率Fig.1 Error and occurrence probability for the estimation of population mean based on limited samples

(2)

式中：P(·)為事件的發(fā)生概率；A為邊坡失穩(wěn)事件；Bi為μ*的不同取值事件。

具體計算中，須對連續(xù)型的概率密度曲線g(T)作離散化處理。根據(jù)偏差d的大小，將g(T)劃分為多個毗鄰子區(qū)間，g(T)曲線在各子區(qū)間內(nèi)所圍面積即估計偏差d的發(fā)生概率P(Bi)，其表示取不同假想總體的發(fā)生概率。對應(yīng)地，設(shè)假想總體的參數(shù)取值共有m種可能性，將g(T)離散化為m個毗鄰區(qū)間，破壞概率P(A)即可按全概率式(2)進行加權(quán)求和。

條件概率法的邏輯結(jié)構(gòu)及與傳統(tǒng)“直接代入法”(將樣本估計值直接代入可靠度分析)的對比見圖2。

圖2 條件概率法流程圖Fig.2 Flow chart of conditional probability method

1.3 可靠度條件概率法計算流程

1.3.1 樣本平均值與方差計算

1.3.2 總體參數(shù)取值發(fā)生概率P(Bi)計算

圖3 估計偏差的概率密度函數(shù)子區(qū)間劃分Fig.3 Subinterval division of the probability density function of estimation error

表1 t分布子區(qū)間劃分Table 1 Subinterval division of the t distribution

1.3.3 基于全概率公式的邊坡破壞概率P(A)計算

由c、φ相互獨立，事件Bcj、Bφk同時發(fā)生(即事件BcjBφk發(fā)生)的可能性共有m1×m2種，事件BcjBφk的取值發(fā)生概率P(BcjBφk)=P(Bcj)·P(Bφk)。此時，采用事件BcjBφk對應(yīng)的總體參數(shù)(μcj，σcj)、(μφk，σφk)計算得到的邊坡失效概率P(A|BcjBφk)，即為事件BcjBφk下的條件概率?；谑?2)，c、φ雙獨立變量參數(shù)條件下，邊坡破壞概率P(A)由式(3)計算。

(3)

式中：Bcj、Bφk為c、φ各自取不同總體均值事件。

2 條件概率法算例分析

2.1 樣本隨機抽樣模擬及可靠度結(jié)果空間構(gòu)建

通過勘探取樣獲取強度指標(biāo)可看作從總體中隨機抽取樣本。為驗證條件概率法對減小可靠度計算結(jié)果不確定性的效果，采用計算機隨機抽樣模擬法(吳振君等，2013；趙晶等，2016)進行給定樣本數(shù)目的分批抽樣，得到不同抽樣批次下的樣本值，通過充足批次抽樣及相應(yīng)可靠度計算，構(gòu)建計算結(jié)果空間，對比條件概率法和傳統(tǒng)直接代入法所得結(jié)果空間數(shù)據(jù)點的離散分布特征。

2) 根據(jù)所提出的循環(huán)迭代算法及通過三維掃描儀對復(fù)雜腔體表面進行反求建模實驗研究，獲得與零件表面相一致的三維實體模型，其效率大大高于三坐標(biāo)測量儀，并可以對原產(chǎn)品的破損處進行修復(fù)、提取需加工的三維曲面模型。

為考察兩種方法計算結(jié)果與可靠度真值的偏離程度，重復(fù)上述抽樣-計算過程N次，即為N批次抽樣計算，兩種算法分別得到各N個可靠度結(jié)果數(shù)據(jù)點即構(gòu)建出各自的結(jié)果分布空間。當(dāng)N足夠大，結(jié)果空間中的數(shù)據(jù)散點反映了樣本數(shù)目n條件下，可靠度結(jié)果的所有可能分布。顯然，散點越向真值會聚，任一次抽樣下的計算結(jié)果越有可信度，反映出越高的算法精準(zhǔn)度。其中，可靠指標(biāo)真值β0由總體參數(shù)(μ，σ2)計算得到，其只反映物理不確定性影響，排除了統(tǒng)計不確定性問題，可作為衡量小樣本條件下算法效果的基準(zhǔn)。

需要指出的是，采用Monte Carlo模擬方法直接得到的是邊坡失效概率Pf。在工程實踐中，由Pf轉(zhuǎn)換得到的可靠指標(biāo)β更加便于應(yīng)用，兩者之間存在換算等式Pf=Φ(-β)，其中Φ(-β)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累計概率函數(shù)(Phoon，2008)。文中采用可靠指標(biāo)進行對比。

2.2 邊坡可靠度計算模型及參數(shù)總體

以簡單均質(zhì)土坡(如路堤邊坡)為對象開展對比，研究條件概率法在可靠度分析中的效果。邊坡坡高H=8m，地基厚度D=10m，坡率1︰1.5，如圖4所示，邊坡穩(wěn)定性分析方法選用極限平衡Fellenius法。

圖4 簡單土坡模型(單位：m)Fig.4 Model of simple soil slope(unit：m)

設(shè)邊坡土體強度參數(shù)c、φ服從相互獨立的正態(tài)分布，c、φ總體均值取10kPa、21.71°，變異系數(shù)分別取0.3、0.2(駱飛等，2017)，對應(yīng)c、φ總體的標(biāo)準(zhǔn)差為3kPa、4.34°。由于土體重度變異性一般較小，取定值γ=20kN·m-3，計算得到邊坡可靠指標(biāo)真值β0=1.15。

2.3 可靠度計算結(jié)果及分析

取工程勘察實際中對樣本容量規(guī)定的下限n=6開展計算分析，此時統(tǒng)計不確定性影響也最為顯著。根據(jù)c、φ總體均值和方差，利用MATLAB軟件的normrnd函數(shù)生成各含5000組元素的c、φ正態(tài)總體，基于“3σ準(zhǔn)則”(張繼周等，2008)剔除極小概率異常數(shù)據(jù)后，經(jīng)Kolmogorov-Smirnov分布擬合檢驗(祝玉學(xué)，1993)證實c、φ總體的正態(tài)分布性質(zhì)。

圖5 可靠指標(biāo)散點圖Fig.5 Scatter of reliability indicesa.直接代入法；b.條件概率法

圖6 可靠指標(biāo)的絕對誤差與相對誤差Fig.6 Absolute error and relative error of reliability indicesa.絕對誤差；b.相對誤差

將兩種方法的可靠指標(biāo)相對誤差的差值(e2-e1)繪制頻率直方圖，如圖7所示，圖中橫坐標(biāo)的正值表示直接代入法的相對誤差大于條件概率法，負值則反之?？梢钥闯?，約80%的絕大部分情況下，條件概率法的相對誤差較直接代入法更小。其中，55%占比情況，相對誤差減小約20%；25%占比情況，相對誤差減小20%～90%。而條件概率法的相對誤差略大于直接代入法的情況較少，僅占結(jié)果總數(shù)的約20%，相對誤差也最多不超過20%。

圖7 兩種方法可靠指標(biāo)相對誤差直方圖Fig.7 Relative error histogram of the reliability indices from two methods

算例表明，小樣本條件下，直接代入法所得結(jié)果離散性較大，更易造成可靠度計算結(jié)果的不確定性。比較而言，條件概率法的結(jié)果更趨近可靠指標(biāo)真實值β0，數(shù)據(jù)散點圍繞真實值更為會聚，表明其結(jié)果可信度更高。

特別的是，在抽樣發(fā)生較大參數(shù)估計偏差情況下，條件概率法可明顯提高分析結(jié)果準(zhǔn)確性。如第4#、6#、7#、19#、23#和46#批次抽樣的誤差較大，而對比兩種方法的可靠指標(biāo)結(jié)果(表2)可見，直接代入法的可靠指標(biāo)與真值(β0=1.15)相差較大，而條件概率法將可靠指標(biāo)絕對誤差減小0.53～1.13，收斂控制效果顯著(達到一至兩個可靠度級別)，相對誤差亦減小46.09%～98.27%。因此，條件概率法避免了參數(shù)估計出現(xiàn)偶然性較大誤差所致的計算波動。

表2 發(fā)生較大抽樣偏差時兩種方法可靠度分析結(jié)果對比Table 2 Comparison of the reliability analysis results under large sampling bias

3 條件概率法的相關(guān)討論

3.1 子區(qū)間劃分數(shù)目的敏感性分析

文中第1.3節(jié)在考慮了計算量與計算精度后采用了m1=m2=10的子區(qū)間劃分數(shù)目。為討論子區(qū)間劃分數(shù)目對條件概率法可靠指標(biāo)β1的影響，以第2.2節(jié)邊坡可靠指標(biāo)真值β0=1.15對應(yīng)的強度參數(shù)組合為例(c、φ總體均值取10kPa、21.71°，總體的標(biāo)準(zhǔn)差為3kPa、4.34°，重度γ=20kN·m-3)，依次取m1=m2=[6，8，10，14，18，22]，計算對t分布密度曲線進行不同子區(qū)間數(shù)目劃分下的邊坡穩(wěn)定可靠指標(biāo)值，結(jié)果如圖8所示。

圖8 子區(qū)間劃分數(shù)目敏感性分析Fig.8 Sensitivity analysis of subinterval numbers

觀察圖8可知，條件概率法的可靠指標(biāo)計算結(jié)果對子區(qū)間劃分數(shù)目的敏感性隨m1和m2增大而降低。劃分數(shù)目越多，構(gòu)造的假想總體越完備，條件概率法結(jié)果越靠近真值(漸近線)。而當(dāng)子區(qū)間劃分數(shù)目超過10，與真值β0的相對誤差不大于5%。因此，在保證分析結(jié)果精度的前提下為降低計算量，取10作為t分布概率密度函數(shù)劃分段數(shù)具有合理性。

3.2 條件概率法擴展應(yīng)用討論

此外，文中在介紹條件概率法原理時，對土體強度參數(shù)c、φ采用了常用的相互獨立正態(tài)分布假設(shè)。對于強度參數(shù)總體服從其他分布的情形，若滿足下列兩個條件之一，條件概率法仍適用：(1)參數(shù)總體所服從的分布函數(shù)與正態(tài)分布間可進行正、逆轉(zhuǎn)換。如對數(shù)正態(tài)分布與正態(tài)分布之間的對應(yīng)轉(zhuǎn)換；(2)所服從分布的矩估計偏差分布具有明確的概率表達式。如正態(tài)分布總體下以樣本平均值估計總體均值所產(chǎn)生偏差的概率關(guān)系以t分布表達，非正態(tài)分布下，t分布應(yīng)替換為相應(yīng)分布。

4 結(jié) 論

針對小樣本巖土參數(shù)統(tǒng)計不確定性對可靠度計算的影響，研究提出了小樣本參數(shù)下土質(zhì)邊坡可靠度條件概率計算方法；以簡單均質(zhì)土坡為對象開展充足批次的小樣本抽樣與可靠度計算，對比了條件概率法與傳統(tǒng)直接代入法計算結(jié)果的誤差與數(shù)據(jù)分布離散性，驗證了條件概率法對減小可靠度計算結(jié)果不確定性的效果。主要結(jié)論如下。

(1)基于樣本平均值與總體均值的估計偏差服從t分布的概率特征，構(gòu)造不同偏差量所對應(yīng)的假想總體并確定其發(fā)生概率，根據(jù)條件概率原理分析抽樣偏差對計算結(jié)果的權(quán)值影響，通過Bayes公式建立了小樣本下土質(zhì)邊坡可靠度計算的條件概率法，并給出了詳細計算流程。

(2)簡單土坡算例表明，較之傳統(tǒng)的直接代入法，條件概率法在約80%絕大部分情況下得到了更趨近于真值的可靠度分析結(jié)果，可靠指標(biāo)的數(shù)據(jù)分布離散性更小，表明結(jié)果的可信度更高，在參數(shù)抽樣發(fā)生較大偏差情況下體現(xiàn)了更為顯著的效果。僅20%占比的情況，條件概率法結(jié)果較直接代入法稍偏離真值，但差異不明顯。