基于差分原理的噴錨支護(hù)水工隧洞穩(wěn)定可靠度分析

方苗苗，李夢(mèng)瑤，王 剛，崔鵬飛

(大連理工大學(xué)水利工程學(xué)院，遼寧 大連 116024)

0 引 言

目前，我國(guó)水工隧洞的建設(shè)水平不斷取得突破，建設(shè)規(guī)模向大埋深、長(zhǎng)距離、大斷面趨勢(shì)發(fā)展，如錦屏二級(jí)水電站引水隧洞埋深達(dá)2 525 m，開(kāi)挖洞徑達(dá)14.6 m[1]。隨著隧洞建設(shè)規(guī)模的增大，其穩(wěn)定安全問(wèn)題也愈發(fā)突出，其中隧洞圍巖與支護(hù)的整體穩(wěn)定問(wèn)題是隧洞設(shè)計(jì)關(guān)注的重點(diǎn)。在水工隧洞的建設(shè)中，采用噴錨支護(hù)和先噴錨后二次襯砌的水工隧洞較為常見(jiàn)，如蒲石河抽水蓄能電站地下廠(chǎng)房洞室用噴錨支護(hù)做永久支護(hù)[2]，九甸峽水利樞紐工程引水發(fā)電洞用噴錨支護(hù)做一次支護(hù)[3]等。隧洞噴錨支護(hù)后(或二次襯砌前)圍巖與噴錨支護(hù)的整體失穩(wěn)時(shí)有發(fā)生，常造成圍巖變形坍塌和二次襯砌破壞等事故[4]。因此，研究噴錨支護(hù)水工隧洞圍巖與噴錨支護(hù)聯(lián)合承載時(shí)的穩(wěn)定可靠性意義重大，亟待采用可靠度方法研究解決。

當(dāng)前，結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算的常用算法有蒙特卡洛法和二階矩法(即驗(yàn)算點(diǎn)法，如一次二階矩法、二次二階矩法等)。蒙特卡洛(MC)法包括直接抽樣、重要抽樣等算法。其中MC直接抽樣法(MC-DS)對(duì)大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的可靠度計(jì)算適用性強(qiáng)，保證抽樣次數(shù)的條件下，計(jì)算結(jié)果相對(duì)精確，一般作為其他算法的校準(zhǔn)算法；由于MC-DS計(jì)算量大、效率低，通常需要進(jìn)行算法改進(jìn)，如改變其抽樣中心的MC重要抽樣法(MC-IS)，此改進(jìn)方法先通過(guò)一次二階矩法求出驗(yàn)算點(diǎn)，然后以驗(yàn)算點(diǎn)為抽樣中心進(jìn)行下一步抽樣計(jì)算，從而提高計(jì)算效率。而一次二階矩法(FOSM)、二次二階矩法(SORM)等需求解驗(yàn)算點(diǎn)的可靠度算法通常需要功能函數(shù)為顯式，然后將功能函數(shù)在驗(yàn)算點(diǎn)處泰勒展開(kāi)，并近似取至一次項(xiàng)或二次項(xiàng)，以便求得功能函數(shù)近似的一階或二階偏導(dǎo)數(shù)，因此二階矩法計(jì)算精度一般低于MC法，但效率較高。

本文以圓形斷面水工隧洞為例，對(duì)噴錨支護(hù)隧洞進(jìn)行圍巖與支護(hù)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定可靠度計(jì)算方法研究。首先，基于巖體理想彈塑性本構(gòu)模型推導(dǎo)出隧洞可靠度計(jì)算所需的功能函數(shù)，由于此功能函數(shù)是非線(xiàn)性隱式的，傳統(tǒng)FOSM和SORM方法難以直接運(yùn)用，本文將采用差分理論予以解決；然后，結(jié)合水工隧洞工程實(shí)例，分別采用基于差分原理的FOSM、SORM和MC-DS、MC-IS進(jìn)行隧洞圍巖與噴錨支護(hù)結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定可靠度計(jì)算，并進(jìn)行不同方法的對(duì)比分析。本文研究成果可為水工噴錨支護(hù)隧洞的安全可靠性分析和評(píng)價(jià)提供理論和方法參考。

1 噴錨支護(hù)隧洞可靠度計(jì)算功能函數(shù)

1.1 最小圍巖壓力

在軸對(duì)稱(chēng)條件(λ=1，λ為側(cè)壓力系數(shù))下估算最小圍巖壓力Pa，min，條件是維持松動(dòng)區(qū)滑移體平衡所需的支護(hù)阻力等于保持極限平衡狀態(tài)的力。根據(jù)剪切滑移理論[5]，可得

Pa,min=γRmax-γr0

(1)

式中，Pa，min為最小圍巖壓力；Rmax為與Pa，min相對(duì)應(yīng)的最大的松動(dòng)區(qū)半徑；γ為圍巖的容重；r0為開(kāi)挖半徑。

根據(jù)隧洞圍巖應(yīng)力和位移的彈塑性分析[6]，松動(dòng)區(qū)最大半徑Rmax為

(2)

式中，c、φ分別為錨固后的圍巖黏聚力、內(nèi)摩擦角。

錨固后的圍巖黏聚力、內(nèi)摩擦角c、φ分別為

(3)

式中，τa、As、Sa、Sb分別為錨桿的抗剪強(qiáng)度、橫斷面積及橫、縱間距；σz為圍巖的初始應(yīng)力(側(cè)壓力系數(shù)λ=1)；c0、φ0分別為圍巖黏聚力、內(nèi)摩擦角。

將式(2)代入式(1)可求得最小圍巖壓力Pa，min，即

(4)

1.2 噴射混凝土支護(hù)阻力

對(duì)噴射混凝土提供的支護(hù)阻力作簡(jiǎn)化考慮[7]，即

(5)

Pa=-ccotφ+(1-sinφ)(ccotφ+σz)

(6)

(7)

當(dāng)厚度ds>0.04r0時(shí)，根據(jù)厚壁圓筒理論，支護(hù)阻力與結(jié)構(gòu)剛度的關(guān)系為

(8)

1.3 錨桿支護(hù)阻力

采用常用的點(diǎn)錨式錨桿，按照錨桿與圍巖共同變形理論，得錨桿支護(hù)阻力Pi為[7]

(9)

(10)

聯(lián)立式(9)和(10)，可最終求得錨桿支護(hù)阻力Pi。

1.4 隧洞圍巖噴錨支護(hù)結(jié)構(gòu)功能函數(shù)

當(dāng)圍巖所需最小支護(hù)阻力與噴錨支護(hù)所提供的支護(hù)力間達(dá)到平衡時(shí)[8]，即當(dāng)?shù)扔赑a與Pi之和時(shí)，為結(jié)構(gòu)的極限平衡狀態(tài)，由此可建立可靠性分析所需功能函數(shù)

g(X)=Pa+Pi-Pa,min

(11)

綜合觀察式(1)～(11)中的Pa、Pi、Pa，min可以看出，功能函數(shù)g(X)是關(guān)于c和φ的隱式非線(xiàn)性函數(shù)，不能直接采用常規(guī)二階矩法進(jìn)行可靠度計(jì)算。

2 基于差分原理的可靠度研究方法

2.1 功能函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算

FOSM與SORM在計(jì)算各隨機(jī)變量X=(X1，X2，…，Xn)的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，需要顯式的功能函數(shù)Z=g(X)，而在實(shí)際工程中若遇到功能函數(shù)是隱式的情況，可根據(jù)差分原理[9]求得驗(yàn)算點(diǎn)X0處功能函數(shù)對(duì)各變量的偏導(dǎo)數(shù)為

(12)

(13)

(14)

式中，α為步長(zhǎng)系數(shù)，為使偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算有更高的精度，α取值應(yīng)盡量小。

2.2 基于差分原理的一次二階矩法和二次二階矩法

在FOSM的計(jì)算過(guò)程中，利用式(12)求出功能函數(shù)在驗(yàn)算點(diǎn)處的一階偏導(dǎo)數(shù)；在SORM的計(jì)算過(guò)程中，先需要用FOSM求出驗(yàn)算點(diǎn)，再利用式(13)和式(14)計(jì)算在驗(yàn)算點(diǎn)處的二階偏導(dǎo)數(shù)。

2.3 蒙特卡洛重要抽樣法

(15)

若X1與X2具有相關(guān)性，用式(16)計(jì)算X1與X2的聯(lián)合概率密度函數(shù)

(16)

3 工程實(shí)例

某隧洞斷面形式為圓形，開(kāi)挖半徑5.4 m，隧洞埋深在200 m左右。穿越地段圍巖分類(lèi)為III類(lèi)。采用新奧法設(shè)計(jì)施工，初期支護(hù)為噴錨支護(hù)方式，如圖1所示。

圖1 隧洞噴錨支護(hù)示意(單位：mm)

表1 各隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)特征

3.1 差分計(jì)算步長(zhǎng)系數(shù)的確定

采用MC-DS計(jì)算100萬(wàn)次得到的可靠指標(biāo)β為3.229 1，失效概率pf為6.21×10-4，根據(jù)GB 50199—2013《水利水電工程結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計(jì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)》[10]可知該水工隧洞圍巖是穩(wěn)定的?；诓罘衷碛?jì)算可靠度時(shí)，步長(zhǎng)系數(shù)的取值影響可靠度的精度，故計(jì)算不同步長(zhǎng)系數(shù)下的可靠度，結(jié)果如表2所示，從而確定合適的步長(zhǎng)系數(shù)取值。

表2 不同步長(zhǎng)系數(shù)下可靠度的計(jì)算結(jié)果

由表2可知，當(dāng)步長(zhǎng)系數(shù)α<0.02時(shí)，用FOSM和SORM計(jì)算的可靠指標(biāo)β趨于穩(wěn)定。當(dāng)α=0.01時(shí)，迭代次數(shù)為8次，比MC法效率高，此時(shí)FOSM和SORM計(jì)算結(jié)果的相對(duì)誤差分別為0.24%和0.10%。SORM比FOSM的精度高，與MC法計(jì)算精度相當(dāng)，這是由于FOSM沒(méi)有考慮功能函數(shù)在設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)附近的局部性質(zhì)，而SORM通過(guò)計(jì)算功能函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)考慮了極限狀態(tài)曲面在驗(yàn)算點(diǎn)附近的凹向、曲率等非線(xiàn)性性質(zhì)，提高了精度。

MC-IS的計(jì)算結(jié)果與步長(zhǎng)系數(shù)α基本無(wú)關(guān)，為便于計(jì)算效率對(duì)比分析，取α=0.01進(jìn)行MC-IS計(jì)算，抽樣10萬(wàn)次的可靠指標(biāo)β為3.232 9，相對(duì)誤差為0.12%，精度高，大大提高了抽樣效率，這是由于MC-IS是以FOSM求出的驗(yàn)算點(diǎn)為抽樣中心，使樣本點(diǎn)有較多機(jī)會(huì)落進(jìn)失效域，增加功能函數(shù)Z<0 的機(jī)會(huì)。

3.2 考慮隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)特征的隧洞可靠度分析

在水工隧洞圍巖穩(wěn)定分析中，黏聚力c和內(nèi)摩擦角φ的分布類(lèi)型不確定，一般為正態(tài)分布或?qū)?shù)正態(tài)分布。本文對(duì)c和φ分別為正態(tài)分布和對(duì)數(shù)正態(tài)分布時(shí)的可靠度進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果如表3所示。由表3可知，c為對(duì)數(shù)正態(tài)分布時(shí)，可靠指標(biāo)變化不大，φ分布類(lèi)型對(duì)可靠指標(biāo)的影響較大，而φ為對(duì)數(shù)正態(tài)分布時(shí)，可靠指標(biāo)變小，故針對(duì)c、φ均為正態(tài)的情況進(jìn)行研究。

表3 不同分布類(lèi)型下可靠度的計(jì)算結(jié)果

實(shí)際上，c，φ一般具有負(fù)相關(guān)性，對(duì)c、φ相關(guān)系數(shù)不同時(shí)的可靠度進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果如表4所示。由表4可知，β隨c和φ的負(fù)相關(guān)性的增大而增大，這與已有研究的結(jié)論是一致的。

表4 隨機(jī)變量相關(guān)時(shí)可靠度的計(jì)算結(jié)果

4 結(jié) 論

本文提出了基于差分原理的一次二階矩(FOSM)和二次二階矩(SORM)可靠度算法，并對(duì)噴錨支護(hù)圓形隧洞圍巖與支護(hù)系統(tǒng)穩(wěn)定可靠度進(jìn)行計(jì)算分析，得到如下研究結(jié)論：

(1)基于差分原理的FOSM和SORM驗(yàn)算點(diǎn)法能很好地處理功能函數(shù)是非線(xiàn)性隱式的情況。

(2)結(jié)合工程實(shí)例對(duì)差分步長(zhǎng)進(jìn)行了研究，得到了不同步長(zhǎng)系數(shù)下噴錨支護(hù)隧洞穩(wěn)定可靠度的計(jì)算結(jié)果，基于差分原理的FOSM和SORM法在步長(zhǎng)小于0.02的情況下可靠度計(jì)算結(jié)果趨于穩(wěn)定。

(3)通過(guò)與蒙特卡洛直接抽樣法(MC-DS)和重要抽樣法(MC-IS)對(duì)比分析可知，基于差分原理的FOSM和SORM法計(jì)算結(jié)果精確且高效，能夠滿(mǎn)足實(shí)際工程計(jì)算要求。

(4)工程實(shí)例可靠度研究表明，圍巖抗剪強(qiáng)度參數(shù)c和φ的分布類(lèi)型不同，得到的可靠指標(biāo)也不同，c分布類(lèi)型變化對(duì)可靠指標(biāo)影響不大，而φ分布類(lèi)型為對(duì)數(shù)正態(tài)分布時(shí)，可靠指標(biāo)較正態(tài)分布時(shí)小，c、φ的負(fù)相關(guān)性對(duì)隧洞圍巖穩(wěn)定可靠指標(biāo)影響顯著，隨著負(fù)相關(guān)性的增強(qiáng)而增大，這與已有研究的結(jié)論一致，表明本文方法具有很好的適用性。