平面幾何可變體系探討

袁良健，王 子，沈天豪

1.中鐵第四勘察設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司，湖北 武漢 430063

2.東南大學(xué)土木工程學(xué)院，江蘇 南京 211189

平面體系的幾何組成分析是研究平面體系幾何穩(wěn)定性的內(nèi)容，故又稱為幾何穩(wěn)定分析、幾何機(jī)動(dòng)分析或幾何構(gòu)造分析。其在結(jié)構(gòu)力學(xué)課程的學(xué)習(xí)中具有重要作用，對靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力計(jì)算、力法、位移法、影響線、結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)、結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定分析等內(nèi)容的學(xué)習(xí)有很大幫助，對實(shí)際工程的穩(wěn)定分析、倒塌分析等具有重要意義。幾何組成分析依據(jù)的是射影幾何學(xué)原理，對幾何可變體系而言，準(zhǔn)確畫出可變體系的機(jī)動(dòng)位移圖是區(qū)分幾何瞬變體系和幾何常變體系的關(guān)鍵，但機(jī)動(dòng)位移圖概念抽象，通常難以直觀判斷。文章從結(jié)構(gòu)力學(xué)教材中對幾何瞬變體系和幾何常變體系的定義出發(fā)，采用假想微小位移的方法，通過具體算例分析二者之間的本質(zhì)區(qū)別，并提出幾何瞬變體系優(yōu)先級的概念，旨在培養(yǎng)學(xué)生對抽象概念的直觀思維，加強(qiáng)其對基本概念的理解，提高其分析問題的能力。

1 基本判定規(guī)則和體系的分類

平面體系可分為幾何不變體系和幾何可變體系，如圖1所示。

圖1 體系的分類

平面體系幾何組成分析的基本判定規(guī)則包括三剛片、兩剛片和二元體規(guī)則，如表1所示。對常見的平面體系，可采用表1所示的基本判定規(guī)則來判定體系的幾何組成特性，但對較為復(fù)雜的體系，運(yùn)用基本規(guī)則可能無法判斷，需另辟蹊徑，如采用零載法[1]、等效替換法[2]、假想微小位移法等。其中，零載法運(yùn)用的是靜定結(jié)構(gòu)靜力解答的唯一性，僅適用于計(jì)算自由度W=0的體系，只能判斷體系是否為可變體系，對可變體系無法進(jìn)一步區(qū)分是幾何瞬變體系還是幾何常變體系[3-5]。等效變換法通常適用于體系中存在復(fù)鏈桿或有多處與其他部分相連的桿件。假想微小位移法通常用來區(qū)分幾何瞬變體系和幾何常變體系，對存在多種位移模態(tài)的可變體系，需一一列舉判斷。

表1 幾何組成分析的基本判定規(guī)則

2 微小位移和有限位移的區(qū)別

瞬變體系和常變體系如圖2所示。幾何瞬變體系的定義為原體系為幾何可變體系，若發(fā)生微小位移之后成為幾何不變體系，則原體系為幾何瞬變體系。如圖2（a）所示的體系A(chǔ)BC，若各桿為剛性桿（即忽略桿件的軸向變形），結(jié)點(diǎn)B發(fā)生豎向位移Δ，桿AB和BC均產(chǎn)生一定的伸長，則如圖2（b）所示。

幾何常變體系的定義為原體系為幾何可變體系，無論發(fā)生何種有限位移仍為幾何可變體系，則原體系為幾何常變體系。如圖2（c）所示的體系A(chǔ)BCD，原體系可發(fā)生有限位移而變成體系A(chǔ)'B'C'D'，且該位移仍可持續(xù)進(jìn)行，體系A(chǔ)'B'C'D'仍為幾何可變體系，故原體系為幾何常變體系。

圖2 瞬變體系和常變體系

微小位移和有限位移如圖3所示。圖3（a）所示的體系，假設(shè)各桿的長度均為L，且為剛性桿（桿長L保持不變）。如圖3（b）所示，當(dāng)D點(diǎn)發(fā)生水平向左的位移Δ時(shí)，由此引起B(yǎng)點(diǎn)的豎向位移為δ。

（2）當(dāng)Δ不斷增大成為有限位移時(shí)，B點(diǎn)的豎向位移δ是有限位移Δ的同階量，各桿產(chǎn)生了與有限位移Δ同階的軸向變形，與剛性桿假定矛盾。易分析得出，圖3（b）所示的體系A(chǔ)B'CD'E為幾何不變體系，故原體系在D點(diǎn)僅能發(fā)生微小位移，為幾何瞬變體系。本質(zhì)上，圖3（b）所示體系中D點(diǎn)發(fā)生微小位移Δ時(shí)，引起B(yǎng)點(diǎn)的豎向位移雖為Δ的高階小量，但B點(diǎn)偏離原來的位置至B'點(diǎn)，鉸A、B'、C不共線，體系成為幾何不變體系；D點(diǎn)發(fā)生有限位移，各桿必將產(chǎn)生與有限位移同階的軸向變形，不符合剛性桿假定的前提，即有限位移受各剛性桿的限制而難以發(fā)生，原體系為幾何瞬變體系。

圖3 微小位移和有限位移

3 多位移模態(tài)可變體系中的優(yōu)先級

多模態(tài)體系如圖4所示。圖4（a）所示的可變體系存在多種位移模態(tài)，兩種基本位移模態(tài)如圖4（b）和圖4（c）所示。

（1）圖4（b）中剛片DEHI發(fā)生微小位移后，剛片ABFG依然可發(fā)生微小位移，體系依然幾何可變。

（2）圖4（c）中剛片ABFG發(fā)生微小位移后，剛片DEHI不能再發(fā)生微小位移，體系成為幾何不變。

（3）其余的位移模態(tài)可由這兩種基本模態(tài)組合而成，如圖4（d）所示，體系成為幾何不變。由此可知，原體系的眾多位移模態(tài)中，至少存在一種模態(tài)使體系在發(fā)生微小位移后成為幾何不變體系，故原體系為幾何瞬變體系。

圖4 多模態(tài)體系

本質(zhì)上，原體系在無外界干擾時(shí)可維持原有的幾何穩(wěn)定；當(dāng)受到干擾時(shí)，體系將尋求新的幾何穩(wěn)定，當(dāng)新的幾何穩(wěn)定是眾多位移模態(tài)中產(chǎn)生最小的微小位移時(shí)就會成為幾何不變體系所對應(yīng)的情況。若所有的位移模態(tài)均無法成為幾何不變體系，體系無法維持幾何穩(wěn)定，產(chǎn)生有限位移并持續(xù)進(jìn)行，則原體系為幾何常變體系。因此，多位移模態(tài)的可變體系中可能既有幾何常變的位移模態(tài)，也有幾何瞬變的位移模態(tài)，幾何瞬變的位移模態(tài)優(yōu)先于幾何常變的位移模態(tài)。只要體系發(fā)生微小位移后成為幾何不變體系，則原體系為幾何瞬變體系，幾何常變的位移模態(tài)只有在所有的微小位移均不能使體系成為幾何不變的情況下才會發(fā)生。

4 結(jié)束語

幾何瞬變體系產(chǎn)生的機(jī)動(dòng)位移為微小位移，而幾何常變體系產(chǎn)生的機(jī)動(dòng)位移為有限位移，二者從量級上比較，有限位移遠(yuǎn)大于微小位移，故幾何可變體系在產(chǎn)生有限位移之前必先產(chǎn)生微小位移。區(qū)分幾何瞬變體系和幾何常變體系的關(guān)鍵在于，在符合剛性桿假定的前提下，判斷體系在產(chǎn)生微小位移之后，能否產(chǎn)生有限位移并持續(xù)進(jìn)行，若不能，則原體系為幾何瞬變體系，否則為幾何常變體系。對于多位移模態(tài)的可變體系，若存在發(fā)生微小位移后成為幾何不變體系的位移模態(tài)，則原體系為幾何瞬變體系；當(dāng)所有的位移模態(tài)均不能使體系成為幾何不變體系時(shí)，原體系才是幾何常變體系，即幾何瞬變體系優(yōu)先于幾何常變體系。