例談增根的產(chǎn)生與作用

蘇凡文

(山東省寧陽縣第一中學(xué) 271400)

中學(xué)階段，增根是學(xué)生普遍感覺比較棘手的問題．增根是指方程求解后得到的不滿足題設(shè)條件的根．了解增根產(chǎn)生的原因，對(duì)根進(jìn)行合理取舍，是中學(xué)生必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．本文以高考題目為例談一下增根問題．

一、增根產(chǎn)生的原因

增根的產(chǎn)生源于題目條件轉(zhuǎn)化為結(jié)論的過程中，使得條件成為結(jié)論的充分不必要條件．如果在題目的解答過程中將條件等價(jià)轉(zhuǎn)換為結(jié)論，增根自然會(huì)被舍去．

(1)求C1的離心率；

(2)設(shè)M是C1與C2的公共點(diǎn)，若|MF|=5，求C1與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程．

我們常常說，二元二次曲線方程聯(lián)立在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)容易產(chǎn)生增根，但兩圓聯(lián)立不產(chǎn)生增根，這是為什么呢？

二、探索兩圓聯(lián)立不產(chǎn)生增根的原因

①當(dāng)兩圓相交時(shí)，顯然根軸為公共弦所在的直線，根軸與兩圓的兩個(gè)公共點(diǎn)即是兩圓的兩個(gè)公共點(diǎn)；

②當(dāng)兩圓外切時(shí)，兩圓的1個(gè)公共點(diǎn)在根軸上，且d=r1+r2．

下面證明根軸與兩圓只有一個(gè)公共點(diǎn)．

所以，兩圓外切時(shí)，兩圓的1個(gè)公共點(diǎn)即根軸與兩圓的1個(gè)公共點(diǎn)；

③當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，兩圓的1個(gè)公共點(diǎn)在根軸上，設(shè)r2

所以，兩圓內(nèi)切時(shí)，兩圓的1個(gè)公共點(diǎn)即根軸與兩圓的1個(gè)公共點(diǎn)；

所以，兩圓內(nèi)含時(shí)，兩圓無公共點(diǎn)，根軸與兩圓也沒有公共點(diǎn)．

所以，兩圓外切時(shí)，兩圓無公共點(diǎn)，根軸與兩圓也沒有公共點(diǎn)．

綜上所知，“圓與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)”和“根軸與圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)”是相同的．

所以，兩圓的位置關(guān)系本質(zhì)是根軸與圓的位置關(guān)系，因?yàn)橹本€與二次曲線聯(lián)立不會(huì)出現(xiàn)增根，故兩圓聯(lián)立不會(huì)出現(xiàn)增根．

三、增根在部分題目中存在的意義

很多人認(rèn)為增根本身沒有存在的必要性和價(jià)值性，是嚴(yán)謹(jǐn)數(shù)學(xué)的一個(gè)瑕疵，這其實(shí)是不對(duì)的，細(xì)細(xì)研磨會(huì)發(fā)現(xiàn)，增根在部分題目中對(duì)解題有些積極的提示性作用．

(2)點(diǎn)M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足．證明：存在定點(diǎn)Q，使得|DQ|為定值．

分析本題絕大部分學(xué)生得6分或者7分，主要原因是計(jì)算到4k2+8km+3m2-2m-1=0不會(huì)因式分解，若利用變換主元法，可得4k2+8mk+(m-1)(3m+1)=(2k+m-1)(2k+3m+1)．但是這種二元二次方程因式分解絕大部分學(xué)生不會(huì)做．下面提供一種利用增根進(jìn)行因式分解的方法．