點(diǎn)差法的基本原理及其在高考數(shù)學(xué)中的簡單應(yīng)用

武增明

(云南省玉溪第一中學(xué) 653100)

一、點(diǎn)差法的基本原理

在研究直線被圓錐曲線截得中點(diǎn)弦問題時(shí)，設(shè)出弦端點(diǎn)坐標(biāo)，并分別代入圓錐曲線方程得兩式，將其兩式相減，可得弦的斜率與弦的中點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系式，這種解題方法叫做點(diǎn)差法.

二、點(diǎn)差法的簡單應(yīng)用

與弦中點(diǎn)相關(guān)的問題有三種，一是平行弦的中點(diǎn)軌跡；二是過定點(diǎn)的弦的中點(diǎn)軌跡；三是過定點(diǎn)且被定點(diǎn)平分的弦所在直線方程.其他問題都是由這三類問題衍生出來的.

1.已知弦中點(diǎn)坐標(biāo)簡求弦所在直線方程

此類問題是點(diǎn)差法的最基本的簡單應(yīng)用.

(1)求直線AB的方程；

(2)如果線段AB的垂直平分線與雙曲線相交于C，D兩點(diǎn)，那么A，B，C，D四點(diǎn)是否共圓，為什么？

故直線AB的方程為y-2=1·(x-1)，即x-y+1=0.

(2)解略.

評(píng)注此問題用常規(guī)方法也易求解，但沒有用點(diǎn)差法來得快.

2.用點(diǎn)差法簡求軌跡方程

(1)點(diǎn)Q的軌跡方程；

(2)點(diǎn)Q的軌跡與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù).

解(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，Q(x，y)，則有x1+x2=2x，y1+y2=2y.

故點(diǎn)Q的方程為2x2+y2-2ax-by=0.

(2)解略.

3.用點(diǎn)差法簡求圓錐曲線的方程

(1)求M的方程；

(2)C，D為M上兩點(diǎn)，若四邊形ACBD的對(duì)角線CD⊥AB，求四邊形ACBD面積的最大值.

解(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，則

因此，a2=6，b2=3.

(2)解略.

評(píng)注此問題若沒有想到點(diǎn)差法，就不易求解了，甚至解不出來.

4.巧用點(diǎn)差法簡解對(duì)稱題型

一般地，對(duì)稱直線、對(duì)稱點(diǎn)的題目，用點(diǎn)差法求解較為簡便.

評(píng)注解此類題關(guān)鍵是用了點(diǎn)在圓錐曲線內(nèi)部的充要條件，應(yīng)認(rèn)真領(lǐng)會(huì).

5.注意中點(diǎn)的構(gòu)造，創(chuàng)造點(diǎn)差法的條件簡解題

(1)求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長(用a，k表示)；

(2)若任意以點(diǎn)A(0，1)為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)，求橢圓離心率的取值范圍.

分析(1)略.

解(1)略.

又存在x02∈(0，a2)使上式成立，

評(píng)注(1)命題者(官方)給出的解答計(jì)算量較大，詳見文[4].(2)此問題，解法較多(詳見文[1])，上述解法最簡捷.

點(diǎn)差法在高考中有著廣泛的運(yùn)用，如：2010年高考，山東卷·文9，新課標(biāo)全國卷Ⅰ·理12，安徽卷·理19；2012年高考，湖北卷·理21；2013年高考，新課標(biāo)全國卷Ⅰ·理10；2015年高考，全國卷Ⅱ·理20，浙江卷·理19；2018年高考，全國卷Ⅲ·理20.

綜上所述，點(diǎn)差法在各式各樣的題目中均有廣泛的應(yīng)用，同時(shí)作為一種基礎(chǔ)數(shù)學(xué)方法，它與其它數(shù)學(xué)方法之間有著極大的相關(guān)性，這是我們?cè)诮忸}過程中所不能忽視的，在學(xué)習(xí)點(diǎn)差法的解題過程中要熟練掌握運(yùn)用其它方法，才能夠把數(shù)學(xué)解題思想方法運(yùn)用到解題過程中，來提高解題效率與質(zhì)量.