基于深度學(xué)習(xí) 提升核心素養(yǎng)
——以兩道解析幾何題目為例

周新偉 吳利華 周海軍

（江蘇省天一中學(xué)，江蘇 無錫 214101）

如何幫助學(xué)生形成學(xué)科核心素養(yǎng)，是當(dāng)前教育教學(xué)實踐中的重要問題。其中在普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）指出：學(xué)科核心素養(yǎng)是育人價值的集中體現(xiàn)，是學(xué)生通過學(xué)科學(xué)習(xí)而逐步形成的正確價值觀念、必備品格和關(guān)鍵能力。數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的。數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析。這些數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)既相互獨立、又相互交融，是一個有機的整體。學(xué)科核心素養(yǎng)本身具有復(fù)雜性，傳統(tǒng)教學(xué)范式難以促進其生成。深度學(xué)習(xí)恰恰能真正落實學(xué)科素養(yǎng).

深度學(xué)習(xí)是基于學(xué)習(xí)者自發(fā)的、自主性的內(nèi)在學(xué)習(xí)動機，并依靠對問題本身探究的內(nèi)在興趣維持的，一種長期的、全身心投入的持久學(xué)習(xí)。首先，從認(rèn)知的角度上看，深度學(xué)習(xí)是思維不斷深化的過程，向高階思維階段（分析、評價、創(chuàng)造）發(fā)展，學(xué)習(xí)者能夠不斷自我反思與調(diào)節(jié)，因此這樣的學(xué)習(xí)最終是通往自發(fā)的創(chuàng)造；其次，從動機情感上來說，深度學(xué)習(xí)是一種全身心的投入、令人身心愉悅充實的學(xué)習(xí)狀態(tài)，學(xué)習(xí)者常常是忘我地，不知疲倦的；最后，從人際關(guān)系的角度來看，進入深度學(xué)習(xí)者對自己的學(xué)習(xí)充滿信心，而且能夠與他人有效溝通合作，共同克服困難解決問題的。而基于深度學(xué)習(xí)的教學(xué)策略至關(guān)重要，當(dāng)然對教學(xué)來說，沒有任何單一策略能適用于所有情況，有效的教學(xué)需要有可供選擇的策略，最好的策略就是在一定情況下達(dá)到特定目標(biāo)的最有效的方法論體系.教學(xué)設(shè)計只有掌握了不同的策略，才能因地制宜地制定出良好的教學(xué)方案，教給學(xué)生改變行為方式的方法。發(fā)展高中生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的深度學(xué)習(xí)教學(xué)策略就是指通過學(xué)科教學(xué)活動，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力，開展數(shù)學(xué)研究活動，促進學(xué)生深度學(xué)習(xí)，進而能夠發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，使學(xué)生逐步形成正確價值觀念、必備品格和關(guān)鍵能力.最優(yōu)的教學(xué)策略研究可以促進學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，從而保證核心素養(yǎng)的真正落實。深度學(xué)習(xí)可以為學(xué)科核心素養(yǎng)的生成提供途徑.

解析幾何是高中階段的重點內(nèi)容，也是高考中的一個難點，近五年全國卷(理科）對解析幾何的考查，保持1 大2 小或1 大3 小的考查頻度，小題一般以考查直線，圓與圓錐曲線的定義與性質(zhì)為主，多為基礎(chǔ)題和中檔題；解答題以橢圓、拋物線與直線結(jié)合考查為主，屬于高檔題，有時為壓軸題。很多同學(xué)覺得解析幾何的學(xué)習(xí)很難，主要是因為在學(xué)習(xí)中沒有進行深度學(xué)習(xí).

我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休”而解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何問題，因此在許多問題的處理過程中，有兩個方面需要引起足夠的重視，一是數(shù)值的轉(zhuǎn)化，二是計算的技巧.

試舉兩例說明.

例1 在直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O與直線相切，與x軸相交于A、B兩點，圓O內(nèi)的動點P使成等比數(shù)列，則的取值范圍是___________.

事實上，許多學(xué)生在得到（*）式后就卡殼了，因為（*）式難以處理，平方嗎？似乎不恰當(dāng).怎么辦？普通的教學(xué)到此時由教師直接給出答案，而深度學(xué)習(xí)就是需要進一步引導(dǎo)學(xué)生深入思考.

通過轉(zhuǎn)化，一題多解，引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度、不同的思路，用不同的方法和不同的運算過程去分析解答同一道題目，讓學(xué)生真正深度思考，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，加深學(xué)生對所學(xué)知識的深刻理解，鍛煉學(xué)生思維的廣闊性和深刻性、靈活性和獨創(chuàng)性，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

例2 雙曲線x2-y2=2017的左、右頂點分別為A1、A2，P為其右支上一點，且 ∠A1PA2=4∠PA1A2，則 ∠PA1A2等于_______。

解析：從圖3 可以發(fā)現(xiàn) ∠PA2x=∠PA1A2+∠A1PA2=5∠PA1A2。這個幾何條件如何用坐標(biāo)刻畫呢？顯然，∠PA2x和 ∠PA1A2都是銳角，且這兩個角均可視為直線A1P和A2P的傾斜角，進而聯(lián)想直線的斜率，設(shè)P(x0,y0)，

解后思考：

（1）由上述過程可知，既然∠PA2x和∠PA1A2互余，且這兩個角與三角形PA1A2的兩內(nèi)角有關(guān)，不妨作出三角形PA1A2的 外 接 圓M，如 圖4。顯 然2∠PA1A2=∠PMA2，∠A1PA2=∠OMA2，這樣就有 ∠PMA2+∠OMA2=900，從而點P和點M的縱坐標(biāo)相同.

在運算的每一個轉(zhuǎn)折點，我們都應(yīng)該觀察一下式子的結(jié)構(gòu)特征和圖形的特點，選擇合理的解決方向.

解析幾何是綜合性非常強的教學(xué)模塊，大部分試題都有多種解法，成功解決解析幾何問題不僅需要扎實的數(shù)學(xué)基本知識和基本技能，而且還需要靈活的思維能力，本文主要通過數(shù)值的轉(zhuǎn)化，計算的技巧，參數(shù)的合理選擇，真正達(dá)成解析幾何的深度學(xué)習(xí)，強化學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，使核心素養(yǎng)得以真正落實.