圖形表征在解決問題中的應(yīng)用

牟進(jìn)才

摘 要：圖形表征是解決數(shù)學(xué)問題的一種常用方法，它以圖形或圖案的形式表示問題的意義，幫助解題者進(jìn)行觀察、推理和思考，意在將題目?jī)?nèi)涵逐步進(jìn)行抽象，對(duì)操作技能和內(nèi)涵進(jìn)行遷移。通過對(duì)學(xué)生圖形表征的應(yīng)用意識(shí)和策略意識(shí)的培養(yǎng)，提升圖形表征能力以及圖形語言的應(yīng)用能力，在教學(xué)中鼓勵(lì)學(xué)生大膽運(yùn)用圖形語言進(jìn)行交流。

關(guān)鍵詞：圖形表征;解決問題

圖形表征主要體現(xiàn)在對(duì)于事物所蘊(yùn)藏的隱含關(guān)系進(jìn)行理解和邏輯推理，從形式上我們可以大致劃分為兩類，一種是內(nèi)在的表征，即在人們的頭腦中深入地思考這個(gè)問題。另一類則是外在的表征，即將問題通過文字、數(shù)式、圖表、模型等方法表示出來。從數(shù)學(xué)上講，外部的表征通常被劃分成幾種類型，如語言表征、動(dòng)作表征、圖形表征、符號(hào)化的表征。其中，圖形表征在問題解決過程中起著重要的作用。它可以把抽象的實(shí)際問題直接轉(zhuǎn)化成圖像，很容易地找到有用信息，促進(jìn)實(shí)際問題的分析和解決。在我國(guó)中小學(xué)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，很多內(nèi)容都是采用了這種符合中國(guó)小學(xué)生自身認(rèn)知規(guī)律的“圖形表征”的教學(xué)方法，因?yàn)閷?duì)于小學(xué)生來說形象思維比抽象思維能力要強(qiáng)，很多數(shù)學(xué)問題用圖形表征可以有效、快速得到解決。

一、運(yùn)用圖形表征分析數(shù)量關(guān)系

當(dāng)代中國(guó)的小學(xué)生處于由形象的具體思維轉(zhuǎn)變到抽象思維的轉(zhuǎn)變階段，這個(gè)時(shí)期就需要以圖形的直覺作為有力支撐。特別是在初步理解一些較為抽象的數(shù)量關(guān)系時(shí)，需要我們的教師積極地引導(dǎo)我們的學(xué)生親身經(jīng)歷用直觀形象的圖型或者符號(hào)把這些數(shù)學(xué)問題的各種數(shù)量關(guān)系都表述出來，把我們所思考的整個(gè)過程用具體形象的符號(hào)描述出來，把直觀的數(shù)量關(guān)系圖示與抽象的數(shù)學(xué)語言緊密地結(jié)合在一起，把這些數(shù)量關(guān)系清晰化、可視性、直觀化，充分發(fā)揮圖形的作用。

如：一堆煤大約有300噸，第一天運(yùn)走了這堆煤的，第二天運(yùn)走了剩余的，第二天運(yùn)走了多少噸？根據(jù)題目分析可知：是把整堆煤的噸數(shù)看作一個(gè)單位"1"，而是把第一天運(yùn)走后剩余的噸數(shù)看作一個(gè)單位"1"，這兩個(gè)單位“1”不一樣，所以需要統(tǒng)一單位“1”。根據(jù)“第一天運(yùn)走了這堆煤的”和“第二天運(yùn)走了余下的”，可以直接求出第二天運(yùn)走的噸數(shù)相當(dāng)于這堆煤總噸數(shù)的（1-）×=，從而可以求出第二天運(yùn)走的噸數(shù)為300×=90（噸）。分析如下圖：

利用這個(gè)直條圖把題目的含義表示了出來，學(xué)生通過對(duì)于關(guān)鍵條件的認(rèn)識(shí)與理解，其中的數(shù)量關(guān)系梳理就會(huì)變得更加清晰、直觀。在此課堂的基礎(chǔ)上，學(xué)生直接列式，解答之后再進(jìn)行回顧各步解決問題的方法和思路，形成了對(duì)于整體的數(shù)量關(guān)系的把控。

二、運(yùn)用圖形表征體會(huì)轉(zhuǎn)化思想

由于現(xiàn)代中國(guó)小學(xué)生的邏輯性和思維技巧總的來說相對(duì)薄弱，因此在課堂教學(xué)的過程中，或在對(duì)例題、或者是習(xí)題等知識(shí)點(diǎn)的講解中，若只是空洞地說教，學(xué)生很有可能會(huì)被人聽得如同云里霧里，似懂非知，這時(shí)往往需要借助圖形進(jìn)行表征，讓每一個(gè)題目的意思都清楚地被學(xué)生表達(dá)出來，從而有效地幫助學(xué)生更好地分析和解決問題。

如：在一個(gè)長(zhǎng)30米、寬14米的長(zhǎng)方形草坪上，有兩條寬為1米的互相交叉的小道，這個(gè)草坪（即陰影表示的區(qū)域）的占地總面積是多少平方米？

從上圖我們可以清楚地看出：把橫著的小道往上平移，這樣整個(gè)草坪的寬就變成了13米;把平行四邊形的小道轉(zhuǎn)化為面積相等的長(zhǎng)方形小道（根據(jù)等底等高的平行四邊形面積相等），并向右平移，這樣草坪的長(zhǎng)就變成了29米。把草坪的面積轉(zhuǎn)化成了一個(gè)長(zhǎng)是29米，寬是13米的長(zhǎng)方形的面積，即（30-1）×（14-1）=377（平方米）。

三、運(yùn)用圖形表征構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型既有利于提高學(xué)生邏輯思維技巧的培養(yǎng)，又是提高數(shù)學(xué)課程核心素養(yǎng)的主要途徑之一。在課堂教學(xué)中，老師一定要有意識(shí)地引導(dǎo)和鼓勵(lì)學(xué)生親身體驗(yàn)參加到實(shí)踐活動(dòng)中，并且要著力地引領(lǐng)學(xué)生親身體驗(yàn)圖形的表達(dá)、比較、辨別和抽象概括等過程。通過對(duì)圖形的表征進(jìn)行充分地構(gòu)造和建立自己所學(xué)的數(shù)學(xué)模型，感悟其中的數(shù)學(xué)原理，從而幫助解決問題，最終達(dá)到感知數(shù)學(xué)模型、構(gòu)造數(shù)學(xué)模型、運(yùn)用數(shù)學(xué)模型等目的。

如：某班共有45名同學(xué)，書法社團(tuán)和音樂社團(tuán)每人至少要參加一項(xiàng)。其中32人參與了書法社團(tuán)，40人參與了音樂社團(tuán)，請(qǐng)你算算同時(shí)參與了書法社團(tuán)和音樂社團(tuán)的到底有多少人？

對(duì)于這題，可采用上面圖示分析：有32人參加了書法社團(tuán)，有40人參加了音樂社團(tuán)，一共有32+40=72（人），比整個(gè)班的人數(shù)多。這主要是因?yàn)橛械耐瑢W(xué)兩個(gè)社團(tuán)都去了，這樣就多算了一次。所以既參加了書法社團(tuán)又參加了音樂社團(tuán)的有72-45=27（人）。

即 ?32+40—45=27（人）

這樣借助生活經(jīng)驗(yàn)初步感知重疊問題，采用“韋恩圖”表示探究重疊問題的過程，明白韋恩圖的意義，也借助“韋恩圖”直觀地表征模型建構(gòu)，體驗(yàn)解題策略，從而滲透集合的數(shù)學(xué)思想。

四、運(yùn)用圖形表征促進(jìn)推理能力

在如今的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中要注重引導(dǎo)班上的學(xué)生將各種看似無序的、沒有關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用圖形表征有機(jī)結(jié)合起來，有效地對(duì)其進(jìn)行加工和改造，對(duì)所需要學(xué)習(xí)的內(nèi)容和方法進(jìn)行更深層次的思考和有效串連，不斷完善，不斷創(chuàng)新和修正，形成個(gè)性化的認(rèn)知，提升數(shù)學(xué)邏輯和推理的能力，將數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)化、完整化。

如：多邊形面積這一單元教學(xué)完后，引導(dǎo)學(xué)生思考以下兩個(gè)問題：

1.平行四邊形、三角形、梯形的面積公式是怎樣推導(dǎo)出來的？（采用剪拼、合拼的方法，把新知轉(zhuǎn)化成舊知）。

2.比較平行四邊形、三角形、梯形面積計(jì)算之間的關(guān)系。

發(fā)現(xiàn)：三角形面積與梯形面積公式都要除以2。

關(guān)系：三種圖形的面積計(jì)算公式都與a、h有關(guān)，它們?nèi)哂幸欢?lián)系，如下圖所示：

從上圖可以看出，如果一個(gè)梯形的上底 b 等于下底 a ，那么這個(gè)梯形就會(huì)演變?yōu)橐粋€(gè)平行四邊形;如果當(dāng)梯形上底 b 等于0時(shí)，那么它就會(huì)演變?yōu)橐粋€(gè)三角形。上述兩幅圖都是為了幫助學(xué)生清晰地了解和認(rèn)識(shí)這些平面圖形的運(yùn)動(dòng)變化過程、計(jì)算公式的演繹和轉(zhuǎn)化過程、圖形與公式之間的相互內(nèi)在關(guān)系，有利于促使學(xué)生能夠更好地掌握公式和應(yīng)用公式，進(jìn)一步提高學(xué)生對(duì)這些圖形的認(rèn)識(shí)，從而提高他們的空間概念。

在學(xué)習(xí)了多邊形面積這一單元后，把它們的內(nèi)在聯(lián)系當(dāng)做是一個(gè)關(guān)鍵的問題加以梳理，著眼于學(xué)生的整體推理能力的發(fā)展，促使學(xué)生形成概念認(rèn)識(shí)的表象，學(xué)會(huì)主動(dòng)串聯(lián)、主動(dòng)推理、主動(dòng)完善。這樣將抽象的數(shù)學(xué)推理與直觀的圖形表示有機(jī)地緊密結(jié)合在一起，有效地啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生在掌握?qǐng)D形表征的過程中對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行更加深入的探索和思考，學(xué)會(huì)有向的連接和定向推理，形成一個(gè)整體的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)框架，有利于幫助學(xué)生將所有的知識(shí)表象與抽象的表達(dá)完美地交融在一起。

綜上所述，圖形表征能夠?qū)⒊橄笾R(shí)直觀化，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常用的語言形式，提高思維能力是提高圖形表征能力的實(shí)質(zhì)，這就要求教師要有圖形語言發(fā)展觀，在教學(xué)中應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生大膽運(yùn)用圖形語言進(jìn)行交流，并深刻挖掘圖形語言的內(nèi)涵，感受數(shù)學(xué)的本質(zhì)，為學(xué)生的終身發(fā)展奠基。

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